Teoría de grupos y física I: conceptos básicos

Una de las ramas de la matemática cuyo uso en física es fundamental es la teoría de grupos, en particular la teoría de grupos de Lie. Reflejo de esa importancia es que el modelo standard de partículas, la teoría sobre la naturaleza mas sofisticada y fundamental sobre la naturaleza que esta verificada experimentalmente se conoce, incluso en los libros de divulgación cómo SU(3)xSU(2)xU(1). Y en esos mismos libros de divulgación posiblemente se habrá podido leer de modelos de gran unificación tipo SU(5) ó SO(10). Aparte esta el hecho de que formalmente todas las partículas del modelo standard pertenecen a representaciones del grupo de Lorentz. En este post (y los que le siguen) intentaré explicar que significan, y que utilidad tienen, esos símbolos.

Antes de eso, no obstante, señalar que pese a su importancia la teoría de grupos no siempre se enseña en una licenciatura de físicas, incluso en al especialidad de teórica. Por ejemplo, ahora mismo, en el plan actual de la UAM esta ausente. Ciertamente casi cualquier estudiante de físicas sabrá, una vez cumplimentado en primer curso el correspondiente curso de álgebra lineal, que SU(2) es el grupo de matrices unitarias especiales de dimensión 2, pero, ciertamente de saber eso a entender su uso en teoría cuántica de campos media un pequeño abismo.

Eso sí, a lo largo de los estudios la gente habrá oído comentar varias veces que tal o cuál cosa de mecánica cuántica (no relativista) se puede explicar de una manera mas elegante mediante grupos. Eso incluye cosas cómo el momento angular, los coeficientes de Clebs-Gordon y alguna cosa más. Posiblemente alguno se ha quedado con ganas de ver algo sobre el tema. Intentaré ver algo al respecto, pero me centraré mas en los usos de la teoría en física de partículas.

Una última puntualización antes de entrar en materia. La forma de ver exponer la teoría de grupos varia mucho de los textos escritos para físicos a los textos escritos para matemáticos. En este post expondré los resultados en el estilo de los físicos de modo que pueda leerlo el mayor número posible de gente. Pero, aparte, comentaré la forma en que se ven esos conceptos en la literatura matemática para que cualquier con un bagaje en matemática moderna pueda ver la forma “verdadera” de dichos conceptos. Eso sí, asumiré que ese lector matemático ya conoce topologia, geometría diferencial en variedades y cosas así.

Empecemos ya con la materia. Un grupo (G, .) es un conjunto de elementos en los que se introduce una operación interna, que denotaré por un punto “.” (ocasionalmente usaré el signo + para esa operación en los lugares dónde su uso sea mas natural), que cumple las siguientes propiedades:

i) Asociativa: a.(b.c)=(a.b).c \forall ~a,b,c \in~G
ii) Elemento identidad: \exists ~ e~ t.q. ~ e.a=a.e ~\forall a \in G
iii) Elemento inverso: \forall a \in G \exists ~ a^{-1} ~ t.q.~ a.a^{-1}=a^{-1}.a=e

Si además la operación “.” cumple la propiedad conmutativa se dirá que el grupo es Abeliano.

Vamos a ver algunos ejemplos:

(\mathbb Z,+) , el conjunto de números enteros con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.
(\mathbb Z_n,.) Grupo cíclico de orden n. Es el grupo generado por un único elemento a y sus potencias hasta orden n. Esta última es la identidad, esto es {a,a^2, a^3,...,a^n=e}. No entraré en muchos detalles sobre este grupo. En el caso mas sencillo dónde los elementos del conjunto son números enteros los generadores del grupo son los enteros que son primos relativos con n. De hecho puede demostrarse que todos los otros casos son equivalentes (isomorfos) a este. Sin embargo este tipo de grupos aparecen de manera abstracta en, por ejemplo construcciones topológicas como la homotopia o la homologia.

