Archive for 27 abril 2008

Dinámica Hamiltoniana

abril 27, 2008

Como expliqué el formalismo de Lagrange es muy útil en mecánica clásica por la facilidad que aporta para formular las ecuaciones de los sitemas físicos. También es muy útil en teoria cuántica de campos (teoría de cuàntica relativista para entendernos) pués proporciona un formalismo covariante, es decir, que se transforme de una manera “sencilla” bajo cambios de coordenadas, de los campos relativistas.

Sin embargo cuando se empieza a explicar mecánica cuántica no relativista se usa un formalismo hamiltoniano (de hecho también se usa en teoria cuántica de campos). Así pués voy a hacer una pequeña introduccioin al formalismo de Hamilton.

Que las matemáticas son necesarias esta claro. Pero aparte de matemáticas generales la física tiene sus propios desarrollos formales. Por ejemplo, y relacionado con este tópico, tenemos las ecuaciones de Newton que pueden formularse como una sencilla ecuación diferencial F=ma, en el formalismo lagrangiano, en el hamiltoniano que vamos a ver ahora, luego esta el de Hamilton Jacobi. Todos estos pueden hacerse con herramientas matemáticas más o menos básicas (haciendo un poco la vista gorda con cosas como el cálculo de variaciones y la transformada de Legendre que aparecerá un poco más tarde). Estos formalismos son todos del siglo XIX. Sin embargo en el siglo XX surgió la matemática moderna, la topologia, la geometría diferencial de variedades y muchas otras cosas. Usando gemoetría en variedades, se puede reformular la mecánica clásica en forma más sofisticada. Por ejemplo el conjunto de valores permitidos para las variables generalizadas de un sistema clásico forman una variedad, conocida cómo espacio de configuraciones. Sí se pasa al formalismo hamiltoniano se puede hablar de un “espacio de fases”. Y hablar de una geometría simplécita. Para haceros una idea la geometría simpléctica en la UAM sólo se ve en cursos de doctorado en matemáticas.

Lo curioso del caso es que tenemos un montón de formas de describir un sistema clásico, por ejemplo un oscilador armónico, que es el más sencillo. Pero en cualquiera de los formalismos la física es la misma. Si habeis hecho física en secundaria habréis visto la descripción de un muelle, y a poco que se os atrayera la asignatura lo habreis entendido de sobra. Pués bien, hay un monton de formas de describir ese oscilador y algunas de ellas requieren matemáticas a nivel de doctorado. Sin embargo la física que hay detrás es la misma. ¿que curioso no?

Por supuesto un formalismo más abstracto normalmente permite describir cosas más sofisticadas, y a veces simplificar la solución (o planteamiento) de problemas no tratables, al menos de manera razonable, en formalismos más sencillos. Por supuesto el problema con esto es que el otro día os puse el formalismo Lagrangianno y no lo usé para resolver (ni para explicar el planteamiento completo) ningún problema. Y ahora sin haber resuelto ningún caso os voy a poner un formalismo más sofisticado. Es decir, os estoy enseñando formalismo en vez de resultados físicos.

En mi defensa debo decir que si queremos tratar cosas cuánticas es casi imprescindible tener estos formalismos. Bueno, imprescindible no, los químicos estudian cuántica mediante la ecuaciónde Schröedinger y para ellos el hamiltoniano es, exclusivamente, la energía cinética + la energía potencial.

Bueno, vamos ya con el formalismo de Hamilton. El truco es el siguiente. Tenemos que una cantidad muy importante en mecánica es el momento de una partícula. En física básica se pone simplemente

1. p=m.v

Bien, una de las cosas para las que es útil el lagrangiano es para supervisar las simetrías del sistema. Se puede ver que si el sistema es invariante bajo traslaciones hay una cantidad invariante, que tiene la forma:

2. p=\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right)

Sí se evalúa eso para el lagrangiano de una partícula libre

3. 1/2.m.\dot{q}^2

que recordemos era la energía cinética de una partícula se ve que coincide con la expresión 1.

Ciertamente el lagrangiano de una partícula libre es invariante bajo traslaciones (es decir, si cambiamos la coordenada q a otra cualquiera q’=q+ a). Así pués se opta por que se defina siempre el momento de una partícula mediante esa expresión incluso sí el lagrangiano (y por tanto el sistema físico que describe) no es invariante bajo traslaciones.

