Archive for 11 abril 2009

Teoría cuántica de campos I

abril 11, 2009

En mecánica cuántica ordinaria se usan hamiltonianos no relativistas. Eso permite describir cuánticamente partículas que viajan a velocidades pequeñas con respecto a la de la luz. Sin embargo para partículas a velocidades cercanas a c habría que usar hamiltonianos relativistas. De hecho la teoría de la relatividad especial estaba totalmente asentadda cuando Schröedinger presentó su ecuación (que culminaría, junto con la representación matricial de Heisemberg) un trabajo de varias décadas en el que se fué asentando la cuántica en una base sólida. De hecho Schröedinger admiraba a Einstein, así pues puede sorprender que no presentara una ecuación relativista. De hecho presentó una ecuación relativista, pero daba problemas y enseguida presentó una aproximación para bajas velocidades que es la que se usó.

¿Y que problemas daba? Bien, tardó mucho en esclarecerse todo ese tema así que en vez de explicar una evolución histórica que no conozco en profundidad(a la espera de que salga el 2º volumen de “historia de la mecánica cuántica” de Sanchez Ron) presentaré los resultados esenciales.

Para empezar hay un aspecto terriblemente importante. La famosa ecuación:

1. E=m.c^2

Esta ecuación indica que la “masa” puede transformarse en “energía” (por ejemplo en una desintegración nuclear) y también lo contrario, que si hay suficiente energía se puede formar una partícula con una masa que este de acuerdo a esa ecuación. Esa es la idea detrás de los grandes colisionadores de partículas. Se hacen chocar dos partículas, por ejemplo dos electrones a una velocidad (y por tanto energía cinética) muy alta y esa energía cinética se traduce en la formación de otras partículas pesadas (que normalmente se van a desintegrar enseguida en otras partículas mas ligeras).

Esto tiene una consecuencia muy importante. No podemos tener fijo el número de partículas. Es decir, al teoría cuántica relativista debe ser una teoría que describa un número indeterminado de partículas. Esto contrasta con la cuántica ordinaria que trabaja con un número determinado de partículas (uno en el caso más sencillo). Realmente no sólo vamos a tener que trabajar en teorías con un número indefinido de partículas en el caso relativista. Hay sistemas cuánticos no relativistas dónde se da la misma circunstancia. Probablemente el mas conocido sea la física del estado sólido dónde se cuantizan las vibraciones de los nodos de una red cristalina respecto a su posición de equilibrio, conocidas como fonones. En lo que sigue del post me centraré, no obstante, en las teorías de campos relativistas.

Bien, antes de enunciar otros problemas de la teoría relativista presentaré una ecuación relativista, la de Klein-Gordon. Parto de la expresión general para la energía de una partícula relativista (que se reduce a la 1 para partículas en reposo):

2 E= \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}

Ahora la eleveoalcuadrado y obtengo:

2′. \mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4 = E^2

Si en esa ecuación hago la misma sustitución que lleva a la ecuación de Schröedinger (cambiar el momento y la posición clásica por sus correspondientes operadores cuánticos) obtengo:

3 (\Box + \mu^2) \psi = 0

que es la ecuación de Klein-Gordon. Esta ecuación describe una partícula de spin 0. Había mencionado al inicio que esta ecuación daba problemas. Estos problemas son que admite soluciones de energía negativa y no admite una interpretación como una densidad de probabilidad positiva. Por supuesto se pueden ignorar “por decreto” esas soluciones. Lo malo es que si a esa ecuación para una partícula libre le añadimos términos de interacción resulta que puede haber evolución de estados de energía positiva en estados de energía negativa.

En el limite no relativista se puede ver que los problemas desaparecen y que tenemos a ecuación de Schröedinger que si admite esa interpretación probabilista. Se puede ver que la candidata a densidad de probabilidad tiene la forma:

4 \rho = \frac{i\hbar}{2m}(\phi^*\partial_t\phi - \phi\partial_t\phi^*)

que en el límite de ondas cuya longitud de onda es larga comparada con su longitud de Compton se reduce, lo que equivale a velocidades no relativistas, se reduce -para frecuencias positivas- a la densidad de probabilidad de la ecuación de Schröedinger.

