Dinámica Hamiltoniana

Como expliqué el formalismo de Lagrange es muy útil en mecánica clásica por la facilidad que aporta para formular las ecuaciones de los sitemas físicos. También es muy útil en teoria cuántica de campos (teoría de cuàntica relativista para entendernos) pués proporciona un formalismo covariante, es decir, que se transforme de una manera “sencilla” bajo cambios de coordenadas, de los campos relativistas.

Sin embargo cuando se empieza a explicar mecánica cuántica no relativista se usa un formalismo hamiltoniano (de hecho también se usa en teoria cuántica de campos). Así pués voy a hacer una pequeña introduccioin al formalismo de Hamilton.

Que las matemáticas son necesarias esta claro. Pero aparte de matemáticas generales la física tiene sus propios desarrollos formales. Por ejemplo, y relacionado con este tópico, tenemos las ecuaciones de Newton que pueden formularse como una sencilla ecuación diferencial F=ma, en el formalismo lagrangiano, en el hamiltoniano que vamos a ver ahora, luego esta el de Hamilton Jacobi. Todos estos pueden hacerse con herramientas matemáticas más o menos básicas (haciendo un poco la vista gorda con cosas como el cálculo de variaciones y la transformada de Legendre que aparecerá un poco más tarde). Estos formalismos son todos del siglo XIX. Sin embargo en el siglo XX surgió la matemática moderna, la topologia, la geometría diferencial de variedades y muchas otras cosas. Usando gemoetría en variedades, se puede reformular la mecánica clásica en forma más sofisticada. Por ejemplo el conjunto de valores permitidos para las variables generalizadas de un sistema clásico forman una variedad, conocida cómo espacio de configuraciones. Sí se pasa al formalismo hamiltoniano se puede hablar de un “espacio de fases”. Y hablar de una geometría simplécita. Para haceros una idea la geometría simpléctica en la UAM sólo se ve en cursos de doctorado en matemáticas.

Lo curioso del caso es que tenemos un montón de formas de describir un sistema clásico, por ejemplo un oscilador armónico, que es el más sencillo. Pero en cualquiera de los formalismos la física es la misma. Si habeis hecho física en secundaria habréis visto la descripción de un muelle, y a poco que se os atrayera la asignatura lo habreis entendido de sobra. Pués bien, hay un monton de formas de describir ese oscilador y algunas de ellas requieren matemáticas a nivel de doctorado. Sin embargo la física que hay detrás es la misma. ¿que curioso no?

Por supuesto un formalismo más abstracto normalmente permite describir cosas más sofisticadas, y a veces simplificar la solución (o planteamiento) de problemas no tratables, al menos de manera razonable, en formalismos más sencillos. Por supuesto el problema con esto es que el otro día os puse el formalismo Lagrangianno y no lo usé para resolver (ni para explicar el planteamiento completo) ningún problema. Y ahora sin haber resuelto ningún caso os voy a poner un formalismo más sofisticado. Es decir, os estoy enseñando formalismo en vez de resultados físicos.

En mi defensa debo decir que si queremos tratar cosas cuánticas es casi imprescindible tener estos formalismos. Bueno, imprescindible no, los químicos estudian cuántica mediante la ecuaciónde Schröedinger y para ellos el hamiltoniano es, exclusivamente, la energía cinética + la energía potencial.

Bueno, vamos ya con el formalismo de Hamilton. El truco es el siguiente. Tenemos que una cantidad muy importante en mecánica es el momento de una partícula. En física básica se pone simplemente

1. p=m.v

Bien, una de las cosas para las que es útil el lagrangiano es para supervisar las simetrías del sistema. Se puede ver que si el sistema es invariante bajo traslaciones hay una cantidad invariante, que tiene la forma:

2. p=\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right)

Sí se evalúa eso para el lagrangiano de una partícula libre

3. 1/2.m.\dot{q}^2

que recordemos era la energía cinética de una partícula se ve que coincide con la expresión 1.

Ciertamente el lagrangiano de una partícula libre es invariante bajo traslaciones (es decir, si cambiamos la coordenada q a otra cualquiera q’=q+ a). Así pués se opta por que se defina siempre el momento de una partícula mediante esa expresión incluso sí el lagrangiano (y por tanto el sistema físico que describe) no es invariante bajo traslaciones.

Una vez tenemos definido el momento ya podemos ir al hamiltoniano. Nuestro objetivo es expresar el sistema físico en términos de las variables posición y momento p y q, en vez de en término de las variables posición y velocidad: q y dq/dt (que he denotado en las ecuaciones anteriores con una q, con un punto encima). El espacio de valores posibles para esas variables será una estructura geométrica (variedad) que se conoce cómo espacio de fases. Ahora lo expondré “sencillito” y no usaré el lenguaje de variedades

Fijaros que tenemos que pasar de las variables (q,dq/dt,t) a las (q,p,t) dónde dq/dt y p se relacionan mediante 2. Un problema de ese tipo, donde una variable se relaciona con otra mediante su derivada y queremos hacer un cambio de variables entre ambas se resuelve mediante lo que se conoce cómo transformada de Legendre. No explicaré los detalles de la misma, un tanto aburridos, y pondré el resultado final:

4. H(q,p,t)=\dot{q}.p - L( q,\dot{q},t)

Para que H dependa sólo de q y p debemos expresar el lagrangiano en términos de (q,p,t). Es decir, debemos invertir la relación 2 para obtener la p en función de la dq/dt. Esta inversión es algo que a veces se puede hacer y a veces no. En la mayoría de sistemas clásicos si se puede. Sin embargo no siempre ocurre. Por ejemplo en la lagrangiana de una partícula relativista no puede hacerse. Estos sistemas se llaman singulares y son muy interesantes. Por ejemplo en teoría cuántica de campos aparecen. El caso más sencillo es el campo electromagnético. Pero vamos a ocuparnos de los sistemas donde sí se puede hacer esta inversión, que son muchos y muy útiles.

