Archive for 29 mayo 2008

La rebelión de las formas

mayo 29, 2008

Leer este libro de Jorge Wagenserbrg, el director de la colección “metatemas” de ensayos científicos (llamémoslos así) ha supuesto un pequeño reto. De hecho he tenido que sacar el libro varias veces de las diversas bibliotecas donde esta disponible antes de hacer un supremo acto de voluntad y terminarlo.

Mi motivación para leer el libro está basada en mi interés en la ciencia ficción, más que en la ciencia pura. Una de las cosas que debe hacer alguien que escriba ciencia ficción es “diseñar aliens”, es decir inventarse que forma puede tener un alíen que sea fisiológicamente posible y cuya forma responda adecuadamente a la función. Para este fín (no exclusivamente, pero si en buena parte) he leído varios libros de biofísica. En realidad la biofísica es muy entretenida en si misma y se le puede sacar mucho rendimiento dando luego clases sobre el tema a estudiantes de farmacia, medicina y biología, que buena falta les hace, pues muchos de ellos se meten en las carreras sin haber hecho física en 2º bachillerato, algo que no debería estar permitido. Por supuesto, a su vez, dando clases inevitablemente tienes ocasión de aprender mas cosas de las que sabías inicialmente. De la biofísica pura y dura se saca un montón de información de que características debe inevitablemente tener un alíen para poder realizar tal o cuál función. Pero no basta con estudiar los aliens aislados. Normalmente uno tendría que considerar una biosfera alíen. Para eso habría que irse a estudiar ecología, y cosas cómo leyes alométricas y similares. Bueno, cómo decía al principio del párrafo un libro que trata sobre las formas en la naturaleza, y en especial las formas de los seres vivos y las restricciones que la física impone en ellos tiene pinta excelente. Si además el autor es un experto en “física de la complejidad” esperas que te de una idea unificada y meditada sobre el tema a tratar, pues vaya, no.

Una recomendación muy importante si alguien decide leer este libro es fijarse en que tiene dos partes, la primera “cómo perseverar cuando la incertidumbre aprieta” (subtítulo del libro todo sea dicho) es magnífica para poner en práctica los consejos que se dan en los cursos/libros de lectura rápida. Mucha filosofía para mi gusto y sólo unas pocas gotas de física o biología. Salvaría las consideraciones que hace sobre “el carácter de la ley física” de Feynman en las que viene a observar que la mayoría de las leyes más que predictivas son restrictivas. Es decir, no predicen lo que va a ocurrir sino que indican lo que no puede ocurrir. Quitando eso, y algunas consideraciones sobre “materia culta” o algo así, menciones muy por encima de hechos bien conocidos de otros libros de la colección metatemas (en particular de prigogyne) y algunas anécdotas curiosas sobre fenómenos exóticos en biología es todo bastante disperso y, para mi gusto, sin particular interés. Debo decir que leer esta primera parte me llevo bastantes intentos.

La segunda parte, que cubre aproximadamente la segunda mitad del libro, ya si entra en lo que se anuncia. Aunque debo decir que tampoco es exactamente lo que esperaba al menos en muchas partes. Decir que la esfera es la figura que optimiza el volumen cierto por una superficie dada es algo requetesabido. Luego comenta que los hexágonos son la forma ideal para pavimentar, y da una presunta explicación con palabras de porque es así que realmente no explica nada. Luego sigue con otras formas y sus funciones. Se aprenden cosas sueltas de conocimiento no demasiado común (cómo que la fuerza que hace falta para desenroscar una hélice es proporcional a la exponencial del número de vueltas de la hélice) pero en general se enuncian resultados sin explicar demasiado al física que hay detrás y cómo se deduce de ella. O la matemática (uno esperaría que en un libro sobre formas óptimas se hablara sobre el cálculo de variaciones). Eso sí, incluye algo muy atípico en un libro de ciencia, un montón de datos sobre arte. En particular Gaudí aparece en casi cada capítulo. El motivo viene a ser que hace 3 grupos, formas inertes (inanimadas), formas orgánicas y formas cultas, y el arte entra en este último grupo. No sé, a algunos les puede parecer que con eso queda un libro muy culto, pero a mí me parece un poco fuera de lugar. Bien es cierto que en el epílogo intenta crear una tesis sobre el factor de la utilidad de la estética y su relación con aspectos científicos, pero no me resulta nada convincente. Eso sí, cuenta la construcción de Banchoff del hipercubo, y cómo ir de la 3º a la cuarta dimensión por un proceso de iteración, que desconocía y resulta curiosa. Por lo visto Dalí pudo inspirarse en esto para un cuadro llamado corpus hypercubus, que muestra una crucifixion. Pues bueno, vale. ah, sí, y afirma que los artistas pueden tener intuiciones científicas válidas sin entender lo que hacen, pues muy bien.

Con mucho el mejor capítulo del libro es el que trata de los fractales. que es el último de los tipos de figuras que trata. En particular resulta interesante la idea de introducir un análogo a la entropía fractal (que por lo visto es una aportacion original suya) y la explicación de una serie de leyes alométricas. NE particular habla del trabajo de West, Brown y Enquist (WBE). Es un trabajo del 1997 que demuestra que los animales optan por estructuras fractales, que originan leyes de escala on factor 1/4 cómo consecuencia de minimizar el consumo de energía en los procesos de transporte interno de energía. Por lo visto había numerosas leyes de tipo 1/4, por ejemplo, que el consumo metabólico de un individuo por unidad de masa es proporcional a la masa del individuo elevado a una potencia 3/4 que se había obtenido experimentalmente y que no podía explicarse mediante principios de mínimo (de energias, dispiacines de calor o lo que fuese) que usasen figuras euclídeas y si explicaron WBE (su modelo usaba hidrdinámica para evaluar el coste del transporte de enrgía).

En fin, un libro que promete mucho mas de lo que da. Tiene algunos datos sueltos bastante interesantes mezclado entre un montón de reflexiones un tanto deshilvanadas, se echan de menos explicaciones más detalladas de algunos resultados y en general es un magnífico libro para hacer ejercicios de lectura rápida ;-).

Dado que ahora, a partir del viernes, es la feria del libro n Madrid, si vais y buscáis algo de divulgación, no recomendaría comprarlo. Hay cosa más interesantes en el mercado. Por ejemplo ha salido “la guerra de dos mundos”, escrito por Sergio L. Palacios, el autor del blog física en la ciencia ficción ( fisicacf.blogspot.com ) que tiene todas las papeletas de ser mucho mas interesante (a juzgar por el blog). Aunque la verdad yo tengo prioridad por comprar la continuación de “illyon” de Dan Simmons, que es una de las novelas de CF que más me ha interesado en los últimos tiempos, y posiblemente, algo de Greg Egan, que hay cierta gente que no para de recomendar encarecidamente ;-).

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Indiana Jones and the lost alien

mayo 26, 2008

Me he retrasado unos días en ver la cuarta entrega de Indiana Jones, por motivos que no viene al caso, lo cuál me ha servido para leer unas cuantas críticas a la película antes de ir a verla (por ejemplo la de el trasgu probabilista.

Bien, creo que, pese a todas esas críticas, hay terreno libre aún para hacer muchas observaciones sobre la película, así que voy con algunas. Aviso, intentaré no destripar argumentos, pero tampoco va a ser esto 100% libre de spoil (por cierto, a ver cuando alguien busca una traducción pegadiza al castellano de esta palabrita).

Lo primero situar el fondo de la aventura. A diferencia de las entregas anteriores, dónde indiana trataba con objetivos arqueológicos relacionados con religiones convencionales, y en activo (catolicismo en la primera y la tercera, una rama exótica del hinduismo en la segunda) que derivaban en sucesos de caracterísitcas “mágicas” aqúi trata con un mito no ligado estrictamente a una religión, una famosa ciudad perdida objeto de la codicia de los conquistadores españoles, que derivan en unos sucesos de características “científicas” (que discutiré al final). En concreto la trama entraría dentro de lo que se conoce como astroarqueologia, y la s novelas de Erich von deniken e imitadores. La astroarqueologia vendria a ser algo así como la búsqueda de signos de visitas alienígenas en restos arqueológicos.

Creo que es preciso aclarar mi postura al respecto de la astroarqueologia. El primer punto a considerar es admitir o no la existencia de vida alienígena, y en particular civilizacions alienígenas con tecnología avanzada y viaje interestelar. En la última década hemos verificado que hay bastante planetas, algunos de ellos en el intervalo orbital en torno a sus respectivas estrellas, y con los tamaños apropiados, que, apriori, permiten vida similar la terrestre. Daado que apenas hemos empezado a mirar eso apunta a que hay bastantes facilidades para la existencia de vida alien. Pero una cosa es la existencia de vida y otra la existencia de civilizaciones intergalácticas (en la película consideran otra posibilidad que ya comentaré mas adelante). Admitamos que de algún modo sea posible el viaje interestelar. Con la tecnologia terrestre es muy compllicado, pero, en principio, es factible. Conforme a la ciencia actual es más seguro hablar de vieje a velocidad inferior a la de la luz, aunque hay algunas posibles alternativas (agujeros de gusano, por ejemplo). Y, por supuesto, podemos arguir que una civilizacion alien ha dado con otras alaternativas que desconocemos que le facilitan el viaje interestelar. Realmente es una diferencia grande un tipo de viaje u otro, pero no voya discutir a fondo el porqué. En todo caso el dato importante es que hay una posibildiad razonable de visitas alienígenas. Una vez establecido esto habría que preguntarse cuan relevante es dicha posiblidad. ¿Alguien duda que sería el mayor acontecimiento de la historia de la humanidad verificar dicha posibildiad?. Si es así casi mejor que no se moleste en seguir leyendo el post. Vaale, admitamos que sería un hecho de la máxima importancia. Por tanto es una posiblidad que debería estudiarse, podeis ver en el blog del trasgu probabilista que los rusos dedicaron bastante atención a este particular.