Una vez tenemos definido el momento ya podemos ir al hamiltoniano. Nuestro objetivo es expresar el sistema físico en términos de las variables posición y momento p y q, en vez de en término de las variables posición y velocidad: q y dq/dt (que he denotado en las ecuaciones anteriores con una q, con un punto encima). El espacio de valores posibles para esas variables será una estructura geométrica (variedad) que se conoce cómo espacio de fases. Ahora lo expondré “sencillito” y no usaré el lenguaje de variedades

Fijaros que tenemos que pasar de las variables (q,dq/dt,t) a las (q,p,t) dónde dq/dt y p se relacionan mediante 2. Un problema de ese tipo, donde una variable se relaciona con otra mediante su derivada y queremos hacer un cambio de variables entre ambas se resuelve mediante lo que se conoce cómo transformada de Legendre. No explicaré los detalles de la misma, un tanto aburridos, y pondré el resultado final:

4. H(q,p,t)=\dot{q}.p - L( q,\dot{q},t)

Para que H dependa sólo de q y p debemos expresar el lagrangiano en términos de (q,p,t). Es decir, debemos invertir la relación 2 para obtener la p en función de la dq/dt. Esta inversión es algo que a veces se puede hacer y a veces no. En la mayoría de sistemas clásicos si se puede. Sin embargo no siempre ocurre. Por ejemplo en la lagrangiana de una partícula relativista no puede hacerse. Estos sistemas se llaman singulares y son muy interesantes. Por ejemplo en teoría cuántica de campos aparecen. El caso más sencillo es el campo electromagnético. Pero vamos a ocuparnos de los sistemas donde sí se puede hacer esta inversión, que son muchos y muy útiles.

Bien, una vez hemos hecho esta inversión ya tenemos el hamiltoniano que estábamos buscando. Recordemos que el Lagrangiano tenía una interpretación muy sencilla para sistemas típicos. Era :

5. L= T-V

Es decir, la resta de la energía cinética menos la potencial. ¿Existe alguna interpretación similar para el Hamiltoniano? Pues sí. El Hamiltoniano es la energía total:

6. H = T + V

Llegados a este punto uno puede preguntarse si realmente hacia falta hacer tanto el paripé si después de todo ya sabemos calcular la energía total de una partícula. Basta calcularla y expresarla en términos del momento en vez de en términos de la velocidad. Bien, sin duda esta prescripción funciona a veces. Pero sin ese formalismo detrás no tendría una justificación tan clara. Pongamos, en todo caso, con propósito ilustrativo, el hamiltoniano para un sistema sencillo, el de nuestro buen amigo el oscilador armónico ;-).

7. H=p^2/2m + 1/2.k.q^2

Bien, ¿fácil, no? Pero ¿y ahora que hacemos con H?

En mecánica cuántica sustituiríamos q y p (en bastantes ocasiones q será simplemente una coordenada cartesiana “normal”) por sus correspondientes operadores cuánticos. Pero ahora estamos en mecánica clásica ¿cómo sacamos ecuaciones diferenciales de este hamiltoniano? Pues mediante las ecuaciones de Hamilton:

8. \dot{q}=\partial H/ \partial p

\dot{p}= - \partial H/ \partial \dot{q}

Al igual que pasa con el caso de Lagrange aunque aparezcan términos con derivadas parciales del hamiltniano las ecuaciones de movimiento para las partículas son ecuaciones diferenciales ordinarias. Pongo el ejemplo de cómo resultarían para el oscilador armonico:

9. \dot{q}=p
\dot{p}=-k.q

Esto es un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden equivalente a una ecuacion diferencial de segundo orden, cómo se esperaría.

Por cierto, mencionar que tal cuál, a nivel clásico, las ecuacioens de Hamilton no son particularmente útiles a nivel práctico, pero sirven de punto de entrada para otros métodos que sí son prácticos. Uno de los ejemplos que siempre se cita (pero nunca se muetra xD) es que sirven para formular de manera organizada una teoría de perturbaciones que es la que se usa para ajustar órbitas de satélites (una vez transferido el formalismo a algún lenguaje de programacion). Pero cómo dije su papel más fundamental es su presencia en cuántica.

Por cierto, una aclaración válida para este post y el del lagrangiano. He puesto las expresiones para el caso de una sola variable generalizada q. Por supuesto puede generalizarse de manera obvia para el caso en que en el sistema haya varias partículas , en general N partículas, con coordenadas qi donde i=1,2..,N.

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Dinámica Lagrangiana

abril 19, 2008

La mecánica de Newton estaba dada por, principalmente, su segunda ley F=m.a dónde a es la derviada segunda de la posicion en el tiempo y F es una fuerza que normalmente va a depender de la posición y a veces de la velocidad. Es por tanto una ecuación diferencial.