Bien, una vez hemos hecho esta inversión ya tenemos el hamiltoniano que estábamos buscando. Recordemos que el Lagrangiano tenía una interpretación muy sencilla para sistemas típicos. Era :

5. L= T-V

Es decir, la resta de la energía cinética menos la potencial. ¿Existe alguna interpretación similar para el Hamiltoniano? Pues sí. El Hamiltoniano es la energía total:

6. H = T + V

Llegados a este punto uno puede preguntarse si realmente hacia falta hacer tanto el paripé si después de todo ya sabemos calcular la energía total de una partícula. Basta calcularla y expresarla en términos del momento en vez de en términos de la velocidad. Bien, sin duda esta prescripción funciona a veces. Pero sin ese formalismo detrás no tendría una justificación tan clara. Pongamos, en todo caso, con propósito ilustrativo, el hamiltoniano para un sistema sencillo, el de nuestro buen amigo el oscilador armónico ;-).

7. H=p^2/2m + 1/2.k.q^2

Bien, ¿fácil, no? Pero ¿y ahora que hacemos con H?

En mecánica cuántica sustituiríamos q y p (en bastantes ocasiones q será simplemente una coordenada cartesiana “normal”) por sus correspondientes operadores cuánticos. Pero ahora estamos en mecánica clásica ¿cómo sacamos ecuaciones diferenciales de este hamiltoniano? Pues mediante las ecuaciones de Hamilton:

8. \dot{q}=\partial H/ \partial p

\dot{p}= - \partial H/ \partial \dot{q}

Al igual que pasa con el caso de Lagrange aunque aparezcan términos con derivadas parciales del hamiltniano las ecuaciones de movimiento para las partículas son ecuaciones diferenciales ordinarias. Pongo el ejemplo de cómo resultarían para el oscilador armonico:

9. \dot{q}=p
\dot{p}=-k.q

Esto es un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden equivalente a una ecuacion diferencial de segundo orden, cómo se esperaría.

Por cierto, mencionar que tal cuál, a nivel clásico, las ecuacioens de Hamilton no son particularmente útiles a nivel práctico, pero sirven de punto de entrada para otros métodos que sí son prácticos. Uno de los ejemplos que siempre se cita (pero nunca se muetra xD) es que sirven para formular de manera organizada una teoría de perturbaciones que es la que se usa para ajustar órbitas de satélites (una vez transferido el formalismo a algún lenguaje de programacion). Pero cómo dije su papel más fundamental es su presencia en cuántica.

Por cierto, una aclaración válida para este post y el del lagrangiano. He puesto las expresiones para el caso de una sola variable generalizada q. Por supuesto puede generalizarse de manera obvia para el caso en que en el sistema haya varias partículas , en general N partículas, con coordenadas qi donde i=1,2..,N.

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3 comentarios to “Dinámica Hamiltoniana”

  1. rael Says:

    Hola!

    Desde hace unos meses, unos cuantos blogueros algunos artículos para acercar la física al gran público y los reunimos para darles la mayor difusión posible!

    Me gustaría saber si quieres participar este més de Febrero con un artículo que hayas escrito este mes o si quieres escribir uno antes del domigo (se que es un poco justo).

    Si quieres saber un poquito más, pásate por la entrada de mi blog:

    http://rtfm.es/2010/02/04/cuarta-edicion-carnaval-fisica/

    Muchas gracias,

  2. facaes Says:

    gracias por el articulo, un muy buena introducción.
    me podrias recomendar un libro sobre la tematica??
    gracias.

    • freelancescience Says:

      A rael, y al resto de gente que haya leído ese comentario, decirles que el aviso me llegó no sólo algo tarde, como apuntaba el propio rael, sino en un momento en el que estaba bastante ocupado. De lo contrario posiblemente si habría intentado escribir algo pues la propuesta me parece interesante.

      A faces comentarle que no conozco ningún libro exclusivo sobre dinámica hamiltoniana. Lo que si puedo es recomendar los textos habituales sobre mecánica clásica, que incluyen la dinámica hamiltoniana.

      El mas breve, y tal vez por eso mismo el mejor, es el de Landau Y Lipshitz, titulado “mecánica clásica” y que es el tomo I de el curso de esos dos autores de física teórica.

      Otro libro típico, y bueno, es el Goldsetein, también titulado mecánica clásica (o algo muy similar).

      Menos conocido, pero también bastante bueno, es el libro de mecánica clásica de Rañeda.

      Para gente con gustos más matemáticos es recomendable el de V. I Arnold “mathemathical methos of classical mechanics”. Tiene una excelente reputación aunque yo sobre ese enfoque personalmente prefiero el libro de Marsden (el mismo del famoso texto de cálculo vectorial Mardsen y Tromba) cuyo título en este momento no recuerdo. El libro de Arnold, para mi gusto, es poco riguroso con los aspectos de topología de conjuntos, cosa que no sucede con el de Mardsen. Posiblemente mas que una cuestión de autores es una cuestión de filosofías y escuelas matemáticas. Anold viene de la escuela Rusa y mardsen de la americana.

      En fin, espero que te sirvan de algo estas referencias. Saludos

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