Aprovecho para volver a la película. En “el arca perdida” y en “la última cruzada” los “malos” eran los nazis, en esta son los rusos. Mucha gente ha querido ver esto cómo una pequeña variante argumental para no repetirse demasiado, y, si acaso, para poder tartar por encima la caza de brujas de AMcarthy. Tal vez, yo no puedo leer la mente de Spielberga si que sólo puedo hacer conjeturas. Eso de leer la mente de Spielberg quizás la mala de la peli, Cate Blanchet, aka Galadriel, o gente así xD (no sé si todo el mundo habrá caido en que Galadriel era telépata y que, al menos en parte, el intento de leer la mente de Indi es un guiño al personaje élfico en cuestión). Sea de la manera que sea a mí me parece muy apropiado que en esta peli los malos sean los rusos. En ls otras pelis los nazis eran candidaatos ideales pués bien sabido es el hecho de que los nazis tenían pasión por las “ciencias ocultas” y una relacion de odio (o amor odio, quien sabe) con el cristianismo, así que era normal que buscasen el arca perdida o el caliz de la última cena creyendo que les podria dar “poderes inimaginables”. Los rusos por el contrario, eran antireligiosos. Cómo podeis leer en el blog de instan eso llevo a que se interesaran en buscar explicacioens sociológicas a las religiones, y una posilbe explicación sociológica es que los dioses sean alienígenas. De hecho el gobierno ruso apoyaba activamente esas interpretaciones, asi que no es nada extraño que la espia y cientifica rusa creyera sin problemas en la trama alien y que estuviera al tanto de las invstigaciones arqueológicas al respecto (y por supuesto más si cómo afirman en la peli rusia había encontrado aliens accidentados en el siglo XX). Otro aspecto interesante del personaje es que hacía “investigacion paranormal”. Realmente desconozco cuál es el punto de vista en los paises comunistas de la época sobre el particualr, pero, así a priori, no me sorprende. Incluso en occidente en esa época (o más o menos por esa época, si no es en los cincuenta, en los sesenta y setenta con total seguridad) había una cierta tolerancia a esa idea. Se llegarona abrir en algunas universidades occientales centros de estudio parapsiologico (recientemente cerradas debido al fracaso en la obtencion de resultados). Autores cómo Asimov, de ascendencia ligada a los paises del este, por cierto, uso la telepatía en la serie de la fundación. Stanislav Lem, autor polaco, y por tanto del bloque del este, adjudicaba dotes telepáticas al enigmático planeta “solaris”. Eso me induce a creer que en rusia no estaba del todo mal visto creer en la telepatía. Un último apunte. Puede sonar raro que una científica tan atípica cómo la de la peli fuera una “favorita” de Lenin (obviemos el “pequeño” error que apunta instan sobre las fechas). Casos peores habia en la realidad. Es famoso el caso de un consjero de Lenin, que trabajaba en biologia, y que estaba en contra de Darwin y a favor de Lamarck (hay una anécdota célebre sobre el particular cuando tuvo un encuentro con el famoso, y excelente, físico Lev Landau, que o expondré para no alargar aún mas el post). Eso llevo a que la URSS estuviera muy retrasada respecto a occidente en biologia (lo cuál tendría cmo consecuencia práctica, entre otras cosas, unas peores consecuencias, que contribuyeron a arruinar su economía). Digamos que el papel de esa cientifica rusa puede decirnos mucho sobre el régimen comunista, si queremos buscarle las vuelta de tuerca.

Volvamos al tema de la astroarquologia. En principio es una posibildad legítima preocuparse de buscar indicios de contacto alienígena en alguna época del pasado de la tierra. Habría que distinguir al menos 3 épocas. Una anterior a la aparicion de los homínidos. Esto abarca muchos millones de años. Los signos reconoibles de tales visitas alienígenas en princio debe´rian ser tecnologicos. Lo malo es que la tecnologia se degrada rapidamente. Es decir, pongamos que por lo que fuese hace 70 millones de años unos aliens pululasen entre los dinosaurios y que, mientras se entretenían rodando escenas de peleas entre dinos no se dieran cuenta de que había una avalancha de tierra y quedaran enterrados en limo. Bien ¿que quedaria del equipo de grabacion? Pués muy probablemente absolutamente nada. Además hemos de asumir además que las visitas serían ocasionales (si hubiesen establecido una colonia permanente seri pequñea, y durante no muchos años) con lo cuál es mucho menos probable que haya aliens atrapados en limo que dinos. Una segunda época importante sería en el álba de la huymanidad, de los prmieros homínidos a la época histórica. Aquí las implicaciones y onsideraciones ya cambiaan. De un lado tenemos que estamos hablando de épocas mucho mas recientes (desde un millon de años hasta hace 10.00o años aproximadamente). Es una aépoca muy extensa de tiempo, y bastante mas reciente. Lo suficientemente amplica cómo para que estadisticamente haya probabilidades razonables de visitas alien aleatorias (por supuesto no tenemos datos precisos sobre cuantos aliens puede haber en el universo, con lo cuál la incertidumbre es grande, pero vaya) y lo bastante cercana cóm para que haya mas posibilidades de que se conserven restos tecnológicos. Por supuesto hay otro aspecto significativo. Si hubiese aaliens en esa época podría plantearse la posiblidd de que hubiesen interferido en el futuro de los homínidos ¿quen no ha visto la escena dle monolito y los monos en “2001, una odisea del espacio”?. En realidad aparte de restos arqueológicos normales pdemos invstigar esto mediante la genética. Supongo que la menos alguns de los lectores recordar´n que hace unos años se hizo famosa la “Eva mitocondrial”. La idea es que las mitocondrias, unos orgánulos de la célula dónde se produce la energia de la misma, tiene un ADN independiente que se herda unicamente de la madre. Eso hizo posible hacer un estudio en los humanos actuales que indicó que todos provenian de una zona africana. Los arqueólogos no estuvieron muy de acuerdo y aportaron indicios de existecia de humanos en diversas zonas. Bien, todo eso es de hce algunos años. Recientemetne a habido una pequeñña aportacion extra a esa teoria. Se ha podido estimar el tamaño de la población de la que provenía esa “Eva mitcondrial”. Se estima que estamos hablando de una población de unos 2.000 individuos, justamente en el limite de la viabildad genética. Analizando las fechas en que vivian esos individuos se observa que vivieron en una pepoca de cambio climático extremo. Posiblemente ese cambio les llevó al borde de la extincion. Caso de no haber sobrevivido la tierra ahora probblemente estaría dominada por los herederos del “homo antecesor” u otros homínidos. ESto, de cara al escenario de intervencion alien, no deja de ser relevante. Los eventuales aliens que, por lo que fuese, quisieran favorecer la evolucion de los hominidos es de esperar que eligieran algún homínido de amplia difusión. Si actuaron sobre poblaciones europeas esto llevaria al homo antecesor y coetáneos. todos ellos actualmente extinguios, con lo cuál si ese hubiera sido el caso habrían fracasado. Si hubieran actuado con los antecesores comunes de los primeros europoes y los humanos actuales provenientes de África, digamos los austrolopitecus y el homo hábilis (digamos que contribuyendo a us rápida encefalizacion), si hubiera habido permanencia de su legado, aunque no veo cóm podri aseguirsele la pista dado el corte genético que hubo en los humanos actuales al verse su población reducida a 2.000 individuos en una época dada. En fín, no le demos mas vueltas, sólo era un apunte. Y por supuesto los posibles restos tecnológicos tenian menos probabilidades de degradaarse. Aprovecho apra comentar un detalle. Aparte de tecnologia actualmente establecida debería plantearse la búsqueda de tecnologia futurible (por ejemplo nanotecnologia).

