Minicurso de Relatividad General

Este es un minicurso de relatividad general para gente con una buena base en física general. No se asume que sepa previamente geometría diferencial, pero se asume que sí sabe que es una matriz, la notación de subíndices, ecuaciones diferenciales y cosas así.

Antes de ir con la RG una breve introducción a un aspecto de la relatividad especial:

Se pueden obtener las transformaciones de Lorentz en RE sin usar métricas, Einstein lo hizo así. Sin embargo usando métricas la cosa queda más elegante y susceptible de generalizar.

Primero aclarar que los físicos teóricos tendemos a trabajar en unidades naturales en que (cuando no en unidades “sobrenaturales” en que todo lo que molesta es mientras no sea imprescindible mostrarlo explícitamente).

Recordemos primero el concepto de métrica (por si no se tienen claros los conceptos de álgebra de primero).

La distancia usual entre dos puntos es:

d= \sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a-y_b)^2 +  (z_a-z_b)^2}

Podemos pensar que esa distancia la caracterizamos por el módulo del vector \mathbf{v}=(x_a-x_b,y_a-y_b,z_a-z_b) .

Así que tenemos que el módulo del vector se puede caracterizar por una matriz g que cumpla que ||\mathbf{v}||=\mathbf{v} g \mathbf{v}^T aquí g sería una matriz que en su diagonal tendría todos los elementos igual a 1 y el resto 0. ( \mathbf{v}^T denota el vector transpuesto).

Esta matriz caracteriza totalmente como medir distancias entre puntos. Si tomamos otras matrices tendremos otras métricas.

El espacio de Minkowski, el de la relatividad especial, consta de las 3 coordenadas habituales, x,y,z, y una extra, el tiempo, pero para tener las magnitudes correctas en vez de t se coge ct.

La esencia de la RE es que la máxima velocidad posible es c, equivalentemente a que c es constante para todos los observadores inerciales.

Considera dos puntos a=(x_a,y_a,z_a), b=(x_b,y_b,z_b) y que se emite un rayo de luz en t_a que llega a b en t_b.

Ese rayo cumple:

c^2 (t_a-t_b)^2 =(x_b-x_a)^2  +(y_b-y_a)^2  + (z_b-z_a)^2

(la distancia que recorre la luz es ct, si ha llegado a b en t_b-t_a habrá recorrido la distancia que separa esos puntos, elevando esa identidad al cuadrado obtienes la fórmula anterior)

Esa fórmula se puede poner:

ds^2 = dx^2 + dy^2  + dz^2 -c^2 dt^2 =0 (dx=x_b-x_a , etc).

Y eso ya tiene la forma del elemento métrico, decir que la luz se mueve a v=c en todos los sistemas inerciales equivale a decir que el elemento métrico es nulo para las trayectorias de los rayos de luz en cualquier sistema. Ahí se ve muy claro de dónde surge el signo negativo para la coordenada temporal.

Las leyes de Newton, en especial F=ma tienen la misma forma en distintos sistemas de referencia que se relacionen por las transformaciones de Galileo (si sólo consideramos desplazamientos en x :

x\prime = x -  VT
t\prime=t

Estas transformaciones son incompatibles con el principio de RE, ya que tenemos un métrica nos gustaría perseguir la analogía geométrica, las transformaciones en \mathbb{R}^2 que dejan invariante la longitud de los vectores son los giros, las inversiones y las traslaciones. Un giro es de la forma:

x\prime=x cos (\alpha ) + y sen(\alpha)
y\prime=-x sen (\alpha) + y cos(\alpha)

Se puede ver que si se define ds^2 =dx^2 + dy^2 esta trasformación da ds\prime^2 =ds^2), en el caso Lorentziano se puede mantener la misma interpretación pero cambiando las funciones trigonométricas por las hiperbólicas.