Estos problemas pueden resolverse con las adecuadas reinterpretaciones, pero históricamente se siguió una ruta diferente que pasa por la ecuación de Dirac.

5. (-i\gamma^\mu\partial_\mu + m) \psi = 0\

Ahí las \gamma son las matrices de Dirac que cumplen la relación:

6. \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2 g^{\mu\nu} \

Explicitamente se tiene la expresión:

7. \gamma^0 = \beta \
8- \gamma^k = \gamma^0 \alpha^k \

donde:

9.\alpha_k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_k \\ \sigma_k & 0 \end{pmatrix}

10. \beta = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix}

Ahí las \sigma son las matrices de Pauli y las I son las matrices identidad en dos dimensiones. La aparición de las matrices de Pauli nos pone enseguida sobre la pista de que esta ecuación va a describir particular de spin 1/2.

Veamos un poco de donde surge la idea de esta ecuación. La idea es que se esperaba que una ecuación que solo tuviera derivadas de primer orden en las componentes espaciales y temporales evitaría los problemas de la ecuación de Klein-Gordon. Para hacer eso la idea era comenzar con esta expresión relativista para la energia:

11. E = c\sqrt{p^2 + m^2c^2}

y posteriormente reemplazando el momento p por el operador momento correspondiente.

Sin entrar en detalles indicar que para poder implementar esas ideas era necesario introducir matrices que cumplieran las adecuadas relaciones de anticonmutación. Quizas pueda resultar extraño que para describir partículas de spin 1/2 ahora se precisen matrices cuadradas de orden 4 y que la ecuación de onda deba tener 4 componentes en vez de dos (como sucede en la teoría no relativista). El motivo es que, después de todos los esfuerzos hechos en obtenerla, al final la ecuación tenia los mismos problemas que la ecuación de Schroedinger. Es decir, vamos a tener partículas de energía positiva y negativa. Eso si, cada una va a ser una partícula con spin. Tenemos pues , por así decir, un electrón de energía positiva y uno de energía negativa, de ahi que tengamos 4 componentes. Pese a tener los mismos problemas la ecuación, al describir fermiones, permitió una solución. Los fermiones (a diferencia de los bosones) cumplen el principio de exlucsión de Pauli. ¿Que es esto? Bien, el principio de exclusión de Pauli dice que dos fermiones no pueden ocupar dos estados con el mismo número cuántico.

Pues bien, eso le dio a Dirac una buena idea. Asumió que todos los estados de energía negativa estaban ocupados. Y cómo los electrones (que son los que pretendía describir su ecuación) son fermiones no podían ir a esos estados por el principio de exclusión de Pauli ese. Se llamó a ese batiburrilo de electrones que ocupaban esos estados de energía negativa “mar de Dirac”. Una consecuencia de esto es que se podía “extraer” un electrón de ese mar. Eso creaba un hueco de energía positiva qu een todo lo demás era cómo un electrón. A ese “hueco” se le dió un nombre, positrón, y fue la primera antipartícula predicha. Cuando se encontró sirvió para que Dirac ganara un premio nobel (aunque no sería, ni mucho menos, su única contribución de importancia a la física).

Eso solucionaba los problemas. Pero no era una solución muy satisfactoria, la verdad. Una solución mas interesante llegó poco después. Provino de fijarse en que si se cambia el sentido del tiempo las partículas de energía positiva se convierten partículas de energía negativa, y viceversa. Así pues surge la interpretación de las antipartículas cómo partículas que viajan hacia atrás en el tiempo. Esa interpretación sirve para la ecuación de Klein-Gordon aparte de para la de Dirac. Así pues permite la existencia de antipartículas de Klein-Gordon (partículas escalares).