La tercera época, que es la que contempla la pelicula, es la visita de aliens en épocas históricas. Aqúi la probabildad de visitas aliens es mas baja pués estamos hablando de un periodo de tiempo muy corto (del orden de unos pocos miles de años). Por contra las probabilidades de que quedara un registro de su actividad son muchísimo mayores. Para empezar los relatos escritos (al fin y al cabo lo que diferencia historia de prehistoria es la existencia de fuentes escritas). Por otro lado de épocas tan reciente es relativamente mas plausible haya restos físicos. Aunque ojo, un esquelto de un homínido es la cosa más fragil del mundo. De una hipotética cilivlizacion alien antropomorfica de pocos individuos caso de que algunos hubiese muerto y su cadaver, por lo que fuese, quedara en el planeta tierra es muy poco probable que quedara algo de él. Piensese que un cadaver en la naturaleza es completamente reciclaod (comido por alimañas y los restos degradados por bacterias) en un año o así (en el mejor de los casos posibles, en realidad podria desaparecer del todo en cuestion de días). Sólo en asos muy raros podría fosilizar. De una poblacion de partida amplia hay posibilidades estadisitcas de tener retos, de unos pocos cientos de aliens…casi ninguna. Esto, por supuesto, asumiendo que los aliens pasaran a la cadena alimenticia terrestre, y que sus huesos fueeran similares a los de los sere de aquí. E la película la “calavera de cristal” hace referencia a que se esta tratando con el cráneo de un alien de apariencia cristalina. En realidad durante buena paarte de la película se piensa que es una escultura y no un resto. Voy a hace un impas en la exposicion de astroarqueologia para comentar el particular. Al principio Indi debe, presionado por los rusos que le habian capturado, buscar entre una ingente cantidad de cajas la que contiene un resto que había recogido unos años antes (luego sabremos que en un incidente sospechosaamente parecido ala caos rossevlt, tan manido por la magufería). Indy no sabe que hay en la caja, pero sabe qeu es “furetemetne magnético”. Eso da lugar a unas escenas muy vistosas en las que, a falta de brújula, usa polvora, que contiene elementos metálicos magnéticamente cargados, para localizar la ubicación de la caja. Mas adelante vemos que la caja atrae apreciablemetne materiales metálicos pesados (rifles, lamaparas) desde unos pocos metros de distancia. Cuando se abre la caja se ven los restos de una criaatura de apariencia hominida (pero con toques claramente no humanos). Y se establece que es la criatura, y no el envoltorio, lo que es magnéticamente activo. La verdad es que las escenas de la búsqueda son muy entretenidas, pero la viabilidad de una criatura viva con semejante actividad magnética es, digamos que muy reducida. Mas si asumimos que debe habitar en un entorno tecnologico. Imaginees un humano en similares circunstancias. Cualquier objeto met´lco ailado de las proximadiades saltaría hacia él con bastante velocidad, co lo cuál las posiblidades de que lo hierese gravemetne serian grandes. Y aparte, en cuanto pasara cerca de alguna superficie metálaica grande y pesada (magnéticamente activa) quedaría pegado a ella, tras darse un buen porrazo. En fín, seamos generosos y conedamos que el animal sólo se vuelve magnético tras fallecer.

Sigo un rato más con la busqueda de aliens en culturas antiguas, la esencia de los libros de von deniken. En sí no veo nada de malo en ello, y, cóm dije, la URSS de stalin tampoco. Un aspecto importante es que los arqueólogs han sabido trazar una historia coherente sinusar esa hipótesis. Pero digamos que hay una posiblidad de una desviacion metodológica en lo sarqueóglos, mayoritariamente criados en un stablisment judeo-cristiano reacio a la idea lienígena. Incluso el stablisment científico puede considerarse en conjunto hostil a esta hipótesis. Digamos que aunque la posiblidad existe es razonable suponer que etadisitciametnte no es muy grande. Mas importante aún es el hecho de que caso de haber existido dichas visitas se plantearia la cuestio de porque se habrian marchado. Bien, voy a jugar un poco. Tras ver 10.00 busqué referencias a la fecha de extincion de diversas especies animales y halle que una de ellas, planteada or unos astrofisicos, consideroba la posiblidad de que una supernova sita aunos 2500 años luz provocase unos miles de años despues de su explosión una lluvia de meteoritos metálicos que hubiesen acabdo con la megafauna americana. No sé como una estrella puede producir meteoritos sólidos. Y posiblemente haya mejores explicacioens para esas extinciones. El caso es que hasta ahora me hbia ocupado de las repercusiones directas para la tierra de dicha supernova (y otras posibles supernovas en el futuro). Pero he caido en otro aspecto. Lo de los metoeritos metálicos es discutible, pero esta universalmetne admitido que una supernova puede esterilizar planetas sitos en otros sistemas solares en un radio de varios años luz a la redonda de la supernova. Y sabemos que hubo una supernova por las inmediaciones hace unos miles de años. La cuestión es plantearse la posible influencia de esa supernova so bere hipotéticas civilizaciones aliens situadas por el mismo entorno que nosotros (que son las que mas probablemtne nos habrían visitado). Una civilzación sin recursos de viaje interetelar a la que le hubiese pillado cerca la explosión lo haabria pasado muy mal. La civilzacion humana actual, con la tecnologia actual, probablemetn n podria sobrevivir a dicha explosión (seguramente unos cuantos indiviudos si, durante algunos años, pero posiblement no podrian vovler a reestablecer la civilzacion y terminarian extintos). Eso nos quita unos cuantos “vecinos potenciales”. Una civilizacion recien iniciada en el viaje etelar tendría ms opciones. De hecho podemos suponer que previamente a la explosión udieran haberla previsto y que eso les habría motivado a explorar el espacio en busca de emplazamientos alternativos, caso de que su planeta se viese afectado. Incluso si no se viese afectado su planeta sabrían que dicha supernova podria llegar a extinguir civilizaciones incipientes, lo cuál podria acelerar la investigación del entorno antes de que eso succediese. Hay varios motivos para ello, desde intentar ayudar, a intentar estudiar antes de la destrucción, recoger muestras, etc. Por supuesto es importante establecer que supeustamente la explosion afectó a la tierra hace unos 13.000 años, pero a otros planetas podria haberles afectado en otras épocas y en distinto grado(dependiendo de su distancia a la explosión). Es factible que unos hipotéticos visitantes a civilzaciones humanas muy antiguas se encontraran con que su planeta de origen hbia sido diezmado (en mayor o menor medida) por dicha supernova y que eso hubiese afectado a los posibles planes de establecimiento en la tierra. En fín, no tomeis esto muy en serio, es simplemente jugar co información reciente (laa hiptesis esta es del 2004) para revisitar ideas antiguas (Von denken es de los 70-80).

Bien, dejemos de lado la astroarquelogia y sigamos con la película. En concreto los apsectos arquelogicos mas cnvencionales. En varias escenas vems a Indy descifrando textos en escritura maya, traduccion por un amigo suyo de otra escritura mas antigua. Nada raro, ¿no? Al fin ya la cabo Indy es un reputado profesor de arqueologia. Si vais a wikipeida podeis ver que la traducción de escritura maya es complicada y no estaba minimamente resuelta en esa época. Es mas, por lo visto el bloque soviético iba por delante. Pero bueno, cómo en la peli se quedan en aspectos muy generales de lo que es el jeroglifico (aguas, serpientes, y cosas así) podriámos aceptar barco respecto a los mayas. De todos modos eso de la “escritura mas antigua” es mas sospechoso. No todas las culturas precolombinas tenáin alfabeto. En particular los Incas no lo tenían (usban un sistema muy arcaico, y poco práctico) de nudos en cuerdas para tenre registros limitados de cuentas numéricas y poco más). Eso hace que, en principio, sea muy arriesgado jugar con “escrituaras antiguas” precolombinas, pero, vale, admitamos pulpo. Lo que ya me cuadra mucho menos es el tema de Orellana. Resulta que orellana es central en la peli pués él buscó en e pasado la ciudad que enconrtro el arqueologo amigo de Indy, a la uqe llegaran al fin de la peli. Se supone que la cidudad esta en la selva amazónica (en la peli de hecho es así). Y vale, orellana se perdió buscando la ciudad y no se encontraron los restos. El amigo de Indy, sin embargo, había dado con ellos y deja pistas al señor jones para que lo halle. Esas pistas incuyen los famosos geoglifos. Un geoglifo es una estructura enorme, que continee undibujo, visible sólo dede grandes alturas. Se supone que es imposible diseñar un geoglifo sin poder volar para ver com queda. Ese es uno de los puntos fuertes de la astroarqueologia magufa (los von deniken y cia). La verdad es que lei a Deniken hace mucho tiempo, y que cuando empecé a estudiar ciencia seria dejé de leerlo y de preocuparme de esas historias. POr supesto no preocuparse de un enigma no significa que este haya sido resuelto. La verdad es que no sé cuál es la postura oficila sobre esos geoglifos. Me imagin que habrá explicacioens convencinales de los mismos, y dede luego no me da tiempo de leer al respecto antes de termianr de redactar este post. Con todo hay un aspecto cuanto menos descuidado en la pelicula sobre el particular. Estos geoglifos estan ubicados en Perú (eso dicen), y se supone que Orellana esta enterrado junto a uno de esos geoglifos. Ahora bien, Perú, y esa zna de Perú en conreto, esta muy lejos del amazonas. Se nos dice que orellana había encontrado la ciudad y que habia muerto al volver. Pero caray ¿adónde se supone que estaba voviendo que le llevaba del amazonas a Perú? ¿y como había recorrido tantisimo territorio sin ser detectado? (que no es que pasara desapercibido un destacamento de Españoles en medio de tanto indio). En fín, me parece un despropóstio metido a capón para hablarnos de los geoglifos. Y me lleva al otro aspecto que mas me disgusta de la pelicula.