Recordemos que las funciones trigonométricas cumplen, en virtud a la fórmula de Euler, e^{ix}=cos(x) + isen(x) la siguiente relación:

cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

sen(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

Por analogía se definen las funciones hiperbólicas:

cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}

senh(x)=\frac{e^{ix}-e^{-x}}{2}

Se puede ver entonces que las funciones hiperbólicas corresponden a las funciones trignométricas haciendo la sustitución x->ix. Por tanto se puede ver que un giro de ángulo α respecto al plano x, c.t tendrá la fórmula:

x\prime=x cosh( \alpha ) - c t senh(\alpha )
ct\prime=-y senh( \alpha) + ct cosh(\alpha )

(Aquí \alpha es real y por eso aparecen funciones hiperbólicas, pero si pusiéramos las ecuaciones del giro convencionales, con funciones trigonométricas, tendríamos que poner un ángulo imaginario)

Es fácil ver, sustituyendo, que con esa elección se tienes:

ds\prime^2 =ds^2
(Aquí ds^2 =-c^2 dt^2 +  dx^2).

Es decir lo que pedíamos, que el elemento de longitud sea invariante invarianza de c. Desarrollando esto implica:

cosh( \alpha )=\frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{ c^2}}}
senh(\alpha )=\frac{\frac{V}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

lo que sustituyendo da las ecs. de transformación de Lorentz. Eso es lo bueno del formalismo con métricas, la similitud de tratamiento con la geometría euclidea

Pasamos ahora a la relatividad general. Es decir, la teoría einsteniana de la gravitación:

Recordemos que la esencia de la teoría de Einstein, que la masa curva el espacio, queda muy bien reflejada en su ecuación:

R_{ab} -\frac{1}{2}R g_{ab}=8 \pi T_{ab}

No he incluido el término opcional para la constante cosmológica. Ya iremos viendo que significa cada término en detalle. Anticipar que la parte de la izquierda indica la curvatura del espacio-tiempo mediante el tensor de Ricci R_{ab} y el escalar de Ricci R. Esta curvatura es debida a la materia, que esta representada por la parte derecha de la ecuación mediante el tensor de energía momento T_{ab}.

Aquí g es la métrica, básicamente una matriz cuadrada 4×4 (asumimos que estamos en 3 + 1 dimensiones) en dónde cada una las posiciones depende de la posición y el tiempo.

Recordemos. Si estamos en un espacio plano y euclídeo de tres dimensiones g sería diag(1,1,1), diag quiere decir matriz diagonal, si estamos en un espacio plano minkowskiano, el de la relatividad espacial sería diag( -1, 1, 1 ,1), el signo (-) corresponde a la coordenada temporal, con esto la métrica no seria definida positiva y aparte de vectores de longitud positiva habría vectores con longitud negativa y con longitud 0 (distintos del (0,0,0), en general este tipo de métricas se llaman Lorentzianas.

Esto para las coordenadas cartesianas usuales, si por ejemplo usamos coordenadas esféricas el espacio euclideo 3d tendría métrica diag(1,r^2,r^2 sin^2 (\theta ))

Este cálculo de la métrica en esféricas se obtiene mediante la matriz jacobiana del cambio a coordenadas esféricas J. En concreto g_{esfericas}=J ^{-1}. g_{cartesianas}J (J^{-1} denota la inversa), Si tenéis ganas podéis hacerlo, o más fácil para \mathbb{R}^2 ver que g en polares es diag (1,r^2) .

Recordemos. Esta métrica sirve para medir la longitud de vectores, mediante las fórmulas comunes de multiplicación de matrices por vectores. Si usamos notación de índices esto se escribiría g_{ab}v^av^b (se asume que se suman los índices repetidos, esto se conoce como convenio de Einstein)

Esta noción de longitud de vectores sirve para medir longitudes en una superficie curva, veamos cómo.

Empezamos por una curva, o sea una región de \mathbb{R}^n que se puede escribir de la forma X(a)=f(a)(t), dónde f(a) son funciones que para cada valor de t dan el valor de la coordenada X_a) de la curva(podría pensarse que es la trayectoria de una partícula que va variando con el tiempo, la velocidad de esta curva \mathbf{v} (t) será el vector tangente a esa curva en cada punto, la noción intuitiva de longitud de una curva sería \int_a^b \mathbf{v}(t) dt dónde \dot{c} denota la longitud de un vector osea g_{ab} v^a v^b, pero aquí el vector sería una función de t (y para espacios curvos, o espacios planos en coordenadas no cartesianas, también g sería función de las coordenadas que a su vez serían función de t).

