Posibles peligros de un agujero negro de Crane

El tema del post anterior ha sido discutido en el foro de Migui (y aparentemente, según el registro de visitas del blog, en un foro de estudiantes de la universidad de Zaragoza al que no tengo acceso). En el foro de Migui he dejado un par de respuestas que elaboran la idea, y plantean algunas pegas. Tenía intención de pulir un poco esas respuestas (para empezar poner las fórmulas en latex -ya que por desgracia en ese momento el foro de Miguie tiene problemas con mimetex, y corregir un error en un dato usado en dichos cálculos) y aprovechar para explicar porque los agujeros negros del LHC no son peligrosos (las explicaciones que se dan habitualmente son versiones tan simplificadas que, estrictamente hablando, no son correctas). Pero como quiera que eso redundaría en una entrada excesivamente larga, y que me llevaría un cierto tiempo redactarla he optado por dejar aquí una copia tal cuál de las dos respuestas (una de hoy mismo) en el foro de Migui, para no tener demasiado en ascuas a los lectores interesados en la entrada anterior. Intentaré, cuando tenga un hueco, editar esta entrada y adecentar al máximo la exposición.

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Respuesta 1.

¿El agujero negro podría ser peligroso o sería tan pequeño que le sería imposible atraer materia cercana?

Este es un cálculo que podría estimarse en secundaria, y no necesariamente en el último año. Basta usar la ley de Newton de la gravitación universal. Con ella podemos calcular la distancia a partir de la cuál la aceleración gravitacional del agujero es mayor que la de la tierra. El resultado es (como no funcione el LaTeX escribo la fórmula chabacanamente):

r=sqrt(G.M/g)= 7.98 x10^(-3)xsqrt(M)

dónde, obviamente, g es la aceleración de la tierra, el famoso 9.8 m/s^2, G la constante de gravitación universal y M la masa del b-h.

Si sustituimos un valor típico -a la par que numéricamente conveniente- para las masas que maneja Crane, por ejemplo M= 10 toneladas, nos sale que r= 7.98 x 10^-3. Es decir, casi, casi un centímetro. Por simplicidad asumo desde ahora un agujero tal que r= 1cm. Como la aceleración gravitatoria de una masa puntual crece inversamente al cuadrado de la distancia nos sale que para medio centímetro la atracción gravitatoria cuadriplicará la de la tierra, para un radio de 0.31 cms sería 10 veces mas fuerte que la de la tierra, y ya por tanto probablemente suficiente para robarle masa a la tierra. Podríamos discutir este aspecto, pues en el interior de la tierra la presión debería simplificar mucho la acrección, pero así, por simplificar, podemos quedarnos quedarnos con que a radios de 0.5 centímetros el b-h consume toda la masa que le pase cerca. Realmente si quisiéramos hacer esto bien usaríamos el modelo de acreción de Bondi, o alguna cosa mas refinada, pero valga esta aproximación grosera para nuestros propósitos.

Asumamos que el agujero cayera de manera libre en el interior de la tierra, lo cuál es una aproximación razonable. Supongamos que se come todo lo que encuentra en un radio de medio centímetro. Eso nos lleva que cuando cae por un lado y llega al unto antipodal habrá consumido un cilindro de base medio centímetro y altura el diámetro de la tierra. Usando los datos de la densidad y radio de la tierra eso os daría que al llegar al punto antipodal habría consumido 7.87x 10^3 Kg, Es decir, casi habría duplicado su masa.

Esta estimación nos indica que la masa crece lo bastante deprisa como para que el radio crítico en que ejerce efectos significativos también crece, y que por tanto debemos usar una ecuación diferencial.

Si llamamos rc= 0.31.rg a ese radio crítico tenemos que rc= 0.31*7.98.10^-5 *sqrt (M). Llamo al factor numérico k.Tenemos que el incremento de la masa, según lo que vimos antes, sera:

inc(M)=rho*phi. rc^2. Vch. inc(t)

dónde Vch es una velocidad característica que luego se estimará. Sustituyendo en la fórmula anterior encontramos la ecuación diferencial:

inc(M)/inc(t)=cM

dónde C=rho.phi. K^2Vch= 1.05*10^-8*Vch

La estimación de Vch es ligeramente delicada. Sabemos que una masa puntual cayendo libremente por el centro de la tierra describe un movimiento armónico simple, por aquello de que la fuerza gravitatoria en el centro de la tierra va como F=k*R (K es una constante trivial de calcular).