Estos dos ejemplos anteriores son grupos discretos, es decir, el conjunto G tiene un número finito de elementos. Aunque son interesantes en si mismos y útiles en varias ramas de la matemática y la física nos va a interesar mas el caso de los grupos continuos, es decir, aquellos en los que el conjunto G tiene un número infinito (no numerable) de elementos. Ejemplos de estos grupos van a ser los que aparecían al principio, los U(n), SU(n), SO(n), etc .

Grupo unitario U(n): Conjunto de las matrices unitarias nxn, con la operación “.” el producto de matrices. Es decir, las matrices que cumplen U^{\dagger}.U=U^{\dagger}.U=\mathbb I . Para n>1es no abeliano. Sin embargo U(1) es abeliano. Se corresponde a las transformaciones de fase e^{i\theta}.

Grupo especial unitario SU(n): Grupo de las matrices unitarias con determinante unidad.

Grupo ortogonal SO(n): grupo de la matrices ortogonales, es decir, que cumplen A.A^T=A ^T.A=\mathbb I .

Voy a detenerme un poco en este último grupo porque nos va a permitir ver el motivo por el cuál los grupos son importantes en física. En los cursos de álgebra lineal elemental se muestra cómo las operaciones geométricas de girar un vector por un ángulo \theta se corresponde con una matriz ortogonal de dimensión 2: \left( \begin{array}{cc} cos{\theta} & -sen{\theta}  \\ sen{\theta} & cos{\theta} \end{array} \right)

Pues bien, esta matriz se puede ver que es, para cualquier valor de \theta un elemento de SO(2). Igualmente las matrices de SO(3) se corresponden a la operación geométrica de giros (Si quisiéramos incluir reflexiones tendríamos que permitir matrices con determinante -1 y tendríamos el grupo O(n)). En física hay muchos problemas que tiene simetría rotacional, es decir, que el problema no cambia si el conjunto de todas las partículas y/o campos involucradas en el problema son sometidos a una rotación. Esto nos da ya una idea de la íntima relación que va a haber entre grupos continuos y física.

Un poco mas formalmente puede decirse que los grupos de rotaciones son los grupos que dejan invariante el producto escalar de dos vectores. Este producto viene definido por una métrica. Los grupos SO(n) se corresponden a la métrica usual en \mathbb R^n . Antes hablé del grupo de Lorentz. Este es el análogo al grupo SO(n) cuando en R ^4 se tiene, en vez de la métrica euclidea usual, la métrica de Lorentz, i.e. la métrica diag (-1,1,1,1). Se suele denotar el grupo de Lorentz mediante la notación SO(3,1). Si además de rotaciones permitimos traslaciones hablamos del grupo euclideo para el caso de la métrica usual y del grupo de Poincaré para la métrica de Lorentz.

Voy a hacer un pequeño inciso destinado a los matemáticos. En física la mayoría de grupos continuos van a ser grupos matriciales y por “continuo” puede entenderse, hablando vagamente, que los elementos de cada matriz posible van a estar determinados por unos ciertos parámetros. Es decir, que los elementos de la matriz van a ser funciones de un cierto número de variables y la continuidad del grupo viene a decir que esas funciones son funciones continuas (entendidas como funciones de variable real).

En matemáticas se quiere tener una definición general mas abstracta. Para ello se introduce el concepto de grupo topológico. Un grupo topológico es un grupo en el que el conjunto G es un espacio topológico. Se exige, además, que las operaciones de grupo sean compatibles con la topología, es decir que la multiplicación del grupo G × G -> G y la operación de inversión G -> G sean aplicaciones continuas. Aquí, G × G es visto como un espacio topológico con la topología producto.

De hecho se suele ir un paso más allá. En física interesan los grupos de Lie. Estos aparte de continuos deben ser diferenciables. Esto nos lleva, en terminología moderna, a decir que un grupo de Lie es una variedad diferencial en las que operaciones de grupo son funciones \mathbb C^\infty. Mas adelante introduciré la noción de álgebra de Lie en términos matriciales. Anticipar que en términos matemáticos el álgebra de Lie se corresponderá con el conjunto de los vectores invariantes por la izquierda bajo la acción del grupo, que, en última instancia puede verse que se corresponde con el espacio tangente en la identidad.