El hecho de usar la derivada proviene de que estamos midiendo la distancia entre dos puntos consecutivos de la curva cómo si fueran rectos, lo que en el límite, cómo siempre, lleva a la derivada. La dirección tangente es la de la recta que más se parece a la curva en ese punto y la longitud de esos vectores tangentes nos dan así la longitud de la curva

Una superficie 2d es hablando vagamente, una subzona del espacio 3d que se puede parametrizar por dos variables, por ejemplo la esfera unidad, conjunto de puntos de \mathbb{R}^3 que cumplen x^2 +   y^2 +   z^2  = 1 podría parametrizarse mediante coordenadas esféricas y sería:

x=sin(\phi ) cos(\theta )
y=sin( \phi ) sin( \theta)
z=cos(\phi )

Bien, ya sabemos medir longitudes en curvas, ahora pasamos a superficies.

Intuitivamente tenemos la idea de lo que es el plano tangente a una superficie, podemos formalizarlo de varias formas, una de ellas es considerar curvas inscritas en esas superficies, el plano tangente a la superficie estaría generado por los vectores tangentes a todas las curvas que pasan por ese punto. (una curva sería un subconjunto unidimensional de la esfera que se parametrizaría haciendo que \phi y \theta fueran funciones de t, i.e. x=sin ( \phi (t)) cos( \theta (t)). Fijarse que el plano tangente es bidimensional, y generalizando si tratáramos de hiperusperfices de dimensión n (que podríamos pensar cómo subconjuntos de \mathbb{R}^{n+1}, aunque eso tiene sutilezas) su plano tangente tendría dimensión n.

Entonces tenemos en cada punto de una superficie vectores que expanden un plano tangente, especificar una forma de medir la longitud de esos vectores es dar una métrica a la superficie, en este caso de 2d la métrica sería una matriz 2×2 (pués los vectores son de dos componentes) dónde los valores de g serían función del punto p de la superficie en que nos hallamos. Hay varias formas de calcular esa métrica, introducimos una notación para ver cómo se calcula por ejemplo la métrica de una esfera.

Podemos pensar que tenemos vectores “infinitesimales” dx, dy, dz, que indican desplazamientos “infinitesimales” en esas direcciones, (en concreto dx quiere decir (dx, 0,0), osea un vector de longitud infinitesimal en la dirección x y 0 en las otras ), estos vectores serían una base del espacio vectorial \mathbb{R}^3.

Un vector infinitesimal genérico será de la forma (dx , dy , dz), y su longitud al cuadrado sería dl^2 =dx^2 +dy^2 +dz^2. (porque la métrica es diag(1,1,1)), en esféricas, usando la misma notación dl^2 =dr^2 + r^2 (d \theta^2+  sen^2 (\theta )d\phi^2).

Esas notaciones son equivalentes, es decir podemos expresar g_{ab} cómo una matriz o mediante “la longitud de un vector infinitesimal genérico”, en RG se suele usar esta segunda notación.

Bueno, vamos a por la métrica de la esfera de radio R, una esfera indica puntos con R constante, es decir que no consideramos variaciones en r, es decir dr=0, por tanto dl^2 =R^2 (d \theta^2  +sen^2(\theta )d \phi^2).

Aquí estamos suponiendo que la esfera pertenece a \mathbb{R}^3 y que estamos midiendo sus vectores tangentes con la métrica usual de \mathbb{R}^3 lo cuál parece muy lógico. Pero en realidad esto no es obligatorio.

Podríamos elegir cualquier matriz 2×2 simétrica y nos daría una métrica para los vectores de la esfera, que claro, no sería equivalente en general a la heredada de \mathbb{R}^3. Podríamos considerar, p.ej, que estuviéramos en el espacio de Minkowski en 3d, es decir con métrica diag (-1,1,1).