Bien, con la idea de las antipartículas quedó establecido un estatus correcto para las ecuaciones relativistas de partículas libres. Incluso servían para partículas relativistas evolucionando en un “campo externo”. En ese sentido eran las análogas perfectas de la ec. de Schröedinger para partículas a velocidades altas. Y tiene un rango claro de aplicación, cuando las velocidades son altas, pero no lo bastante altas para que se creen otras partículas. A partir de las ecs. relativistas se pueden obtener modificaciones (perturbaciones) a la ec. de Schroedinger que describen una serie de propiedades espectroscópicas observadas en los átomos (efecto Zeeman y efecto Zeeman anómalo si no recuerdo mal, y algún otro.

Pero con ser muy útiles estas ecuaciones si se intenta describir la física a velocidades que permitan la formación de otras partículas (que el nº de partículas no sea fijo) hay que dar otro salto conceptual. Ese salto es la teoría cuántica de campos. Una forma de empezar a verlo es plantearse esas ecs (la de Klein-Gordon y la de Dirac) no cómo ecuaciones cuánticas para una partícula sino como ecuaciones clásicas para un campo (el mismo modo que las ecuaciones de Maxwell describen un campo, que en el fondo es un conjunto de fotones cuánticos). Y lo que hay que hacer es que esas “ecuaciones clásicas” se someten a un nuevo proceso de cuantización, la 2ª cuantización.

No entrare en este post en ese aspecto, lo dejare para otra ocasión. Lo que si haré es completar un poco este post con aspectos útiles a desarrollos mas recientes de la física de partículas.

Un primer aspecto es el tema de la quiralidad. Esto hace referencia a procesos físicos cuya imagen especular es diferente al proceso original. Un ejemplo de esto es la interacción nuclear débil. El significado mas técnico de la quiralidad requeriría introducir teoría de grupos y hablar de representaciones diestras y zurdas del grupo de Poincaré. De hecho la forma mas ortodoxa de introducir las ecuaciones de Klein-Gordon y de Dirac , y en general cualquier ecuación relativista, haría uso de esa maquinaria matemática. no obstante se puede dar una intuición física del significado de la quiralidad y eso es lo que haré.

Para partículas sin masa la quiralidad puede verse como la proyección del spin en la dirección de desplazamiento (que sería la helicidad). La quiralidad seria por tanto el análogo a la helicidad para las partículas con masa. Para introducir matemáticamente la quiraliad de un modo sencillo se introduce la quinta matriz de Dirac cuya definición es :

12. \gamma^5=i\gamma^0.\gamma^1.\gamma^2 .\gamma^3

Una partícula quiral, tambien llamada espinor de Weyl, es aquella que es un autovector de esta matriz con valores – (left) y + (right), es decir:

13 .\gamma^5\psi_{L,R}=\pm\psi_{L,R}

Introduzco ahora el operador de proyección:

14. P_\pm= 1/2 (1 \pm \gamma^5) .

Este nos da, actuando sobre un espinor de Dirac \psi (osea, una partícula que cumple la ec de Dirac) dos componentes, uno izquierdo \psi_L\ y uno derecho \psi_R\ . Las interacciones que violan paridad, la citada nuclear débil, actúan de manera diferente sobre ambas componentes.

Otro tipo de espinores (entiéndase, partículas de spin 1/2) es el de tipo Majorana. estos se definen por cumplir:

15. \psi^c = \psi

dónde \psi^c indica el conjugado de carga de \psi . Su definición es:

\psi^c=C\bar{\psi}^T

y C es la matriz de conjugación de carga:

C=i\gamma^2\gamma^0

De esto se deduce que un espinor de majorana debe tener carga 0.

En el modelo standard de partículas los quarks serian partículas quirales y los neutrinos serían spinores de majorana (en el modelo mas sencillo, descartado experimentalmente, los neutrinos no tienen masa, introducri un termino de masa para los neutrinos es un asunto sutil sobre el que no comentare nada aquí). En 4 dimensiones no puede haber spnores que cumplan a la vez la condición de Weyl y la de majorana, pero eso no es cierto en un numero arbitrario de dimensiones, concretamente, dentro de las barajadas en teoría de cuerdas o supersimetría, para 2 o 10.