Sigamos, tras ese paréntesis para matemáticos, con algunas nociones más.

Dados dos grupos G=(g1,g2,…} y H={h1,h2,….} se define su producto directo GxH= {g_ih_i} con la ley de multiplicación g_kh_l.g_mh_n=g_kg_m.h_lh_m

Esto ya nos permite entender la notación usada al principio cuando decíamos que el modelo standard es SU(3)xSU(2)xU(1). Ciertamente entender plenamente el significado de esa notación es mucho mas complicado que todo lo visto hasta ahora, pero, en esencia, es lo que he puesto antes, el producto directo de esos grupos.

Saber si un grupo dado puede o no escribirse como producto de otros grupos es algo importante. Para poder estudiar eso vamos a introducir otro concepto, el subgrupo invariante.

Un subconjunto N de un grupo G es un subgrupo invariante de G si \forall t~ \in ~ N ~ r.t.r^{-1} ~ \in ~ N . Es decir, que la operación de multiplicar un elemento de N por cualquier elemento de G no nos saca de N. Se ve trivialmente que cualquier componente en un producto directo de grupos es un subgrupo invariante del grupo producto. Se dice que un grupo que no contiene ningún subgrupo invariante es un grupo simple. SU(n) es un grupo simple. U(n), por el contrario, no lo es. Puede verse que U(n) se puede descomponer en el producto SU(n) xU(1). Dada la relevancia de U(1) se introduce un concepto mas. Se dice que un subgrupo es semisimple cuando puede escribirse como producto de otros grupos mas sencillos ningunos de los cuales es U(1). Según esto U(n) no sería un grupo semisimple.

Para concluir este post voy a introducir brevemente un concepto más, de capital importancia, la representación de un grupo. Una representación es la realización de los elementos del grupo como matrices.

En el caso de los grupos que en su definición ya interviene el concepto de matriz (SU(n), O(n), U(n), etc) sto no parece aportar nada especial. En el caso de otros grupos, como el caso de los grupos finitos, esto si tiene su utilidad. No obstante es muy importante dejar claro que incluso en los grupos cuya definición se hace en términos de matrices tiene sentido hablar de representaciones. Veamos porque.

Pensemos en SO(3) . En su definición viene dado por matrices 3×3 que actúan sobre vectores de dimensión 3. En mecánica clásica tenemos una magnitud física, el momento angular, que esta definida para sistemas que tiene invarianza bajo rotaciones. La expresión convencional para el momento angular es \vec L=\vec r x \vec p . En cuántica el radio r y el momento lineal p se sustituyen por los correspondientes operador posición y operador momento. Análogamente se introduce el operador momento angular \hat L=\hat r x \hat p .

Clasicamente el momento angular puede tomar cualquier valor. Sin embargo cuánticamente el operador momento angular (al menos para ciertos sistemas, como los estados ligados del átomo de hidrógeno) puede verse que va a tomar una serie discreta de valores. Más aún, clasicamente pueden medirse simultáneamente el valor del momento angular total L (o su cuadrado) y todos las componentes, (Lx, Ly, Lz), del momento angular. Cuanticamente sin embargo los operadores Li aunque conmutan con el operador L ^2 no conmutan entre sí y por tanto no pueden medirse simultáneamente sus valores (normalmente, por convenio se opta por medir Lz). Esto nos lleva a que tendremos que caracterizar los estados en términos de (L^2 ,Lz) . Esto nos lleva a que tendremos los autoestados caracterizados por valores (l, m) dónde l es el autovalor respecto a L^2 y m el autovalor respecto a Lz. Se puede demostrar, además, que si los valores posibles de m para un l dado son m={l, l-1, l-2,….,0, -(l-1), -(l-2), …,- l}.