Con esta notación es muy fácil entender cómo se calculan métricas, consideramos dl^2 =\sum dy_i^2 y un cambio de coordenadas y_i=y(u_a), entonces dy_i ={\partial y_i}{\partial u_a} du sustituyendo dl^2=\frac{\partial y_i}{\partial u_a}\frac{\partial y_i}{\partial u_b} du_a du_b.

Bien, hemos visto cómo medir longitudes de los vectores tangentes, nos falta ver cómo medir la longitud entre dos puntos p, q de una superficie, la manera es considerar las curvas que perteneciendo a la superficie unen esos puntos, decimos que la longitud entre p,q=min(longitud de curvas que unen p y q), el problema con esta definición es que el cálculo explicito no parece sencillo. Ahí intervendrán las geodésicas

Ya tenemos la métrica, ahora necesitamos pensar en cuando un espacio esta curvado, la idea es considera un vector y transportarlo paralelamente a lo largo de una línea cerrada. Si consideramos el círculo unidad en \mathbb{R}^2 y cogemos un vector cualquiera en un punto, por ejemplo el vector que “empieza” en (-1,0) y acaba en (0,0) tenemos claro que si lo trasportamos por el círculo unidad “paralelamente” 45º en dirección contraria a las agujas del reloj tendremos el vector que “empieza” en (1,0) y “acaba” en (1,1), si giramos una vuelta completa obtendremos el vector original, es decir transportando un vector paralelamente alrededor de un círculo obtenemos el mismo vector, esto es así porque \mathbb{R}^2 es plano.

En realidad he hecho trampa, he hablado de vectores que empiezan en un sitio, hacer esto supone que estamos hablando de espacios afines, me explico, \mathbb{R}^n es un espacio vectorial, el de los vectores que empiezan en el origen, luego tenemos un sistema de coordenadas cartesianas, que dan la noción intuitiva de un espacio geométrico euclideo, llamémoslo \mathbb{E}^n, y podemos asociar a cada vector de \mathbb{R}^n un vector en un punto p cualquiera de \mathbb{E}^n que es el vector paralelo al inicial y que comienza en p, este espacio euclideo con una copia de \mathbb{R}^n en cada uno de sus puntos se conoce cómo espacio afín y se denota \mathbb{A}^n .

Ahora consideremos que dibujamos un círculo en la 2-esfera, y tratamos de girar un vector paralelamente por ese círculo, el vector resultante no coincidirá con el vector original y eso nos indicará que la esfera es una superficie curvada.

El problema es que en una superficie curva no tenemos cómo en
\mathbb{A}^n una noción natural de decidir cómo hacer transporte paralelo, la idea es que el vector a transportar formará un ángulo, el que sea, con el vector tangente a esa curva la idea es que queremos que el vector transportado paralelamente forme el mismo ángulo con el vector tangente a esa curva en cualquier punto de la curva. En superficies 2-d hay un sólo vector que cumpla esto.

Consideremos el caso más sencillo de la curvatura de una curva, aquí hay una definición muy fácil, la curvatura de una curva indica cómo varia su vector velocidad, este es su vector aceleración, la variación de la velocidad será en dirección perpendicular a su vector tangente. No entraré en detalles pero esto permite definir cuál de todos los vectores tangentes es que cumplen la condición correcta del ángulo es el bueno.

En realidad esto se ha sistematizado y se usa un punto de ataque complementario, en general la derivada de una función en una curva es un vector, es decir cuando se cambian las coordenadas con que se describe la superficie se trasforma de acorde al jacobiano, sin embargo su derivada en general no se transforma cómo la métrica (se dice que no es un tensor), buscamos una generalización de la derivada que aplicada a un vector de un tensor.

Se puede ver, y ya no entro en detalles, que la condición de transporte paralelo es equivalente a decir que la derivada covariante del vector a lo largo de la curva se anule.

Esta derivada covariante de un vector A se puede indicar con Nabla, el signo del laplaciano o con una d mayúscula.

Es \nabla_j A=\frac{ \partial A^i}{\partial x^j} +   \Gamma ^i{}_{aj} A^a

\Gamma es el símbolo de Cristoffel de segunda especie. Es una cantidad muy importante..