Para el oscilador amónico sabemos que la velocidad en función de la posición es:

V(x)=w*sqrt(A^2- x^2). (w es la frecuencia del oscilador)

Podríamos usar esa distribución para calcular el valor medio de V y usarlo como Vch. En realidad como nuestro b-h va ganando masa según cae la aproximación del oscilador armónico no sería exacta, así que podríamos contentarnos con usar una aproximación mas grosera para Vch (o resolver la ecuación exacta del movimiento, teniendo en cuenta el incrementeo de M con el tiempo, luego despejar V(x) y calcular el valor medio, lo cuál parece totalmente innecesario). Como quiera que se me hace tarde hago una estimación muy burda. si se asume que la energía potencial se transforma en cinética al caer al centro de la tierra, y teniendo en cuenta que al caer su masa será 3/2 la inicial me sale (si no me he equivocado, que lo he hecho rapidito, en http://fisicaconpatatas.blogspot.com/2009/11/viaje-por-el-centro-de-la-tierra.html hacen algo similar y les sale 11224 m/s , osea, parecido, pero no igual) que la V en el centro sería del orden de 8*10^3 m/s. Lo mas sencillo para estimar la velocidad media sea usar los datos que da esa web para el tiempo que se tarda en ir de un punto a su antípoda, 38 minutos (42 con una correción). Y claro, dividiendo distancia entre tiempo tenemos una excelente aproximación para la velocidad media. Nos quedaría una Vm=5.06*10^3.

Total, que la c que nos aparecía en la exponencial vale:

c=5.35*10^-5

Si diéramos credibilidad a esta ecuación hasta el final nos saldría que el tiempo que tarda la masa del agujero negro en ser igual a la de la tierra sería t=log(Mt)/c=1.07*10^6 sg. Es decir, que en unos 12 días se habría ventilado la tierra.

¿A que parece todo esto muy ingenuo? Física de segundo de carrera básicamente. Pues bien, hay un articulillo en arxiv que trata el mismo tema (aplicado a los agujeros negros del LHC, dónde esta aproximación no sería válida para el agujero negro “recién nacido”) y que usa mas o menos el mismo tipo de estimaciones. No lo he mirado y he hecho los cálculos yo mismo (entre otras cosas porque el artículo omitía parte de los detalles). Pero vamos, que no se rompían la cabeza, no .

En definitiva, que si no hay radiación Hawkings mal asunto. Ahora bien, si confiamos en que si existe esa radiación ¿podemos estar tranquilos?

Yo diría que no. Al irse desintegrando el agujero negro va perdiendo masa, decrementando su área y por tanto aumentando su irradiancia. Es decir, que la velocidad de desintegración se incrementa con el tiempo. Se puede plantear una ecuación diferencial usando la ecuación de Stefan Boltzman como medida de la potencia radiada (al fin y al cabo el b-h emite como un cuerpo negro y relacionar la temperatura de Hawkings al radio del agujero negro. Integrando la ecuación se puede estimar el tiempo que tarda en desintegrarse el b-h. Los cálculos están en http://arxiv.org/abs/0912.0826v1 (en realidad los hace para una cosa que llama “agujeros negros cuánticos”, pero creo que sirve para nuestro caso) y le sale que el tiempo de desintegración es:

t=1/CM.(M/Md)^2(d-2)/d-3

dónde d es el número de dimensiones efectivas del espacio (ahí considera la posibilidad de que haya dimensiones extra mesocópicas) y C el número de campos disponibles para desintegrarse. Md es la mas de Planck para el caso de d dimensiones (que n es la misma que para d=4).

Hay unas cuantas incógnitas en esa fórmula. Pero lo interesante es que Crane estima que si existe supersimetría la radiación de Hawkings puede bastar para acelerar el b-h a una fracción estimable de la velocidad de la luz en un tiempo razonable. Eso da idea de que se desintegraría bastante rápido, y emitiendo muchísima radiación. Eso hace que uno se incline a pensar que podría llegar a desintegrarse en un tiempo del orden de lo que tardaría un viaje interestelar típico, osea, decenas de años. Como las fases últimas de la desintegración serían explosivas, y por aquel entonces seguiría quedando bastante masa tendríamos que el estallido final podría convertir una cantidad bastante grande de masa (si asumimos un decaimiento exponencial tal vez estaríamos hablando de masas de orden de una tonelada) que se convertiría en un estallido de rayos gamma (y otros tropecientos tipos de partículas). Si se hace el famoso E=mc^2 tendríamos la noción clara de que estaríamos ante una explosión preocupante incluso si ocurre lejos de la tierra. Obviamente si al agujero lo “alimentamos” continuamente cuando es grandecito para que la radiación Hawkings sea pequeña casi no radiará, y tampoco crecerá peligrosamente.