Las anteries peliculas de Idiana jones podrian considerarse superproducciones. Se gastaba mucho dinero en extaras y exteriores. Aquí hay pocos extras, y los “exteriores”, al menos algunos, parecen recnstrucciones de estudio. Creo que el despliegue de efectos por ordenador haya hecho que pase desapercibido, pero da la impresion de que en la película no se ha invertido mucho dinero. Es decir, los efectos digitales son mas baratos que los extras y las localizacones de exteriores. En estos tiempos del emule cada vez parece que se intentan producir películas mas baratas para evitar riesgos Y quizás eso afecte incluso a Lucas y Spieberg. Y quizás eso pueda exculpar en parte un aspecto muy molesto. En el cemnterio de Orellana hay unos cuantos nativos, caracterizados con aspecto amenazante, que atacan a Jones y su acompañante. El caso es que estan alli y no se nos dice ni quien son ni que pintan alli. Ahí se hecha de menos toda la intriga de “el templo maldito” dónde sí se preocupa en analizar los aspectos de los indígenas. Más adleante, ya en la ciudad perdida, aparecen otros nativos, de los que se libran con un recurso argumental algo cuestionable, pero vale, admisible. Y tampoco se dice muy bien quien son. Pero bueno, al menos en la leyenda se habla de que la ciduad estaba custodiada por “muertos vivientes”. Podemos admitir que esos indiso son los herederos de la antigua civilzacion y de que han intentado perpetuar la idea de los “Muertos vivientees” para preservar la ciudad. Ahora bien ¿que relación hay entre los indiso de la ciudad y los del cementerio? Vamos, que los del cementerios parecen estar para que indy se marque unas pocas escenas de acción. No me convence nada, epro bueno.

Y paso a analizr el final de la pelicula. A mucha gente le ha chocado mucho y lo encuentran fuera de lugar. Yo no veo porque. Es basicamente el esquema de el arca perdida. Claro, auqí no hay un arca judeocrisitana y no tiene sentido uqe surgan ángeles y demonios. Si toda la pelicula hemos tenido aliens lo más normal es que le final de la pelicula sea muy alienígena (de hecho lo que no pegariaa es un final mágico). De hecho hay precedentes en la filmografia de Spieblberg. El final de “encuentros en la tercera fase” o “ET el extraterrestre” implicna muchas luces y platillos voantes (por cierto, Spielberg ha tocado el tema alien en muchas peliculas, ¿que tiene de extraño que meta a indy en dicha temática?.

Para empezar aclarar que se nos informa de que esos aliens no vienen del espacio exterior sino de un espacio intradimensinal (o algo así). No esta mal, coneso se carga todas las considraciones de astroarqueologia que he hecho en este post, pero, claro, las he puesto sabiendo eso, digamos que eran pertinentes). Analicemos ¿que puede significar intra, o si acaso inter, dimensonal?. Veamos posibildades en funcion de la fisica mas actual. De un lado tenemos la interpretacion de Everet de la mecáncia cuántica, conocida como la de los “mucos mundos”, o de los universos paralelos. Según esa interpretación por cada colapso de la funcion de onda en que pueda haber varias opciones habrá un desdoblamiento del universo fromandose un universo paralelo donde cada opcion se habrá realizado. Los aliens podrian venir de uno de esos universos paralelos. En ese caso posiblemente podrian no ser ni siquiera aliens. Serian humanos de alguna tierra alternativa. Eso explicaría su aspecto humanoide (eso de que los aliens sean antropomorficos suena muy antropcnetirsita, aunque, por otro lado, los aliens que mas podrian interesarse por los humanos son aqquellos que se parecieran a los humaos, al igual que los humanos se iteresan en los monos). Es una iterpretacion muy recurrente en CF, pero la verdad es uqe no termian de encajr cn lo de “intradimensinal”. Veamos alternativas, qeu además encjaen mejor con los efectos especiales.

PAra ello me paso rapidament ea la teoria de cuerdas. Ahi tenemos, par amodelos realistas (obvio la cuerda bosonica, que seria un “toy model”) 10 u 11 dimensiones para jugar.Cóm el universo observado tiene 4 dimensiones (3 y el tiempo) las dimeniones extra deben estar ocultas de algun modo. La manaera mas sencilla de librarse de ellas es enrollarlas en espacioes internos (por ejemplo los famosos Calabi-Yaus)de un tamaño inobservable, del orden de la lingitud de Planck. Tal vez podría intentar jugarse con la posibildad de que hubiese aglun modo de vida en esos calabi-Yaus, pero desde luego no sería similar a nada conocido. Otro escenario en teoria de cuerdas es el de los bran-wrolds. En teoria de cuerdas existen branas, de diversas dimensiones, y el universo observable pdoria ser una 3 brana. de esa bran sólo podria escapar la gravedad. Lo intersante es que, aparte de la brana que representael universo observable, podria haber otras. Y, en prncipio, podria no ser imposible ir a una de ellas de algún modo. Podriamos pensar que esos alien viene de alguna brana. Para ir a una de tales brans habria que desplazarse por una de esas dimeniones extra (que no tendria un tamaño de la lingitud de Planck, sino otro bastante mayor, incluso tal vez cuasi macroscopico). Eso encaja con lo que se ve en la peli, donde se ve que la nave alien simplementedesaparece en vez de salir fuera de la atmosfera rumbo a no se sabe que estrella.

¿Y cómo se podria viajar a través de esas dimensiones, o dimensión, extra? Bien, analizo que se ve en la peli primero y comento a partir de ahí. En la peli tenemos que todo alrededor de la nave da vueltas, justo hasta las mismas narices de nuestro heroe, vaya. Tenemos algo qu eclaramente es una figura de simetría cilíndrica. Com quiera que las piedras, aparte de dar vueltas, flotan en contra del campo grvitaatorio terrestre, y no salen despedidas mas allá de cierta distancia, podemos pensar en dos opciones. un sería que el propio espacio-tiempo gira. La solucón de aguejros negros mas conocida es la de Schsraschild, que es estática. Sin embargo en un caso realista de aguejro negro astrofisico típico hemos de suponer que el momento de giro de la estrellaa que dio lugar al agujero negro se ocnserva en el agujero negro. Esto da lugar a la solucion de Kerr. Ahít enemos un agujero negro con moento angular. Uina característica peculaiar de esos agujernos negros es la “ergoesfera”. Esa ergosfra es una zona de espacio tiempo cercana al agujerno negro que gira junto con el propio aagujero , disculpenseme las licencias linguisticas, obviamente decir que le agujero gira es una manera de hablar. En todo caos lo que si se tiene es que ese “giro” del espacio-tiempo se traduce en algo observable. Ninguna mateira (mas lenta que la luz) puede permanecer estacioinaria, es decir, sin girar, en la ergoefera. Además la ergoesfera tiene una acotación etricta, no hay un decaimiento exponencial o algo similar. Eso explicariá lo que se ve en la peli, que todo gir justo hasta las mismtas narices de Jones, pero nad asalga de alli, ni que Jones se vea arrastrado. Claro, asumir que se ha formado un aguejro negro macroscópico es un gran problema. Algo con esa ergosfera pesaría más que la tierra, y se la tragaria enseguida. Busquemos otras opciines. Las soluciones a las ecuaciones de Einstein con simetria cilíndrica y en rotación tienen, en algunos casos, una peculiaridad. Para ciertos valores permmiten que se formen curvas de tiempo cerradas. La primera de estas opcinoes, o al menos la mas famosa (creo que hay otra anterior, pero no estoy seguro), es el universo de Göedel. Mucho mas adleante se hizo un modelo con una cuerda cósmica girando sobre su eje, y otro con dos cuerdas cosmcicas girando una en torn a otra. Las curvas de tiempo cerradas, permiten “viajar al pasado”. Y eso recuerda que los agujeros de gusano permiten similaar hazaña. La verdad es uqe los agujeros de gusnao no tienen porque tener simetría cilíndrica, y no sirven para viaajr en el tiempo sino se alejan una boca de otra a ciertas velocidades. Pero el caso es que me ha servid de nexo de union eso de los viajes en el tiempo para hablar de los agujeros de gusno. Normalmente conectan dos regiones del espacio lejanas entre sí. Pero pueden conectar dos “universos diferentes”. Supongo que podrian conectar también dos zonas alejadas en la dimension espacial extra de la teoria de cuerdas (teoria M para ser mas exacto).

En fín, podria buscar mas interpretaciones a la escena final en la ciudad, que servirian para divulgar teoria de cuerdas, basicamente, pero, claramente, la idea en la peli es lucir un efecto especial bonito que de la idea de “viaje intradimensional”. Visualmente enrollar una hoja de pale terminaa rompiéndola y al rasgare el “tejido del epscio tiempo” se podria viajar por esas “dimesniones extra”, así que psicológicamente el efecto especial puede mas o menos cumplir con espectativas inconscientes. Vamos, qeu queda bien.

Aah, si, el final de la escena en la ciudad perdida no es el final de la película. Queda otro acontecimiento, baastante desagradable y contrario a la indiosincracia de Indy, pero para es ya veis la película, yo no pienso comentarlo. Aah, si, la película en el cine, nada de bajarla del emule :P.

Introducción a la mecánica cuántica

mayo 8, 2008

ES común en los libros de bachillerato incluir una introducción a la mecánica cuántica dentro de su sección de física moderna. Cómo sé que mucha gente esta ahora a punto de empezar a preparar la selectividad y les entra en el temario, voy a hacer una presentación del tema. Conociendo los libros y cómo tratan la materia voy a intentar que el post complemente en parte esos libros, aunque, no por ello, deja de ser este post una presentacion autocontenida. Empiezo por presentar algunos conceptos matemáticos necesarios para un correcto entendimiento de la cuántica. Manejar bien esos conceptos, tener soltura con los cálculos, requiere una formación extensa, pero los conceptos en sí no son muy dificiles de entender.

Concepto de ecuación diferencial:

Los planes de enseñanza contemplan que todo el mundo sepa que es una ecuación algebraica.