Existen los símbolos de Cristoffel de 1ª especie [ij,b]=g_{kb} \Gamma^k {}_{ij}, que tiene una expresión natural en función de la métrica:

[ij,k]=1/2(\partial g_{ik} / \partial x^k + \partial g_{ik} / \partial x^i- \partial g_{ij} / \partial x^k)

Y aunque el significado intuitivo de la curvatura es el que he dicho en realidad lo que suele hacerse es introducir el tensor de curvatura de Riemman que viene a informar de la falta de conmutatividad de la derivada covariante y que puede escribirse por tanto en función de los símbolos de Cristoffel y sus derivadas.

R^a_{ijk}=\partial \Gamma^a_{ik}/ \partial x^j -\partial \Gamma^a_{ij}/ \partial x^k  \Gamma^b_{ik} \Gamma^a_{bj} -\Gamma^b_{ij}\Gamma^a_{bk}

He hablado de tensores y no he dicho que son. Intentaré remediarlo. La idea es expresar las leyes de la físca de tal modo que sean independientes del sistema de coordenadas. Sin embargo sabemos que las magnitudes físicas dependen de las coordenadas. Por ejemplo un vector en un sistema de coordenadas tiene unas componentes. Ese mismo vector respectro de otro sistema de coordenadas tiene
otras componentes. Sin embargo hay una relación entre las componente en los dos sistemas de coordenadas. Tenemos que:

v’=B.v

donde B es la matriz de cambio de base que nos pasa de unas coordenadas a otras.

Esto es válido para los vectores. Sin embargo la propia base del nuevo sistema coordenado cambia con la inversa de la matriz B, denotada B-1, es decir, tenemos:

e'=B^{-1}e

Aquí e es cualquiera de los vectores base. Por ejemplo en \mathbb{R} ^3 tendríamos que la base canónica tiene \Vec{e_1}=(1,0,0), \Vec{e_2}=(0,1,0)  \Vec{e_3}=(0,0,1) (En esta notación la e no tienen nada que ver con el número e=2.16 )

Un vector arbitrario v tendrá en esa base unas coordenadas (a,b,c), es decir \Vec{v}=a\Vec{e_1} + b\Vec{e_2} + c\Vec{e_3}.

Si denoto la coordenada i del vector v por vi tendré que v1=a, etc.

Igualmente para la base canonica denotaría que el vector base e1 tiene coordenadas e11=1.

Fijaros bien que para indicar las coordenadas de los vectores v he usado superíndices mientras que para los del vector e_1 he usado subíndices.

Esto deviene en una convención. Se dice que los vectores que se tranforman cómo los vectores base son vecotres covariantes, y sus componentes se denotan con subíndices. Sin embargo los vectores “no base” se dice que son contravariantes y sus coordenadas se denotan con superíndices.

Bien,en física existen cantidades que respecto a unos índices son covariantes y respecto a otras son covariantes. Estas magnitudes se llaman tensores. Lógicamente sus componentes contravariantes se denotan con superíndices y sus componentes covariantes respectoa índices. Las ecuaciones físicas siempre vamos a querer expresarlas mediante magnitudes tensoriales para que tengan un significado que sea independiente de la base elegida.

He intentado exponer los tensores de la manera más sencilla posible, espero que se entienda lo suficiente. Una vez hecha esta pausa continuo con la geometría. recordemos que nos habíamos quedado con el tensor de Riemman. A partir de él vamos a definir el tensor de Ricci.

El tensor de Riemman R^a_{ijk} (una vez contravariante, tres veces covariante) permite definir el tensor de Ricci R_{ij} =R^a_{ija}, es decir se obtiene contrayendo (sumando) el tensor de Riemman entre su índice contravariante y su tercer índice covariante. Es este tensor el que aparecía en la ec. de Einstein, (R se define con estos pasos R^a_b =g^{ab} R_{ab} , es decir, cómo siempre, se usa g^{ab}, la inversa de g_{ab} para subir los índices, y g_{ab} para bajarlos, entonces R=R^a_a .

Tras toda esta matemática que le será difícil de asimilar a quien no este habituado a la notación tensorial de índices, algo de física al fin.

