Solitones

En lo que ha venido a conocerse como “teoría del caos” se analiza el hecho de que la presencia de términos no lineales en ecuaciones dinámicas (en diferencias o diferenciales) puede resultar en comportamientos en los que hay una gran sensibilidad en las condiciones iniciales que convierten el sistema dinámica en algo impredecible a largo plazo.

Sin embargo este no es el único aspecto interesante que surge en presencia de no linealidad en las ecuaciones. Un fenómeno bastante singular es la aparición de lo que se conoce como “solitones”. Un solitón es un tipo de onda que mantiene su forma incluso cuando se propaga en un medio dispersivo. Aquí se hará una introducción a los aspectos más sencillos de la teoría de los solitones. Principalmente se analizará la ecuación de Koterweg- de Vries, pero también se mencionarán algunos otros tipos de solitones.

Historia
La primera observación histórica documentada de un solitón la hizo en 1834 el ingeniero naval inglés John Scott Russell. Mientras paseaba a caballo observo por un canal de agua poco profundo vio que una barca arrastrada por unos caballos sufrió un incidente y se paró bruscamente. a resultas de ello se formó una onda solitaria que avanzó por el canal durante largo tiempo sin desvanecerse. Como son bastante famosa dejo aquí las palabras que usó para describir su descubrimiento:

“I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped – not so the mass of water in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, which continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed it on horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour, preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height gradually diminished, and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel. Such, in the month of August 1834, was my first chance interview with that singular and beautiful phenomenon which I have called the Wave of Translation”.

Tras eso Russel realizó un análisis teórico y algunos experimentos. Experimentalmente halló hechos como que el volumen de agua en la onda era igual al volumen de agua desplazada por la perturbación inicial. Más interesante, descubrió que la velocidad de la onda solitaria (el la denominó, como se lee en el texto en inglés, “onda de traslación”) cumplía:

1. c^2=g(h+a)

dónde a es la amplitud de la onda, h la altura del canal de agua dónde se forma la onda y g es la aceleración de la gravedad. El aspecto clave es que la velocidad de la onda depende de su amplitud (altura). Posteriormente Boussinesq (1871) y Lord Rayleigh (1876) asumieron que la longitud de la onda tenía una escala mucho mayor que la profundidad de el agua y dedujeron un perfil par la onda. El paso final para establecer la teoría clásica lo dieron Kortewev y de Vries en 1895. A partir de las ecuaciones de Euler de los fluidos obtuvieron su famosa ecuación y analizaron algunas de sus propiedades mas sencillas. La deducción que ellos hicieron es bastante larga y puede encontrarse en, por ejemplo: http://panda.unm.edu/Courses/Finley/p573/solitons/KdVDeriv.pdf. Aquí se usará una deducción alternativa basada en las propiedades de dispersión de un medio.

Mucho mas tiempo después (1953) Fermi, Pasta y Ulam hicieron una serie de investigaciones numéricas -usando algunos de los primeros ordenadores digitales jamás construidos- sobre redes cristalinas monodimensionales, una cadena de iones susceptibles de vibrar (fonones). Fermi esperaba que el sistema se comportase ergódicamente y que la energía se distribuyese equitativamente entre los modos de vibración disponibles. Sin embargo las investigaciones mostraron que se producía un comportamiento cuasiperiódico. El tipo de fenómenos que aparecían podían interpretarse como si se formase algún tipo de cuasi-partículas localizadas en una pequeña zona de la cuerda vibrante. Siendo un físico de partículas Fermi las denominó “solitones”, que es el nombre actualmente usado para ese tipo de fenómenos.

Un hecho nuevo e interesante que apareció en esos estudios es que los solitones podían colisionar entre sí y emerger tras la colisión manteniendo su forma. Veremos aquí esto aquí mas adelante usando las soluciones n-solitón obtenidas unos cuantos años mas tarde porToda.

En 1965 Kruskal y Zabuski demostraron que el límite en el continuo del sistema de Pauli era la ecuación de KdV. Y pudieron relacionar sus resultados numéricos con las soluciones clásicas de esta ecuación.

Otros desarrollos posteriores dignos de reseñar son el método general para obtener una solución de la ecuación de KdV para unas condiciones de contorno dadas mediante la técnica de scatering inverso. También es interesante la conexión de la ecuación de KdV y lo que se conocen como pares de Lax.

Otra característica interesante es analizar porque se pueden obtener soluciones exactas de esta ecuación no lineal y porque no tiene comportamiento caótico (sensibilidad a las condiciones iniciales). El motivo es que esta ecuación tiene un número infinito de cantidades conservadas. En general una ecuación en derivadas parciales que exhiba estas características no va a tener comportamiento caótico. En este trabajo se analizará este aspecto basándose en el trabajo de Miura y compañía hecho en 1968.