Esto es una expresión que puede ser algo tan sencillo como lo siguiente:

2x + 1 = 0.

Todo el mundo sabe resolver esto. 2x= -1 => x= -1/2.

Bien, en física muchas de las leyes no se expresan por ecuaciones (o expresiones) algebraicas. Lo normal es que se expresen por ecuaciones difererenciales.

La mas famosa de ellas es la segunda ley de Newton F=m.a. En la fisica de bachillerato se empieza explicando cinemática y se habla del movimiento uniformemente acelerado, con lo cuál a es constante. Si a priori sabemos que el ejercicio va describir un movimiento unifromemente acelerado la segunda ley de Newton puede tratarse cóm una ecuación algebraica, pero ese planteamiento puede llevar a ocultar un poco su verdadera naturaleza como ecuacion diferencial. La forma correcta de expresar esta ley es:

F=m.d^2S(t)/t^2 (S(t) es la posicion de la partícula en el instante t)

F en general dependerá a su vez de S, y posiblemente de t. Si el problema es en una dimensión podemos usar la coordenada x en lugar de S.

Cojamos un caso típico, el oscilador armónico. aquí F= k.x. (k es la costante recuperadora del muelle y es normalmente algo que se conoce, no una incógnita). Así la ecuación queda :

k.x(t)= m. d^2x(t)/dt^2

Quiere esto indicar que x indica la posición de la partícula y esta partícula se va desplazando en el tiempo.

Si pasamos el lado derecho de la expresion anterior restando al lado izquierdo resulta:

m. d^2x(t)/dt^2 - k.x(t)=0 .

Esto se parece bastante a las ecuaciones algebraicas del principio. La diferencia es que allí x representaba un valor que debíamos determinar. Aqui representa una funcion de t que debemos determinar. Otra diferencia básica es que allí x aparecía multiplicada por números, aquí ademas aparece derivada.

Voy a recalcar el , muy relevante, hecho de que la función a determinar, x(t), o sus derivadas, no aparecen elevadas al cuadrado o potencias superiores. Es una ecuación diferencial lineal. Aunque en físia hay ecuaciones diferenciales no lineales (por ejemplo en dinámica de fluidos) hay mucha física que se puede describir mediante ecuaciones lineales. Tampoco he mencionado otro hecho que no viene mal conocer. El orden de una ecuación diferencial hace referencia a la máxima derivada que aparece. Aquí la función como máximo aparece derivada dos veces. Por tanto es una ecuación lineal de segundo orden.
Es más, como no hay nada que dependa de la variable independiente, t, si agrupo las expresiones que incluyen la función incógnita y/o sus derviadas ya la izquierda el resto de expresiones resulta que a la derecha no hay nada. Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea. No haré mas hincapien en la clasificación de las ecuaciones diferenciales, de momento.

¿Como se resuelven ecuaciones diferenciales? En la universidad hay asignaturas anuales para enseñarte a resolver una serie de ecuaciones diferenciales lineales básicas. Aquí me limitaré a exponer como resolver esta.

Para ello recordar que si x(t) = sen w.t su derivada es x'(t)= w. cos w.t

Y que la derivada de x(t) = cos w.t es , introduciendo otra notación también habitual y conocida, (cos wt)’ = -w.sen wt.

Esto es muy interesante, implica que (sen w.t)”= -w2 sen wt.

Es decir, la derivada segunda de la función seno es ella misma, multiplicada por un factor. Mirando atentamente nuestra ecuación uno se da cuenta de que una función seno esla candidata ideal para ser nuestra solución. Nos faltaría saber cuál es w.

Si aplicamos lo visto nuestra ecuación queda:

-w2.m.sen(wt) – k sen(wt) =0

Sacando factor común queda: [-w2.m – k].sen(wt)=0

Pero sen(wt) en general no es 0 para un valor arbitrario de t. La única posibilidad es que lo que lo multiplica sea 0.

Es decir -w2.m – k=0

Esto es una ecuación algebraica para w. Sabemos resolverla. w= (k/m)1/2. En realidad podríamos pensar que el mismo valor con un signo menos valdría.

Incidentalmente resulta que esta w es la frecuencia de oscilación del muelle. Con lo cuál recuperamos la información que se suele obtener en la física de secundaria. De hecho esta observación sirve para descartar la otra posibilidad que se nos presentaba, haber elegido la solución para w con valor negativo.

He calculado una solución. En realidad hay dos soluciones linealmente independientes. Y cualquier combinación lineal de ellas es solución. En el oscilador armónico la otra solución sería cos wt, dónde w tendría le mismo valor de antes.

En general una ecuación diferencial admite muchas soluciones. Pero si se complementa la ecuación con información adicional, en el ejemplo aquí tratado sería la posición y la velocidad del extremo del muelle en un instante dado, la solució que cumpla esas condiciones adicionales es única.

Concepto de derivada parcial:
Recordemos que es una derivada parcial. El concepto surge cuando se tiene una función de varias variables, por ejemplo:

f(x,y,z)= sin x + x.y.z2.

Por ejemplo f podría representar la temperatura del gas en una habitación. Cada punto de la habitación correspondería a un valor concreto de las variables x,y,z y tendría una temperatura indicada por el valor de f en ese punto.

Entonces la idea es que se puede tomar la derivada con respecto a cada una de las variables y que el resto se traten como constantes.

Así por ejemplo quedaría:

∂f(x,y,z)/∂x= cos x + y.z2.

Nótese que aquí la derivación se indica con ∂/∂x en lugar de con d/dx. Normalmente se sigue usando esta notación hasta cuarto de carrera. Una vez allí, que la gente ya se ha familiarizado, se cambia por una notación abreviada, que es la que usaré en adelante. Se substituye ∂/∂x por ∂x. Evidentemente \partial ^n x significa la derivada enésima respecto a x. (derivar n veces respecto a x).

Por supuesto se pueden hacer derivadas cruzadas, por ejemplo:

∂xy f = z2.

Se puede demostrar que si f cumple condiciones razonables se cumple que ∂xy=∂yx (derivar primero con respecto a x y luego respecto a y es lo mismo que hacerlo en el orden inverso)

Ecuaciones en derivadas parciales:

Una vez explicado que es una derivada parcial es sencillo entender que es una ecuación en derivadas parciales. Una identidad en la que se igualan diversas derivas parciales de una función de varias vaariables que será nuestra incógnita. Por ejemplo:

∂xx f(x,y) + ∂yy f(x,y) =0

Es decir debemos encontrar una función de dos variables cuya derivada segunda respecto a x sumada a su derivada segunda respecto a y sea igual a 0. Normalmente no se indica el número de variables de los que depende f, pues suele poderse averiguar fácilmente por la misma forma de la ecuación.

Antes de pasar a las técnicas de solución debemos detenernos en un aspecto importante. Las condiciones iniciales.

En una ecuación diferencial ordinaria, en que la funcion sólo depende de una variable, vimos antes que hay varias soluciones posibles a la ecuación, pero si especificamos el valor de la función, y el de su derviada, para una x0 dada, es decir f(x0)=C0, f'(x0)= C2,

En el caso de las ecuaciones de movimiento debíamos fijar la posición y la velocidad en un instante dado de tiempo para fijar una solución única. Esto es el llamado teorema de existencia y unicidad. Esta probado para ecuaciones tanto lineales como no lineales.

Las ecuaciones en derivadas parciales (a partir de ahora EDP’s) son mas complicadas, se clasifican en parabólicas, hiperbólicas y elípticas. Cada tipo requiere un tipo especial de condiciones de frontera (que ya no iniciales).

No discutiré todos los casos. Sólo uno, muy importante para la mecánica cuántica. La ecuación de onda (que es de tipo hiperbólico), nos centraremos en el caso mas sencillo, la unidimensional:

1) ∂xxΨ -1/c2∂ttΨ=0

(denoto la función incógnita por Ψ, que es una notación standard para la función de onda en mecánica cuántica)

No analizaré la teoría general (no es muy necesario para nuestros propósitos). Analicémoslo desde un punto de vista intuitivo y físico.

Esta ecuación podría representar en mecánica clásica una cuerda vibrando. La cuerda estaría extendida en el eje de las x y las vibraciones podrían se en el eje de las y. En ese caso Ψ denotaría la amplitud de la vibración en la coordenada Y en el punto x de la cuerda.

¿Que condiciones sería normal imponer? Físicamente una situación común sería que la cuerda estuviera sujeta en ambos extremos, que serían x=0 y x=L (L= longitud de la cuerda). Esto matemáticamente se expresa por:

Ψ(0,t)=Ψ(L,t)=0 (para todo valor de t, normalmente eso se indica con una A invertida, pero no encuentro como representar ese símbolo en HTML)

Estas son condiciones en el extremo de la cuerda. En un caso mas general serían condiciones en el contorno de un recinto. Por eso en EDP’s es común hablar de condiciones de contorno.

¿Que mas podemos necesitar? No he explicado de dónde sale esta ecuación. Se puede deducir de las ecuaciones de Newton. Se parte de una situación con muchas partículas en el eje x y se hace el paso al límite en que en cada posición del eje hay una partícula. Es el paso al continuo, y lo que se llama mecánica de medios continuos.

Al venir de las leyes de Newton sabemos que necesitamos conocer la posición y la velocidad de cada punto de la cuerda en un instante, por ejemplo para t=0

Ψ(x,0)=f(x), ∂xΨ(x,0)=g(x), dónde f y g son dos funciones que podemos tomar arbitrariamente (salvo las restricciones habituales de que no sean demasiado patológicas, no entraré en detalles por ahora).