En RG todas las entidades matemáticas que hemos ido introduciendo tienen un significado físico a parte del matemático.

Por ejemplo tendríamos g_{00} \approx 1 2.1/r (\approx indica aproximadamente) osea 1 /2 Φ, dónde Φ es el potencial newtoniano para una partícula puntual.

Cómo por la ecuación de Poisson Δ Φ =4.. π G. ρ (ρ densidad de masa) podemos hacer una correspondencia R_{00} Δ (=laplaciano) y en general podemos pensar que los símbolos de Cristoffel están asociados a los potenciales gravitatorios, ya que su derivada, el tensor de Ricci esta asociado a la derivada del potencial gravitatorio.

Estas aproximaciones que dan significado físico a estas cantidades geométricas son lo que se llama el límite newtoniano de las ecs de Einstein linealizadas

Se obtiene considerando que g_{ab} =\eta_{ab}+ h_{ab} dónde η es la métrica de Minkowski y estamos interesados en variaciones respecto a esa métrica, denotadas por h. Si se hace esta substitución en las ecs. de Einstein y nos quedaos sólo con términos lineales en h tenemos una expresión sencilla, que si hacemos el cambio h|_{ab} =h |_{ab} -1/2 \eta|_{ab} h dónde h=h_{aa} .

\partial ^c \partial _c h|_{ab}=-16\phi.T_{ab} (Nota, esta forma tan sencilla de las ecuaciones sólo se da en cierto tipo de sistemas de coordenadas, estos sistemas de coordenadas cumplen una condición, que no indicaré aquí, y cuando trabajamos en estos sistemas coordenados exclusivamente decimos que estamos en el gauge de Lorentz).

Ya hemos visto que el T_{ab} esta relacionado con \rho , pero poco más hemos dicho de el, en general Tab representa a la materia/energía), por tanto en el vacio sería 0, dependiendo de lo que queramos describir representará materia “clásica” o materia “cuántica”, para la primera se suelen usar modelos hidrodinámicos de la materia, el caso más sencillo, llamada aproximación newtoniana es T_{ab}\sim \rho.t_at_b

Aquí t_a es el vector de desplazamiento en la dirección temporal (la del signo (-) en la métrica)
Bueno, ya sabemos las ecs, reflexionemos sobre ellas, son no lineales y para saber la curvatura necesitamos saber la métrica y para saber la métrica necesitamos saber la distribución de la materia, pero claro, al evolucionar la distribución de la materia cambia y necesitamos recalcular g y R, así que es un poco lioso.

Por eso se trabaja con situaciones simplificadas, por ejemplo la solución de Schwarschild se obtiene por consideraciones de simetría. Esta solución describe un campo con simetría esférica, que estaría producido, lógicamente, por una carga puntual en el origen. Formalmente sin embargo no necesitaremos en esta situación el tensor T_{ab}, tensor energía momento (tensor e-m de aquí en adelante), así que resolveremos las ecs. de Einstein para el vacío, considerando que las soluciones deben tener simetría esférica.

Las consideraciones de simetía reducen los 10 componentes de la métrica (una matriz tiene 16 componentes, pero si ha de ser simétrica, cómo es el caso para cualquier matriz métrica, lorentziana o riemaniana, sólo 10 son distintos) a 2 funciones independientes f(r) y h(r):

dl^2=f(r)dt^2+   h(r)dr^2 +  r^2 (d \theta^2  sin^2 (\theta)d \varphi ^2) (fijarse que el última término es la métrica de la 2-esfera).

Ahora que tenemos una “plantilla” para la forma de la métrica podemos tomar las derivadas que indica el tensor de Ricci y obtenemos unas ecs diferenciales para f(r) y h(r), su solución es la métrica de Schwarschild.

dl^2=-(1   2M/r)dt^2 +  (1-2M/r)^{-1} +dr^2 (parte esférica)

Importante notar que esta métrica toma valores infinitos para r=0 y para r= 2GM/c^2 (la c aparecería en la métrica si no usáramos unidades naturales dónde c=1) .