Si las estimaciones que hago en este post son razonables (juzgarlo vosotros mismos) me queda la impresión de que estamos ante un animalito bastante peligroso. Se supone que al crearlo estará cargado y que un campo eléctrico debería mantenerlo a raya. Pero ¿que campo eléctrico puede mantener a raya un objeto de varias toneladas y radio microscópico de una manera fiable?. Aparte de que deben asegurarse de que lo construyen de tal modo que la velocidad que tiene es casi 0 respecto al sistema de laboratorio, que sino no hay quien lo atrape.

Tras estas reflexiones me queda la impresión de que si bien construirlo no me parece algo imposible a corto o medio plazo el problema realmente serio es la seguridad del proceso.

Respecto a la antimateria, pues mírate los enlaces que puse en el primer post, que lo explican perfectamente. El resumen sería que es totalmente inviable.

Y ya de paso te respondo por aquí a lo que preguntaste en el hilo de materia oscura. Mírate el blog de Jester (resonances) que dejé enlazado en ese hilo. Tiene varias entradas de este mismo año sobre la materia oscura dónde discute el asunto de DAMA y las diversas opciones de materia oscura compatibles con ella e incompatibles con el resto.

P.S. Ya es mala suerte que este averiado el Latex justo en un post como este, con, relativamente, tanta fórmula.

P.S. 2. Aviso, hay un fallo muy tonto en los cálculos. Con las prisas asumí que ya que el resto de datos que estaba usando me los ponían en el S.I el de densidad también estaba en ese sistema. Luego caí en que 5.5 no me cuadraba nada, y en efecto, son 5.5 g/cm^3. Hay que multiplicar pues por mil el incremento de masa, con lo cuál el b-h como mucho mas deprisa de lo que había puesto.

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Respuesta 2 (sobre la seguridad de los mecanismos de contención y manipulación del b-h basados en que este estuviese cargado):

Eso de los agujeros negros cargados es algo que me inquieta. En particular me inquieta desde que he leído el artículo comentado aquí y me empiezo a plantear que tal vez no sea tan remota la posibilidad de que alguien fabrique un miniagujero negro de unas cuantas toneladas (luego discuto ese punto) en algún lugar del sistema solar en algún momento no terriblemente lejano del futuro.

Ciertamente existen las soluciones tipo Reisner-Nordstrom que describen agujeros negros cargados en presencia de una distribución de cargas (mas exactamente su tensor de energía momento). Y uno puede vivir tranquilo con esas soluciones en tanto en cuanto nadie esperaba verse con realizaciones prácticas de la misma. Pero dado el caso seamos un poco críticos.

Por ejemplo, una pega que se me ocurre, en la misma línea de la idea heurística de la radiacion de Hawkings, es la siguiente. Si asumimos que la temperatura de Hawkings (proporcional a la gravedad superficial de b-h, y por tanto a su área, y por tanto a su masa) es lo basante alta ese espectro de Hawkings permitiría crear pares de partículas cargadas (empezando por pares electrón positrón, que serían las partículas cargadas mas ligeras). La idea en la radiación de Hawkings es que una de esas partículas virtuales se queda atrapada en el horizonte y que la otra se hace real. En principio sería un proceso aleatorio y se quedarían atrapadas equiprobablemente los electrones o los positrones.

Ahora bien, si el agujero negro tiene carga en promedio uno esperaría que se quedaran atrapadas mas veces las partículas de caga opuesta a la del agujero negro hasta que este volviera a quedar con carga neutra.

Esa es la idea heurística, y ualitativa, pero no creo que debiese ser muy difícil implementarla en los cálculos semiclásicos que hizo Hawkings para obtener su radiación para obtener una versión cuantitiva.

Por supuesto las consecuencias, si mi pega es correcta, serían devastadoras para la propuesta de Crane. La idea es poner a emitir al b-h de manera no isótropa ara que se autoacelere hasta cerca de la velocidad de la luz. Cómo se supone que estaría cargado la nave iría remolcada del agujero negro mediante un campo eléctrico. Ahora bien, este mecanismo requiere que el agujero pueda radiar a muy altas energías, incluyendo partículas supersimétricas de varios GeV. Mucho, mucho antes de llegar a eso estaría radiando electrones/positrones y si la pega que propongo es correcta se descargará antes de alcanzar una velocidad aprovechable y la nave no podría seguirlo.

Por otro lado si el mecanismo es viable haría que plantearse que supondría para el mismo la existencia de soluciones extra. Los cálculos de la entropía dan que para b-h en mas de (3+1)dimensiones se sigue cumpliendo la ley de Beckenstein-Hawkings. Imagino que eso implica que también se cumpliría la dependencia de la temperatura de Hawkings en la aceleración. Ahora bien en dimensiones extra la gravedad decae como !/R^(n-1) y eso implica que para distancias cortas la aceleración gravitatoria es mayor que lo que sería en el caso habitual. Eso podría significar que tal vez el agujero emita a mas temperatura de la esperada, y que se descargue mas rápido si mi idea de neutralización de la carga tiene sentido. En ese caso podría darse la circunstancia de que un agujero que, dada su masa, en el caso normal no podría descargarse y ser susceptible de controlar mediante campos e-m pudiera volverse neutro y desmandarse.