Bueno, esta es una selección posible de condiciones iniciales y de contorno para este problema. Hay mas posibilidades, pero esta es la mas sencilla.

Dije que esto estaba relacionado con la mecánica cuántica. En realidad el mismo problema matemático podría representar una partícula cuántica atrapada en un “pozo infinito”, es decir, una región de la cuál una partícula cuántica no puede salir.

Hay algunas diferencias. Voy a exponer aquí algunos postulados de la mecánica cuántica, sin explicar mucho de dónde surgen y luego pasaré a analizar como resolver el problema matemático planteado.

Primer contacto con la mecánica cuántica

¿Que representa Ψ en mecánica cuántica?

La probabilidad de que la partícula este en la posición x.

Para una partícula cuántica no se puede determinar a la vez la posición y la velocidad con precisión absoluta.. Este es el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg. Se cumple que:

2)ΔX.ΔP=h/2π

(ΔX es la indeterminación en la posición, ΔP es la indeterminación en el momento, el momento es el producto de la masa por la velocidad, h es la constante de planck)

Una consecuencia del principio de incertidumbre es que ya no se puede hablar de que una partícula siga una trayectoria. Toda la información sobre un sistema cuántico (la posición más probable, la velocidad mas probable, la energía, etc) la debemos obtener a partir de su función de onda, que lo describe completamente.

¿Como obtenemos esa información?

Mediante unos objetos matemáticos llamados operadores. la posición nos la dará el operador posición, la velocidad (o equivalentemente el momento) el operador momento, la energía el ¿operador energía?, no , el Hamiltoniano, ya veremos que es y de dónde surge.

Para poder avanzar vamos a ver que forma puede tomar una función de onda. Su nombre indica que debe cumplir una ecuación de onda.

Si sustituimos en la ecuación 1) veremos que Ψ(x,t)= sen (kx – ct) cumple la ecuación (sin ocuparnos de las condiciones de contorno). La ausencia de condiciones de contorno significa que la onda/partícula puede ir a cualquier lado.

Esto representa en el caso clásico una ondulación de la cuerda avanzando en la dirección positiva del eje x a una velocidad c.

Se podría usar esta función, no obstante es mas común usar la exponencial compleja.

3) Ψ(x,t)= exp {i(kx – wt)}=cos(kx -wt) + i.sen(kx -wt)

La última igualdad proviene de de la forma polar de escribir un número complejo. Asumiré que el lector esta familiarizado con los números complejos.

¿Por qué trabajar con funciones de onda compleja?. En realidad no es imprescindible. Pero facilita mucho el formalismo. Así que normalmente en los cursos de mecánica cuántica se postula que estamos en un espacio de Hilbert complejo de las funciones L2 de cuadrado integrable y no se dan demasiadas explicaciones.

Al fin y al cabo ya se supone al estudiante familiarizado con espacios de Hilbert. De momento no he dicho que es un espacio de Hilbert. Ya veremos su origen cuando resolvamos la ecuación de ondas, mas adelante. Pero por el momento no necesitamos saber que es.

Hasta ahora he saltado a hablar de función de onda sin dar muchas explicaciones de porque se hace esto. Después de todo en mecánica clásica describíamos una partícula por la evolución su posición en el tiempo, su trayectoria.

Ya se dijo al hablar del principio de incertidumbre que eso no es posible. Pero el motivo histórico por el que se introdujo la función de onda es otro. Proviene de una vieja discusión sobre la luz. La luz ¿es una onda o es una partícula?

Newton afirmaba que era una partícula. Que la luz que veíamos estaba hecha de muchas partículas.

Sin embargo por esa misma época huygens hizo una serie de experimentos que indicaban que la luz tenía un comportamiento ondulatorio. En el siglo XIX James Clark Maxwel resumió todo lo que se había averiguado hasta ese momento sobre electromagnetismo en cuatro ecuaciones.

De esas cuatro ecuaciones podía deducirse que en ausencia de cargas también podía haber campo electromagnético. Ese campo electromagnético seguía una ecuación de ondas (vectorial). Las ondas de una cierta frecuencia eran la luz visible. Otras longitudes de onda se usan hoy para la radio, los teléfonos móviles. También aparecen de manera natural en elementos radiactivos, los rayos x, los rayos gamma, etc.

Eso parecía zanjar la cuestión. Sin embargo unos experimentos muy a finales del XIX y a principios del siglo XX volvieron a sembrar la duda. En concreto el efecto fotoeléctrico y el efecto compton.

El efecto fotoeléctrico es una discrepancia entre la energía que adquieren los electrones que escapan de una lámina de metal bajo la iluminación de ondas electromagnéticas.

Según la teoría clásica la energía que adquirían estos electrones dependía de la intensidad de la luz. Pero en realidad se observaba que no era así. Su energía dependía de la longitud de la onda.
Einstein interpretó esto introduciendo el concepto de fotón. Decía que la luz estaba formada por corpúsculos. Para explicar el efecto Einstein asignó a estos corpúsculos, que denominó fotones, una energía:

4) E = hv (dónde v es la frecuencia de la radiación y h, de nuevo, la constante de planck)

Por esta explicación es por la que Einstein recibió el premio nobel de física, y no por la teoría de la relatividad, como usualmente se cree.

El efecto compton consiste en que si la longitud de los fotones incidentes es aún mas alta pueden chocar con los electrones y cambiar su frecuencia.

Esto se explica asignado al fotón no sólo energía sino cantidad de movimiento, o momento, en concreto:

5) p= hv/c

Así que los fotones tienen un claro comportamiento como partículas. Pero según Maxwell también quedan bien descritas muchas de sus propiedades mediante una ecuación de ondas.

Mas adelante otros experimentos demostraron que en ciertas circunstancias los electrones, que claramente parecían partículas, podían comportarse como ondas. Se les asigno una longitud de onda, la longitud de onda de deBroglie:

6) λ =h/p

Y de ahí se llegó a describir las partículas mediante una función de onda que indica la probabilidad de hallar la partícula en un punto.

Hemos hecho un largo desvío en nuestro propósito de ver como obtener información de la función de onda. No ha sido en vano, ahora veremos por qué.

Recordemos la ecuación 3. Esta describe una partícula desplazándose libremente con velocidad v=k/m (m la masa de la partícula) y frecuencia w. Si la partícula no se desplazar libremente la ecuación que regiría su movimiento sería diferente.

Normalmente habría un término que indicaría que esta sometida a un potencial. O también se puede caracterizar cierto tipo de potenciale por condiciones de contorno. Por ejemplo el “pozo infinito” es un potencial cuyo valor es muy alto, idealmente infinito, en todo el espacio, excepto en una región determinada. De momento vamos a seguir trabajando con la partícula libre.

Hemos de suponer que representa una partícula con momento k. ¿que operador sería adecuado para esto?

Bien, sería:

P x= -ih/2m . ∂x

Es decir, el operador momento (para ser exacto su componente x) consiste en derivar la función de onda respecto a x y multiplicar el resultado por -ih/2m.

Se puede verificar que si hacemos eso sobre la función de onda 3 obtenemos que:

P x Ψ= k. Ψ

Es decir que el resultado de actuar con el operador momento sobre la función de onda es equivalente a multiplicar esta por k. Normalmente en mecánica cuántica un operador se indica poniendo un ^ sobre la letra. Sin embargo por simplicidad de escritura me limito a denotar los operadores poniéndolos en negrita (cuando necesito distingirlos de su contrapaartida clásica porque no quede claro por el contexto cuando hablo de unos u otros).

Esto se cumple sólo para funciones de onda de una forma particular. Las funciones que cumplen esto se denominan autofunciones del operador momento. Son las que tiene un momento bien definido.

Si elogiáramos al azar una forma para la función de onda, por poner un ejemplo 1/x2 + 1 veríamos que el resultado de actuar sobre ella el operador momento nos daría una nueva función que no es equivalente a multiplicar la función original por un número.

Esto significa que no tienen un valor definido del momento.

Para que quede mas claro. Si sabemos que un estado cuántico va a estar descrito por una función de onda que es autofunción del operador momento eso significará que si hacemos un experimento para medir este momento nos dará siempre el mismo

Sin embargo si disponemos un sistema cuántico en una situación que se describe por una función que no es autofunción del momento y medimos experimentalmente este momento obtendremos que unas veces se observa que unas veces tiene un momento y otras algún otro omento distinto (los valores obtenidos dependería de la función que hubiéramos elegido).

Si repetimos muchas veces esos experimentos incluso veríamos que a cada uno de los momentos posibles le corresponde una probabilidad de que al hacer la medida se obtenga ese valor. Por todo esto decimos que esa función, que no es autofunción, no tiene un valor bien definido del momento.

Vale, ya tenemos el operador momento. ¿que hay del operador que nos da la posición de la partícula?

Recordemos que interpretamos la función de onda como indicadora de la probabilidad de hallar una partícula en un punto.

Una propiedad de la ecuación de ondas es que se trata de u na ecuación lineal. Esto implica que si Ψ es solución y φ es solución su suma también es solución (ejercicio, demostrarlo).