Esta solución sólo vale fuera de la materia que produce la masa M, dentro habría que hacer una suposición sobre la forma de T_{ab}.

He mencionado brevemente las geodésicas, es hora de hacer más hincapié sobre ellas, hasta ahora hemos visto cómo calcular la métrica, pero no sabemos cómo calcular cómo se mueve la materia en esa métrica, todo el que ha leído divulgación sabe que la materia se mueve en geodésicas del espacio tiempo.

Sin embargo las ecs. de Einstein no tienen ninguna geodésica,¿que falla?, bien, en realidad cómo ya he dicho una vez dada la métrica en un instante hará evolucionar la materia según las ecs de Einstein y así tendremos que recalcular la métrica otra vez, afortunadamente en caso de interés se pueden hacer simplificaciones y considerar que hay una materia inamovible, p.ej. el sol que produce la métrica y una materia móvil que no interviene en la configuración de la métrica, los planetas, se puede probar que la ec de Einstein implica que estas partículas “test” se mueven en geodésicas, esta demostración no la dió Einstein, es bastante posterior, así que Einstein se vio forzado a postular ese movimiento geodésico, aunque tenía la intuición de que estaba implícito en su ecuación, cómo de hecho acabo de decir que llegó a demostrarse, este postulado no era “antinatural” pues en relatividad especial se puede ve que la partículas se mueven en líneas que minimizan la longitud.

Esto es para partículas con masa, para partículas sin masa se usa una generalización del principio de la aproximación de “rayos” de la óptica geométrica, en realidad, para luz clásica, habría que considerar el tensor energía-momento del campo electromagnético..

Dejo para terminar la ec. de una geodésica tipo espacio es :

\cfrac{d^2 x^\mu}{ds^2} + \sum_{\sigma,\nu} \Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \cfrac{dx^\sigma}{ds}\cfrac{dx^\nu}{ds} = 0

Fijarse que m, la masa, no parece en la ec de las geodésicas, eso significa que todas la partículas “test” siguen la misma trayectoria independientemente de su masa. El tema de los rayos de luz, y las trayectorias que siguen, es ligeramente distinto. El tratamiento usual es usar la ecuación eikonal. En cualquier caso no lo trataré aquí.

ste post queda pues como una referencia que usaré cuando tenga que explicar a la gente a que me estoy refiriendo cuando hablo de diversos aspectos de la RG.

He usado una aproximación a la matemática implicada a mitad de camino entre la geometçia diferencial clásica, tal cómo se expone en p.ej los libros de Manfredo do Carmo o de D.J.Struick y el calculo tensorial de Levi-Civitta, tal cómo se expone en el Lichnerovic o en el Sokolnikov (esta última es la que usó el mismo Einstein).

Hay formas más rigurosas, e incluso claras pese a ese rigor, de exponer esta geometría, quizás la mas adecuada sea la que aparece en “tensor anaysis on manififolds” de Richard L. Bishop y Samuel I.Goldberg de la editrial dover (muy barato). Introduce todos los conceptos de topología necesarios asíq eu cualquier físco puede entenderlo.

El mejor, con diferencia, libro de geometría en variedades, que es lo que trata el Bishop-Goldberg es el Bpotby “Riemannian Geometry on diferenciable manifolds” de academic press, no es sin embargo autocontenido, es un libro escrito para matemáticos con base previa en topología y geometría diferencial clásica, y además, al menos en la 1ª edición no trata tópicos cómo vectores de Killing y el caso Lorentziano para la métrica, pero a cambio te da una gran seguridad con los temas tratados.

Hay incluso más maneras, una introduce las tétradas (o vielvein) que son imprescindibles para incorporar fermiones en RG, y otras usan la teoría de fibrados principales, pero para entender los principios básicos en mi opinión no son las más adecuadas.

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Una respuesta to “Minicurso de Relatividad General”

  1. Running Schwarschild radio | Ciencia DiY Says:

    […] general (una introducción desde o a relatividad especial y general la tenéis en este blog Minicurso de Relatividad General ) se divide en dos partes La primera parte, la de esta división puede pensarse que es la […]

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