EL problema con esa ecuación es que sólo tiene esa forma en un sistema de coordenadas cartesiano. Si el problema físico a tratar tiene, por ejemplo, simetría esférica, algo muy común, hay que cambiar la forma de la ecuación. eSto se hace introduciendo fuerzas ficitcias como la fuerza centrífuga y simlares.

Bien, esto es un problema prácico. Estaría bien tener unas ecuaciones equivalentes a las de Newton y que no cambiaran si usamos otros sistemas coordinados. Y ahí surgieron las figuras de Euler y Lagrange y su cálculo de variaciones.

No me conozco todos los detalles históricos de cómo surgieron . Presento una exposición standard de las cuestiones.

La idea es que tenemos una función, o mejor dicho, funcional, ahora explico que es eso, llamada lagrangiana.

1. L(q, dq/dt, t)

Las q denotan las coordenadas que indican la posicion de la partícula. Normalmente se escribe dq/dt con una q con un punto encima, pero el html no permite esta notación y aunque podria usar LaTeX con el Html puedo apñarme bien para esta entrada.

Bien, digo que es un funcional y no una función. ¿Por qué?, La explicacion es bien sencilla. q y dq/dt son a su vez funciones dependientes del tiemp, es decir q(t) denota la posición en la coordenada generalizada q de la partícula en el tiempo t . La palabra genralizada quiere decir que no suponemos a priori que estemos en un sistema cartesiano y nos vale cualuqier tipo de coordenada (radio, ángulo, o lo que sea). Por tanto L depende de unas funciones q (y además del tiempo), es una función de funciones (una función cuyos argumentos son otras funciones). Eso es un funcional.

Ahora bien, hasta ahora no tenemos ecuaciones,. ES decir, no tenemos nada que nos permita calcular las trayectorias q(t) que realmente sigue la partícula. ¿Cómo hacemos eso?

Ahí debemos aplicar el principio de mínima acción. A partir de la lagrangiana tenemos una operacion que nos da una magnitud física conocida como “acción.

2. S= ∫t1 t2 L(q, dq/dt, t) dt

Bien, el principio de mínima accion dice que una partícula clásica va a seguir de entre todas las posibles trayectorias q(t) entre los tiempos t1 y t2 justo aquella para la que esa integral sea un extemal (generalmente un mínimo aunque en teoria podria ser un máximo).

¿Y cómo encontramos esa trayectoria maximal?.

Consideramos cuanto varía la integral cuando variamos una trayectoria q(t) -> q(t) + δq(t) y nos interesan las variaciones que cumplen que δq(t1)=δq(t2)=0, es decir, que sólo variamos la trayectoria en los puntos intermedios y no en los extremos pués es en los puntos itermedios donde queremos saber la trayectoria (esto es un tecnicismo pués siepre podemos situar los extremos donde queramos.

Bien, pués hay que comparar lo que vale L en q(t) y en q(t) +δq(t). Se hace un desarrollo de potencias (tipo taylor en cierto modo) Y se obtiene la variación de la accion δS de la accion, que debe ser 0.

No daré los detales de la derivacion, sólo expongo el resultaod final, que son las famosas ecuaciones de Euler-Lagrange:

3. d/dt(∂L/∂dq/dt) – ∂L/∂q=0

Pese a que haya derivadas parciales en la forma de la ecuación en realidad lo que tenemos es una ecuacion diferencial.

¿Que forma tiene la lagrangiana?
Bien, otro punto excelente de la formulacion lagrangiana es que permite obtener a veces su forma a partir de consideraciones de simetría. El principio de galileo nos dice que las leyes de la física deben ser las mismas para observadores inerciales, es decir, aquellos que se desplazan unos respecto a otros a una velocidad constante.

Bien, si imponemos esto en la lagrangiana esto implica que debe depender del cuadrado de la velocidad. En un sistema cartesiano la coordenada generalizada q es simplmente la coordenada normal x (ó y, ó z, da igual) y dq/dt es la velocidad que denotamos por v. Así pués

L=a.v2

¿y cuanto debe ser esa a? Bien, si queremos tomar contacto con las leyes normales de newton debemos tener que als ecuaciones de Euler Lagranage se reducen a las de newton par auna par´ticula libre. Por tanto a debe valer (puede comprobarse sencillamente tomando las derivadas oportuns) a=1/2m

Es decir, una partícula libre tiene

4. L=1/2mv2

Bien, ya podemos describir un apartícula libre ¡que lujo! ¿y una partícula en interacción?