Recuerdese que en cierto sentido la integral es una suma. Así podemos hacer una “suma” de un infinito continuo de soluciones de la ecuación de onda libre. Cada solución viene indicada por un valor de k. Como estamos trabajando en un instante de tiempo fijado nos desentendemos de la parte temporal de la función de ondas.

Consideremos en concreto:

7) Ψ(x,0)=1/2π .∫dk f(k).eikr

Dónde f(k)= c.e^{ -a^2/2(k-k0)^2}

Esto es un “paquete gaussiano”.

Va a representar un paquete de ondas centrado en cero y con una anchura |x|< a

¿Como sabemos esto? Habíamos dicho que la función de onda representaba la probabilidad de hallar la partícula en un punto x. Pero no habíamos dado una expresión matemática. Esta representación matemática es:

Probabilidad de hallar la partícula (para t=0) en x= |\Psi(x,0)|^2 .

Aplicada al paquete de ondas 7 nos daría:
|\Psi(x,0)|2= |c|^ 2 /a^ 2. e ^{-x2/a2} .

que es una función gausiana centrada en 0 de anchura a. de los cursos de probabilidad sabemos de sobra la forma de esta función. Si no es el caso puede representarse gráficamente y comprobarse que su dibujo claramente indica lo que afirmamos.

La interpretación probabilística de la mecánica cuántica nos dice no sólo que la función de onda hace lo que ya hemos dicho. También afirma que el valor medio de un operador debe obtenerse considerando la función de onda como distribución de probabilidad.

Es decir, que el valor medio de un operador op es ∫dx Ψ*opΨ.

Queremos que el operador posición (su componente x) X de sobre ese paquete de ondas un valor medio 0. Es sencillo comprobar que si ponemos:

XΨ= x.Ψ

(Es decir el operador x actúa sobre la función Ψ multiplicándola por x) obtenemos lo deseado.

Ya sólo nos faltaría hablar del operador hamiltoniano. Este operador representará la energía del sistema. Podies leer detalles sobre el hamiltoniano, y el lagrangiano, en los posts anteriores. Si no os apetece simplemente señarlar que en lo scasos sencillos el hamiltoniano clásico es la energia del sistema, y en muchas ocasiones tendrá la forma sencilla H= T + V. Aquí T es la energía cinética T=1/2 mv^2 , que usando la conocida expresion para le momento p=m.v puede ponerse T=p^2/2m y V es la energía potencial. Pués bien, la idea es escribir el hamiltoniano clásico y sustituir el momento clásico por el operador momento y la posición clásica por el operador posición. Eso nos lleva a la ecuacion de Schröedinger dependiente del tiempo:

Sin embargo en muchas de sus aplicaciones basta con ocuparnos de estados estacionarios, que no evolucionan en el tiempo más que cambiando su fase de manera trivial (multiplicando por una exponencial). Esos estados cumplen la ec. de Schröedinger dependiente del tiempo:

Para un caso típico la forma explicita de la ecuación, una vez sustituido en el hamiltoniano la expresion de los operadores sería:

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} + V\Psi

Aahora tocaría ver como se obtiene la solución general de una ecuación en derivadas parciales. Eso nos permitirá entender mejor de dónde sale el considerar que la funcion de onda pertenece a un espacio de hilbert, y entender de dónde saldrán algunos postulados mas de la mecánica cuántica. Pero creo que, con todo, hayan quedado claros aalgunos conceptos básicos de la mecáncia cuántica .

Taquiones y viajes en el tiempo

mayo 5, 2008

Muchas veces se ha visto en las novelas de ciencia ficción, recomiendo en especial “cronopaisaje” de Gregory Benford, comentar que los taquiones sirven para enviar señales al pasado. Pero sospecho que no se ha visto tantas veces (yo al menos no la he visto ninguna) el razonamiento exacto de porque los taquiones servirían para este propósito, Pués bien, voy a presentar aquí todos los detalles. Que nadie se asuste demasiado; el único prerequisito es entender la relatividad especial, a nivel conceptual, y el uso de las transformaciones de Lorentz, álgebra básica. Sín ánimo de presumir de nada, decir que yo cumplía estos requisitos a la edad de 14 años (evidentemente habia algunos aspectos que se me escapaban, para empezar no conocia las leyes de Maxwell, pero la idea básica si la comprendía correctamente) y pienso que cualquiera con un cierto interés y un mínimo de capacidad para la ciencia podria hacer lo mismo.

Primero establecer exactamente que es un taquión, para ello recordar las expresiones relativistas de energía y momento:

1. E= \frac{ mc^2 }{ \sqrt{1 - v^2/c^2}}

|p|= \frac {mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.

Esas ecuaciones, cómo cualquier otra relacionada con la transformación de Lorentz, no impiden una velocidad v>c, solamente prohiben que una particula con vc, lo cuál no es algo de lo que se sepa, o quiera, hacer sentido. Para evitar eso puede optarse por hace que la m que aparece en la ecuación, la masa en reposo, sea imaginaria, con lo cuál la energia sería real. Dado que la masa en reposo no es un observable para estas partículas (cómo no lo es para el fotón) se evitan así compliaciones. Pués bien, eso seria un taquión, una partícula de masa en reposo imaginaria moviéndose a una velocidad mayor que la de la luz. El “sería” indica que es una partícula hipotéica de la que no hay actualmente evidencia experimental.

Hay varias propiedades intersantes, a la par que controvertidas, que deberían tener estas partículas. Aquí me voy a centrar solamente en sus aspectos relacionados con la posibilidad de usarlos para viajes temporales. Supongamos que una partícula se mueve entre dos puntos, x1 y x2 en tiempos t1, t2, tenemos:

2. \Delta x/\Delta t=\frac{ |x_2 -x_1| }{ t_2 - t_1}>c con \Delta t >0

Para un segundo observador moviéndose en eje z (esto no supone mayor restricción pués siempre podemos elegir los sistemas de referencia de este modo) con velocidad u tenemos:

3. \Delta x'=(\Delta x - u\Delta t)\gamma

\Delta t'= \left( \Delta t - \frac{u\Delta x}{c^2}\right)\gamma=\Delta t\left(1 -uv/c^2\right)\gamma

dónde cómo es habitual:

\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

Se ve facilmente que sí u.v>c^2 se tiene que \Delta t' tiene signo opuesto a \Delta t . Esto significa que este observador ve una inversión del intervalo temporal. Para él, el taquión no ha ido del punto x1 al x2, sino al revés. Esto ya da una idea de que cuando hay taquiones de por medio la ordenacion temporal de acontecimientos puede invertirse, pero aún sigue sin ser claro cómo esto permite enviar mensajes al pasado. Enseguida voy a ello, pero antes un breve inciso para señalar otro aspecto interesante relacionado con esta misma circunstancia, la dependencia del signo de la energía del taquión en el observador. La ley de tranformación de la energía es:

4. E'= \gamma(E-p.u)

Cómo |pc|>E se puede elegir un u tal que E´=-E. Se puede ver facilmente que esa u es la misma que produce un cambio en la ordenación temporal de acontecimientos. Eso permite la siguiente interpretacion. un observador ve enviar en el orden temporal positivo un taquión de energía positiva entre dos puntos. Otro observador ve enviar un taquion de enregía negativa en un orden temporal inverso.

Vamos ahora a ver cómo esto se traduce en la posibilidad teórica de enviar señales al pasado. Para ello consideremos la siguiente disposición. El observador 1, (que denotarmos por coordendas sin prima) en reposo en el origen y el observador 2 con primas en en el punto (x0, 0,0) en el instante t=0 y moviéndose con velocidad u en la direccion x. La transformación de Lorentz relaccionando los dos observadore es:

5. x'=\gamma(x-x_0 -ut), t'=\gamma(t-ux + ux_0) (aquí se ha hecho c=1)

El observador 1 emite un taquión con velocidad v1 hacia el observador 2 en t=0. Este será absorbido por 2 en t_2=x_0/(v_1 - u) Estos eventos sucederán en tiempos t'_1=\gamma ux_0 y t'_2=x_0/\gamma(v_1-u) para el observador 2.

Supongamos que se han puesto de acuerdo ambos observadores y que cuando el taquión que envia 1 llega a 2 este envia a su vez otro taquión hacia 1 con velocidad -v2. Este alcanzrá 1 en el instante:

6. t'=\frac{x_0}{\gamma(v_1-u)} + \frac{x_0v_1}{\gamma(v_1-u)(v_2 - u)}

ó, en el sistema de referencia de 1:

7. t_F=\frac{x_0(v_1 + v_2 - u -uv_1v_2}{(v_1-u)(v_2 - u)}

Si 1-uv_1>0 puede verificarse facilmente que no hay ninguna anomalía en las ordenaciones temporales. Sin embargo si no se cumple (tomándose, por ejemplo que las velocidades de los taquiones son ambas infinitas) puede verificarse que se llega a que:

8. t_F= -ux_0

Es decir, que el taquión enviado por 2 en respuesta al enviado por 1 llegaría antes de que 1 hubiese enviado el taquión. Y claro, ahí ya entramos en la usual panoplia de paradojas temporales, porque, por ejemplo el observador 2 podriá haber usado de algun modo el taquión para advertirle a 1 que no enviase su taquión. Pero en ese caso no le hubiese llegado a 2 y no tendria que haberle enviado a 1 el taquión de advertencia. O simplemente 1, al recibir el taquión de 2, podría decidir por su cuenta que ya no necesita enviar el taquión, con lo cuál 2, que esta esperando el taquión de 1, nunca lo enviaría. Vamos, las paradojas de siempre. En este caso concreto se podria jugar con que la emisión de un taquión de energía negativa es una abosrción, y eliminar algunos aspectos de la paradoja, no entraré en detalles. Quien este interesado en los detalles que consulte el artículo que he usado para elaborar esta parte del post: G Feinberg “Possibility of Faster-Than-Light Particles” publicado en Physical Review, vol 159, number 5 (25 july 1967). Aparte del tema de la paradoja temporal ahí cubre muchos otros aspectos, cómo considerar campos taquiónicos (ecuacion de Klein-Gordon para un taquión) y su cuantización, osea, una teoria cuántica de campos para un taquión.