Tal vez el lector se haya despistado un poco con la física de los párrafos precedentes y se pregunte su relación con as representaciones. Pasemos a aclararlo. Actuando sobre funciones arbitrarias el operador L esta definido en términos de los operadores r y p, según dijimos antes. Sin embargo si nos restringimos a autofunciones con momento angular y tercera componente angular bien definidos podremos representar L^2 y los Li mediante matrices nxn. Aquí la dimensión n estará relacionada con el autovalor l. En concreto será el número de valores posibles de m para un l dado. Así, para l=0 tenemos un sólo valor posible. Para l=1 tenemos 3, para l=2 tenemos 5 y, en general n= 2l + 1. Según esto para estados de momento l=1 el grupos SO(3) vendría representado por matrices 3×3, para l=2 por matrices 5×5, etc. En realidad en cuántica en vez de SO(3) se va a tomar su grupo recubridor, que es SU(2) y las cosas son ligeramente diferentes. Más aun, estrictamente el momento angular esta asociado a los generadores infinitesimales del grupo de Lie (su álgebra de Lie). De hecho lo que en última instancia se estudia son las representaciones de ese álgebra, que generan las representaciones del grupo. No obstante se suele referir a la representación del álgebra como la representación del grupo sin hacer mayor distinción. No ahondare en estos conceptos ahora, lo pospondré para posts venideros.

En física de partículas las cosas van a ser ligeramente diferentes. Los grupos SU(n) se van a corresponder no a simetrías externas globales sino a simetrías internas locales. Asociados a esos grupos van a estar los bosones vectoriales. En el caso U(1), correspondiente al electromagnetismo, ese bosón vectorial es el fotón, mediador de la interacción electromagnética. En el caso de SU(3) esos bosones serán los gluones, mediadores de la interacción nuclear fuerte.

Veremos que los bosones vectoriales estarán asociados a una representación específica de esos grupos, la representación que los define (conocida como representación adjunta). Físicamente los bosones interactuan con fermiones cargados bajo ese grupo de simetría. Así los fotones interactuan con electrones con carga eléctrica y los gluones sobre quarks que (aparte de carga eléctrica, irrelevante para lo que aquí quiero mostrar) tienen carga bajo SU(2), conocida como carga de color.

En términos matemáticos tenemos que los fermiones van a ser algo así como los vectores sobre los que actúan las matrices. Para aquellos con un cierto nivel en matemáticas decir que las teorías gauge se corresponden a conexiones en fibrados principales y que los fermiones se corresponden a fibrados vectoriales asociados.

En pos ulteriores iré aclarando más que significan todas estas cosas. Introduciré el concepto de suma directa de representaciones y así podré explicar el significado de expresiones del tipo:

(2×2)x2=(3+1)x2=(3×2)+(1×2)=4+2+2

Pero eso será en otro post. El tema de la teoría de grupos es extenso y difícilmente pueden condensarse en una única entrada todos sus aspectos relevantes.

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9 comentarios to “Teoría de grupos y física I: conceptos básicos”

  1. Doblador Says:

    Lo primero gracias por el artículo! por este y por el resto, los encuentro bastante instructivos.

    Lo segundo es que ha habido una cosa que me ha contrariado, en el curso de Algebra de primero se supone que hay que ver álgebra abstracta, grupos anillos etc etc… yo sólo he visto Álgebra Lineal, (vi espacios vectoriales y transformaciones, poco más) así que tendré q suplir la carencia 😛

  2. freelancescience Says:

    De nada, me alegro que te resulten útiles. De eso se trata.

    Acerca de lo de no haber visto álgebra abstracta en un curso de álgebra lineal yo no me preocuparía demasiado. Lo suyo es que en un curso de álgebra lineal te enseñen eso que has dicho (espero que incluyeran también aplicaciones lineales, diagonalización de matrices y formas bilineales).

    El álgebra abstracta es un mundo aparte. Si solo te dieran las definiciones de grupo, anillo (y posiblemente ideal) no te serviría de gran cosa, puedes leer esas definiciones, junto con observaciones interesantes sobre ellas, en wikipedia. Para que sean útiles tendrían que darte ejemplos trabajados, y bastantes definiciones extra. Vamos, que lo suyo es un cuatrimestre dedicado a ese tema.