En fin, he expuesto las ideas cualitativas. Alguien mencionaba haber leído un límite inferior a la masa de un b-h para que no radiara explosivamente que era del orden de la masa de una montaña mientras que yo he hablado de masas mucho menores, del orden de 10 Tm. La verdad es que escribí ese dato porque me pareció haberlo visto en el artículos, pero lo puse fiándome de la memoria, que siempre es poco de fiar. Sea como sea es un cálculo bastante sencillo. Basta calcular la aceleración en la superficie del b-h, que no tiene mayor complicación, y sustituir en la fórmula de la temperatura de Hawkings (una fórmula algebraica muy simplona) y estimar que temperatura se consideraría peligrosa. realmente si uno quiere ser algo mas serio habría que plantear una ecuación diferencial que diese el ritmo de desintegración del b-h y ver en que punto ese ritmo alcanza una velocidad considerada explosiva. No es terriblemente complejo, y, en todo caso, hay bibliogafía dónde esta hecho.

En fin, dejo por aquí la propuesta por si a alguien le apetece hacer los cálculos. Ya no son física de bachillerato, o de segundo de carrera, pero tampoco creo que excedan la capacidad de alguna gente de por aquí. Además, si alguien no los ha hecho ya (algo que si uno lo piensa puede resultar sorprendente) tal vez podría plantearse publicarlos y todo.

Ya, para acabar, mencionar un artículo en el investigación y ciencia de este mes. Uno de los autores es M. Visser, conocido como uno de los mayores especialistas en agujeros de gusano, y por la gravitacion semiclásica posiblemente Ahí apuntan una cuestión que ya he visto planteada por otra gente, que los efectos cuánticos podrían generar una fase “antigravitatoria” que impediría en algunos casos la formación de los agujeros negros. En ese artículo mencionan que usan una aproximación semiclásica obtenida por la backreaction, que se traduce en la renormalización del tensor de energía momento clásico, e iteraciones varias de ese mecanismo. Me planteé si la teoría de cuerdas no invalidaba totalmente esos cálculos, pero hasta dónde he meditado creo que no. Al fin y al cabo la teoría de cuerdas permite obtener soluciones tipo agujeros negros de Reissner-Nordstrom a partir de las p-branas que aparecen en supergravedad. La supergravedad sería un límite de bajas energías de la teoría de cuerdas, pero al ser branas BPS podemos admitir que los cálculos se mantienen hasta límites de altas energías y en ese caso las p-brnas supergravitatorias estarían formadas por apilamientos de D-branas. Calculando la entropía de esas configuraciones de D-brnas se obtiene la entropía del b-h, que coincide con la del agujero negro. Lo interesante es que esto describe un agujero negro ya formado, pero no nos dice nada del proceso de formación. Y eso justo es el asunto que analizan M. Visser et all. Y no veo que haya un problema terriblemente grave en su aproximación que la teoría de cuerdas pueda echar por tierra (de hecho en el artículo Visser repasa escenarios de la descripcióndel interir del agujero negro ya formado, algunos de los cuales incluyen propuestas bastante recientes de la eoria de cuerdas). En ese sentido el mecanismo de Visser sería mucho mas “string-free” que estudios similares de otra gente (Martin Reuter, por ejemplo) que dependen bastante de la LQG, que todos sabemos causa escozores a los cuerdistas mas “militantes”.

Ya, para terminar, otras posibles pegas a la idea del agujero negro cargado. Si uno se toma en serio la descripción clásica del b-h resulta que la materia termina de manera inavocable en la singularidad. No tengo claro que las leyes de conservación de la carga eléctrica tengan porque seguir siendo válidas en dicha situación. Tal vez pudiera argüirse que todo lo que ocurra al otro lado del horizonte de sucesos es irrelevante, no lo tengo claro. Hay alguna otra posible pega que se me ocurre, pero no la he examinado demasiado así que no digo nada, que bastante riesgo de haber expuesto propuestas tontas he corrido ya con lo expuesto hasta aquí.

P.S. Tras pensarlo un poco creo que los cálculos de la neutralización de carga por un agujero negro serían ligeramente mas complejos de lo que he dado a entender porque en principio parecería natural usar una métrica de Reissner-Nordstrom en vez de la de Scharschild como base para realizar los cálculos.

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