Bien, en mecánica elemental de la manera que se enseña actualmente se introducen los conceptos de energía cinética y energia potencial. Si os habeis fijado bien os habreis dado cuenta de que la forma de la lagrangiana de una partícula libre es justo la energía cinética de una partícula. Consideraciones sencillas nos llevan a que en general, para un sistema aislado sin rozamiento la lagrangiana va a ser de la forma:

5. L= T -U

T es la energiá cinética y U la potencial. Por ejmplo para un muelle U(q)=1/2kq2 y para el campo gravitatorio U=-GM/r

Bien, pués ya tenemos un estupendo “algoritmo”. Elegimos las coordenadas que por simetría mejor describan el sistema. Expesamso en esa coordenadas la energía cinética y la potencial y restando ambas tenemos nuestra lagrangiana.

Una vez tenemos la Lagrangiana usamos las ecuaciones de Euler Lagrnge y ya tenemso las ecuacioens diferenciales que describen el sistema. Ya “sólo” queda resolver esas ecuaciones (para las condiciones iniciales fijadas) y tenemos resuelto nuestro problema mecánico.

Bien, esta es la lagrangiana para partículas puntuales. En física (incluso física clásica) no todo son partículas puntuales que se mueven por el espacio. Por ejemplo tenemos campos que varian con el tiempo. El más típico (y casi el único en física clásica) es el campo electromagnético. Este campo electromagnético viene descrito por unas ecuaciones en derivadas parciales, las ecuaciones de Maxwell. Especificar el estado del campo significa establecer el valor de 6 funciones (3 para coordenada del campo eléctrico y 3 para cada coordenada el magnético) en todo el espacio.

Pese a eso puede generalizarse el concepto de lagrangiana y tener una lagrangina para campos. Para campos tanto clásicos como cuánticos. Y a partir de ella obtener ecuacioes de Euler Lagrange. En realidad para campos cuánticos hay una segund acuantizacion y no basta con las ecuaciones de Euler Lagrnge. Hay que buscar otras cosas. Pero a partir del Lagrangiano hay un algoritmo que permite obtenerlas. Pero bueno, lagrangianos de campos es más de lo que quiero explicaros ahora. Espero que hayais entendido algo de lagrangianos de partículas simples, que ya es mucho.

Hello world!

abril 19, 2008

Un nuevo blog de ciencia. ¿Era necesario?

Dado el bajísimo número de alumnos que hoy día se apauntan a carreras científicas, física y matemáticas en particular, creo que no esta de más. Ahora bien, yo ya tenía un blog, en blogspot, sobre gravedad cuántica ¿por que abrir otro y no postear alli lo que irá en este?. Hay varios motivos. De una paarte wordpres ofrece servicio para LaTeX (para lo que aquí interesa, un medio de escribir expresiones matemáticas) integrado mientras que en blogspot tengo que usar un servidor externo, lo cuál siempre es problemático. De otro lado la gravedad cuántica (teoria de cuerdas sobre todo, y posibles rivales cómo LQG) es un tópico bastante complejo y que puede intimidar a muchos posibles lectores. Y además, hay ciencia mas allá de la gravedad cuántica. Pués bien, ese es el proposito de este blog, comentar ciencia no relacionada con la gravedad cuántica (aunque algo de gravedad cuántica pondré también, posiblemente a un nivel mas elemental que en el otro blog). Otros aspecto a considerar, en el otro blog alterno entradas en inglés ocn entradas en español. En este posiblemente la mayoria vayan en español.

 También tengo intención de incluir entradas sobre ciencia ficción, lo cuál espero que redunde en mas diversidad y en que sea más ameno para un lector genérico.

 Respecto  al nivel de las entradas mi idea es que sea variado, algunas serán casi divulgativas y otras serán bastante técnicas. Posiblemente publicaré aquí entradas que ya tenía previamente en un livejournal revisadas y con las fórmulas transcritas a LaTeX, con lo cuál es probable que haya al principio un ritmo rápido de publicacion de entradas, y también es posible que en ess entraadas se me cuele alguna referencia que sólo tiene sentido en el livejournal (aunque intentaré evitarlo). En general intentaré que las entradas aquí sean bastante mas cuidadas que en el livejournal. En cierto modo este blog será una versión mas cuidada del livejournal, y prescindirá de entradas sobre música y, en general, temas off-toic en un journal de ciencias.

 En fín, espero que guste y que haya bastantes preguntas, pués sería muestra de que la curiosidad por la ciencia se mantiene.