    Por otro lado la utilidad de explicar álgebra abstracta a un físico es cuestionable. La única utilidad que se me ocurre es que sirva como base para poder estudiar geometría algebraica al modo de los matemáticos. pero para eso aparte de un curso básico de álgebra abstracta sería preciso añadir un curso de álgebra conmutativa (y posiblemente uno intermedio con teoría de Galoise de extensión de cuerpos). Sinceramente me parece excesivo y es de suponer que la tendencia sea crear cursos de geometría algebraica para físicos que incluyan versiones resumidas de ese bagaje orientadas específicas a ese fin. De hecho ya empiezan a aparecer dichos libros.

    Puedes ve mas sobre este particular en esta entrada, http://freelance-quantum-gravity.blogspot.com/2009/02/nvitation-to-algebraic-geometry.html, de mi otro blog.

  3. Doblador Says:

    Si bueno ese es el temario que entró!, aunque muy poco sobre formas bilineales Aunque como me gustaría dedicarme a la parte más matemática o teórica de la física, siempre ando picando cosas de aquí y de allá para aumentar en la medida de lo posible mi bagaje de conocimientos. (aunque ya estoy dejando de lado la wikipedia o demás consultas en enciclopedias para estudio serio de matemáticas)

    Por ejemplo lo de la geometría algebraica me queda bastante lejos, ya que mi nivel no pasa de Análisis I-II y Álgebra Lineal, y poco más que elemental, de ahí que me “acongoje” un poco al leeros (a los licenciados y estudiantes de cursos avanzados) en el foro xD y pensar los años-luz que me quedan por aprender. Pero para eso estamos!

  4. Yaneth Says:

    Me encantaría que el autor pudiera contestarme en éste momento .. jajaja … está muy bueno tu articulo me gustó mucho, lo leí por que tengo que entregar en breve un trabajo del grupo de poincaré pero desde el punto de vista matemático y me ser´´ia dde gran utilidad saber cúal es en matemáticas el grupo de poincaré ., i.e.— es talvez O(3) jaja .. emm espero explicarme …. a que grupo corresponde … bueno muchas felicidades por el espacio y el articulo espero que cuando reciba la respusta de ésta pregunta si es que la recibo, todavía pueda ayudarme en mi trabajo .. que estes bien ..
    UN buen sitio

  5. Sistemas hamiltonianos y caos « Ciencia DiY Says:

    […] dónde [ , ] es el conmutador [A,B]=AB – BA. Es está estructura adicional la que convierte el grupo sp(2n) en una álgebra de Lie. En general un álgebra de Lie es un grupo aditivo con la operación adicional del paréntesis de Lie [ , ] que satisface las identidades de Jacobi. Si uno exponencia los elementos de un álgebra de Lie uno obtiene un grupo de Lie (el álgebra son los generadores infinitesimales del grupo) Una introducción sencilla a los elementos más básicos de la teoria de grupos puede consultarse en : Teoría de grupos y física I: conceptos básicos […]

  6. Jersin Says:

    Me gusto el articulo, ppor favor si podrias ampliar lo de grupos en la parte que tiene que ver con fisica especialmente con el modelo estandar y sus ampliaciones.
    saludos

  7. freelancescience Says:

    Se intentará, se intentará. A ver si esta semana puedo poner algo.

    Gracias por comentar

  8. Ciencia DiY Says:

    […] Cómo inglesa de la wiki no explica de manera muy clara lo que son las raíces de un álgebra de Lie dejo una explicación somera, a modo de recordatorio para los que les suene de algo el tema, de lo que son. Quizás este sea un buen momento para que el lector se repase esta entrada básica sobre grupos de Lie. […]

  9. Física de los materiales magnéticos (libro) « Ciencia DiY Says:

    […] Cómo inglesa de la wiki no explica de manera muy clara lo que son las raíces de un álgebra de Lie dejo una explicación somera, a modo de recordatorio para los que les suene de algo el tema, de lo que son. Quizás este sea un buen momento para que el lector se repase esta entrada básica sobre grupos de Lie. […]

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