Recordar otra vez al lector que no hay evidencia expermiental de la existencia de taquiones. Con todo el campo de Higgs, en la fase de simetría no rota, se supone que era un taquión. Además en la teoria de cuerdas aparecen taquiones cómo el estado más bajo de energia mínima para la cuerda. En la cuerda bosonica, que no se supone deba describir el mundo real y es considerada como un caso sencillo útil pedagógicamente, no hay una solución para este problema (existe sin embargo un trabajo en teoria de campos de cuerdas en lo que se conoce cómo “tachyon condensation” dónde tratan estos asuntos y la relacionan con inestabilidades, d-branas y demás). En la supercuerda se puede eliminar, mediante lo que se conoce cómo proyección GSO, del espectro fisico de la teoria. No entraré en estos asuntos aquí pués los asuntos de supercuerdas los reservo para mi otro blog . La idea de este post era simplemente mostrar los detalles matemáticos de cómo los taquiones pueden enviar informacion al pasado. Por cierto, existe otra forma de enviar información más rápida que la luz en el vacio, mediante lo que se conoce cómo efecto Scharnhorst. La idea es que la polarización del vacio, mediante efecto Casimir, permitiria que un fotón viajando entre ls dos placas paralelas responsables de ese efecto casimir podria ir con una v mayor que la velocidad de la luz en el vacio. Eso también permitiria, en principio, y por argumentos similares a los expuestos aquí, enviar señales al pasado. Podeis leer sobre dicho efecto aqui . Alli también se analiza cómo se podrian tratar en ese caso las violaciones de causalidad.

Un ejercicio que creo podria ser interesante para el lector intersado es usar lo aquí expuesto para analizar la trama de “Cronopaisaje”. Recuérdese que alli un científico londinense en 1998 envía un mensaje, mediante taquiones que alteran un experimento de resonancia nuclear, a un físico de la universidad estadounidense de La Jolla avisándole de ciertas acciones que los gobiernos deberían emprender para evitar una serie de catástrofes ecológicas. Como podeis ver esa situación de los dos observadores no encaja exactamente con la dada aquí. Sería interesante que alguien señalara las diferencias exactas (cómo identificar los observadores de aquí con los de allá)y cómo, basándose en lo expuesto, explicar exactamente la viabilidad de lo expuesto en la novela. En particular me refiero a la compatibildad de la ecuación 8. Espero que el lector haya entendido correctamente lo expuesto y que no encuentre el ejercicio que sugiero excesivamente complejo (o excesivamente aburrido).

P.S. Los que lean este post posiblemente estén interesados en esta entrada sobre el anuncio del experimento OPERA sobre el posible descubrimiento de que los neutrinos viajan mas veloces que la luz

Psicohistoria en Arxiv

mayo 1, 2008

Aparte de la fgravitación cuántica uno de los grandes retos que, en mi opinión, tiene la ciencia es construir algo en la línea de la “psicohistoria” de Asimov. Parece mentira que habiendo tantísimas herramientas matemáticas, modelos de física, informática se sigan dejando decisiones políticas (basicamente administración de recursos) en manos de politico sin mayor formacion científica, y, si acaso, en manos de economistas que usan modelos matemáticos basicamente inapropiados y que no entienden (desarrollara esta afirmación llevarías mucho tiempo, asi que no lo haaré en este momento). Por circunstancias varias he tenido contacto con biólogos (ecólogos y biólogos moleculares) y conozco algo (bastante más de lo que se estudia en los curos de modelización en la carrera de matemáticas de la UAM) sobre modelos matemáticos usados en ecologia y en bioquímica (por ejemplo, en genética). Así que mi opinión es que en parte la picohistoria debería basarse en ideas (y aparato matemáatico) de la ecologia. Pero hay más, bastante más cosas.

Por ejemplo hace poco dí con del libro “new directions in statistical physic”, que contenía varios artículos sobre econofísica. El libro esta bastante solicitado así que he tenido que devolverlo a la uni (las dichosas reservas). Aún así me dio tiempo de leer por encima algunos de los artículos sobre econofísica. Hay cosas realmente curiosas. Por ejemplo que, definitivamente, los mercados no se rigen por distribuciones estadísticas, en particular la gausiana. Si esto fuese así fluctuaciones sobre la media de un orden 5 serían practicamente, y sin embargo ocurren. Mandelbrot obtuvo, estudiando valores del precio del algodon en cierta zona geográfica, par ala que había registros diarios, una ley de potencias ajustable a la distribucion de Levy. Sin embargo análisis más recientes, con mas datos, dan ajustes a otras distribuciones. En particular los mercados se ajustan a la distribucion de Guttemberg- Richter sobre los terremotos. Esto significa que puede haber terremotos de cualquier orden de magnitud en algún momento (algo que no pasaaría si sucediesen de acuerdo a una distribucion gausiana).

En fín, tuve que devolver el libro, cómo dije (lo cambié por uno de termodinámica de procesos irreversibles, o termodinámica del no equilibrio, que es lo que buscaba inicialmente). Pero el caso es que ya estaba claro que la econonofísica parecía prometedora para la “psicohistoria (los matemáticos consideran los mercados financieros un problema “universal”, es decir, uno cuya solución será útil para muchas otras cosas). Googleando un poco es fácil dar con una web sobre econofísica, pero, más intersante aún, fué dar con un interfaz de arxiv claro que permite ver la jerarquía. Normalmente siempre he leidoartículos de hep_th (high energy physic, theory) y si acaso de gr_qc (relatividad general y quantum cosmology). Pero claro, hay muchas mas cosas. En particular, relacionado con temas que considero pueden ser útiles par una psicohistoria estan soc_ph (society physic), PE (biologia, population and evolution), nlin_Ao (nonlinear dynamics, auto-organization) y posiblemente otros. Una vez descubierto el “filón” iré curioseando poco a poco artículos que me vayaan llamando la atención e iré dejando por aquí algún resumen de los mismos.

Por ejemplo uno muy curioso y muy cercano a la idea asimoviana de la psicohistoria (deducir comportamientos de masas a partir de factores psicológiocos cuantizables) es este: Opinion dynamics on directed small-world networks.

Sin entrar a analizarlo a fondo comentar algo sobre las técnicas matemáticas y físicas que usa. De un lado teoria de grafos (simula una red de interacciones humanas mediante grafos dirigidos en los que una persona influye sobre otra con una probabilidad p) que da lugar a una red social. Asume que los nodos siguen cierta distribución estadísitca (ergo conviene entender algo de probabilidad) y analiza los resultados, tras una simulaacio´n de montecarlo de la dinámica (mas estadísitica y además aalgo de métodos numericos) a la luz de las transiciones de fase (que es algo propio de la fisica estadistica, aunque los matemáticos tiene su propia versión del tema usando cadenas de markov y tal, aunque no conozco mucho los detalles). Dado que se estan analizando asuntos sociales las conclusiones deben tener un caracter social entendible por cualquiera sin una formacion matemática específica. En concreto las conlusiones que extraen son:

In conclusion, the effect of directed long-range links

between individuals on the opinion formation is systematically

explored. The results show that the system takes

on a non-equilibrium phase transition from a consensus

state to a state of coexistence of different opinions. With

increasing density of long-range links, a continuous phase

transition changes into a discontinuous one. The reason

why the phase transition behavior varies is that the longrange

links make individuals change their own opinion

more frequently. It is worth mentioning that the system

keeps in a disordered state when there are sufficient

long-range links. Those long-range interactions break the

possibly local order, thus hinder the global consensus.

In opinion dynamics, the self-affirmation psychology

character sometime may lead to polarized decision [18,

19]. Moreover, interaction between individuals in social

system depends on the topology of social networks

[20, 21]. In macroscopic level, the opinion dynamics is

highly affected by social structure, while in the microscopic,

it is sensitive to the dynamical mechanism of individual.

Our work shows a systematic picture of opinion

dynamics, and provides a deep insight into effects of these

two factors.

Aparte del Arxiv estoy leyendo el libro “complexity in chemisry, biology an ecology” para familiarizarme con los conceptos de la complejidad (motivado en parte por verle una utilidad práctica, y no aburrida, a la teoria de grafos que me entra en un examen). No hay duda de que la teoria del caos (sistemas dinámicos), la teoria de la complejidad y la mecánica estadística forman el corpus fisico/matemático en el que podria basarse la “psicohistoria” (junto, muy posiblemente, con la teoria de juegos). Dos entradas en wikipeida interesantes ala respecto son:

http://en.wikipedia.org/wiki/Complexity y http://en.wikipedia.org/wiki/Self-organized_criticality.

Confio en ir poniendo varios artículos “psicohistoricos” por aqui, explicando aalgo de las técnicas empleadas y los resultados que se obtienen.