Me he centrado en partículas de spin 0 y spin 1/2. También hay partículas de spin 1, masivas, como los bosones intermediarios de las interacciones débiles (los W+, W- y Z) o sin masa, como los fotones y gluones, y en modelos que pretendan describir la gravedad habría que tener en cuenta spin 2 (gravitón) y, presumiblemente, su compañero supersimétrico, el gravitino, que tendría spin 3/2. Se pueden escribir ecuaciones que describan ese tipo de partículas, pero es mas complicado y están implicados otros conceptos, así que no lo hare en este post.

El experimento de filadelfia I

abril 6, 2009

En su momento leí libro de Charles Berlitz, el experimento de filadelfia, cuando tenía entre 13 y 15 años y tenia recién aprendidas las transformaciones de Lorentz y las ideas de la relatividad especial. Fue el primer libro donde vi escrita la palabra tensor, un concepto matemático en la relatividad general, y oí halar de los intentos de Einstein de hallar una teoría de campo unificado. Basada en el libro se hizo posteriormente una peliculilla pasablemente entretenida.

Eso es lo bueno que se puede decir de ese libro. Tal vez podría añadirse que no esta mal escrito. Pero de ahí a creérselo media un abismo. Sin embargo parece que el tema es recurrente y me he enterado de que han sacado algunos vídeos al respecto, por ejemplo estos:

Los militares tiene fama de gastar dinero en proyectos inverosímiles cuyas probabilidad de éxito es muy baja así que lo mismo les dio por hacer el montaje ese que3 describen para volver invisible un barco. Eso sí, cualquier físico bueno de la época les hubiera podido decir que la idea no tiene pies ni cabeza. El campo magnético, cómo el eléctrico, son configuraciones de fotones virtuales. Y los fotones, que aparte de lo antes dicho son los constituyentes a nivel cuántico de la luz (o cualquier otra radiación electromagnética)no interactuan entre sí (ya que no tienen carga)así que ningún campo magnético puede deflectar la luz.

En los vídeos ingleses afirman que la idea proviene de Einstein. Hay que señalar que en esa época Einstein estaba totalmente alejado de la corriente principal de la física debido a su oposición por motivos filosóficos a la mecánica cuántica. Se dedicaba a buscar una teoría que unificase el electromagnetismo y la gravedad, como teorías clásicas(en el sentido de no ser cuánticas). Podéis ver un review de esos -fallidos- intentos aquí

Evidentemente no dan detalles del proceso que lleva de esas teorías a este hipotético experimento. Jugando a especular uno podría pensar que la idea es que ya que el campo gravitatorio curva el espacio, y por tanto el trayecto de la luz si se tuviera una geometría adecuada tal vez la luz se podría curvar alrededor del barco. La relatividad general dice que la masa, y, equivalentemente, la energía curvan el espacio. Se sabe escribir el tensor energía-momento del campo electromagnético. Uno podría intentar usar esto para crear es geometría que desviara la luz. Desafortunadamente el campo magnético difícilmente va a ser capaz de producir una desviación tan grande del campo gravitatorio para conseguir lo que se proponen según la relatividad general. Es de suponer que en esas supuestas teorías unificadas pudiese haber algo que de algún modo amplificase el efecto del campo magnético sobre la gravedad. De hecho el campo magnético sería parte de la gravedad en una teoría unificada.Anteriormente a Einstein Theodore Kaluza construyó una teoría en la que se partía de una teoría de gravedad en 5 dimensiones. Haciendo una de las 4 dimensiones espaciales enrollarse en un círculo muy diminuto consigue mostrar que la la parte de gravedad de esa 5ª dimensión es equivalente al electromagnetismo que se ve en las 4 dimensiones resultantes. Elaboraciones de esa idea son una parte fundamental de la teoría de cuerdas. El problema es que las teorías de campo unificado de Einstein, como dije, se ha probado que son fallidas (el mismo nunca afirmó lo contrario). Por consiguiente cualquier consecuencia de ellas no debe tener especial crédito y el experimento carece de base teórica válida.

En otro momento analizo otros aspectos del cuento este. Antes, no obstante, pondré una entrada que tengo a medio hacer en la que introduzco la teoría cuántica de campos. Espero volver a publicar a un ritmo razonable y no dejar abandonado el blog durante tanto tiempo.