Las soluciones tipo solitón son estables en diversos sentidos. No requieren condiciones iniciales demasiado especiales, y siguen existiendo si se modifican esto. Y también son estables bajo pequeños cambios en la ecuación diferencial que lo describe, por ejemplo si se añade un término de disipación (estabilidad estructural). Esta estabilidad es lo que permite que en la práctica lleguen a observarse este tipo de ondas en diversos fenómenos. Con todo es interesante partir de este tipo de soluciones y analizar que añadidos se les debe hacer para que pasen a tener comportamiento caótico.

En lo que sigue analizaremos algunos de los aspectos comentados y se reseñarán al final algunas consideraciones sobre el tema que no serán tratadas, pero que no está de más el estar informado de su existencia

Ecuaciones de onda y la ecuación de Koterweg- de Vries

Es bien conocida la ecuación en derivadas parciales lineal de 2º orden de tipo hiperbólico que describe la propagación de una onda:

2. \frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=0

Las soluciones de esta ecuación describen ondas que se propagan a una velocidad, c, que es independiente de la frecuencia de la onda. Asumiendo que la onda se propaga en un medio tenemos que ese medio es no dispersivo. La ley de dispersión es la relación entre la frecuencia,w, y el número de onda, k, de las ondas que se propagan en él. En un medio no dispersivo se cumple: \omega^2= c^2 k^2. En general -para el caso de un medio isótropo- se tendrá una relación de la forma \omega^2 = f(k^2) . Si asumimos que la dispersión es muy pequeña podemos desarrollar por Taylor y obtener: \omega^2= c^2 + \Gamma k^4 . Esto nos lleva, asumiendo que \Gamma k^2\ << c^2 a la expresión final:

3. \omega(k)= ck - \beta k^3

Si proponemos que la ecuación de ondas que nos interesa tendrá una solución, la famosa onda plana, de la forma:

4 u(x,t)= e^{i(ckx - \beta \omega t)}

Podemos ver, teniendo en cuenta la acción del operador derivad parcial en esa solución de prueba, que la ecuación que buscábamos será:

5. u_t + c u_x + \beta u_{xxx} = 0

(Aquí se ha usado la notación de subíndices para las derivadas parciales).

El término responsable de la dispersión es el de la derivada tercera. Puede verse fácilmente que ahora si tenemos que la velocidad depende el número de onda. En particular se cumple c=\frac{\omega}{k}= 1 - k^2

Hago aquí un breve inciso para aclarar un punto que no suele comentarse en los textos sobre solitones y que tal vez pueda desconcertar a un físico que lee sobre este tema si intenta meditar sobre el asunto. Posiblemente el caso mas conocido de medio dispersivo sea un medio óptico (medio en el que pueden propagarse ondas electromagnéticas). En esos medios se tiene que la velocidad de la luz depende de su longitud de onda (asociada de manera únivoca a su número de onda). Sin embargo la ecuación de ondas en un medio óptico sigue siendo la ecuación de ondas lineal y no es necesario introducir ningún término con derivadas terceras (aparte de que la derivada temporal en la ecuación de ondas es de 2º orden y no de primero como en la ec. 5). ¿dónde esta el truco?. Bien, en la ecuación 2 hemos puesto la constante c, sin explicar su origen. Dicho origen depende según la física que estamos describiendo de diversos factores. En el caso de una onda electromagnética dependerá de la constante dieléctrica y la permitividad magnética del medio que aparecen en las ecuaciones macroscópicas de Maxwell (estas son básicamente las mismas que en el vacío sustituyendo las permeabilidades del vacío por las del medio). Estas constantes en general dependerán de la longitud de onda (y normalmente van a cumplir las relaciones de Kramers- Kronig). En el análisis de solitones la naturaleza de la dispersión se introduce como hemos señalado, y de ahí las diferencias.

Nótese que habíamos avanzado que la ecuación de KdV era una ecuación no lineal y que nuestra ecuación 5 es lineal. Eso significa que aun nos falta por introducir la no linealidad, y justificar su presencia. El punto clave es que si las ondas de distinto número de onda se propagan a distintas velocidades y por el análisis de Fourier, sabemos que una perturbación arbitraria estará compuesta por modos de diverso número de onda. Como estos se propagan a distinta velocidad se tendría que la forma inicial de la onda se iría difuminando con el tiempo y no tendríamos solitones. Necesitamos algo que contrarreste esa tendencia.

Pasamos a analizar un tipo sencillo de ecuación con un tipo simple de no linealidad, lo que se conoce como ecuación invíscida (osea, sin término de viscosidad) de Burguers:

6. u_t + (1 + u) u_x= 0

Buscaremos la solución de esta ecuación mediante el conocido método de características. En particular se tiene que u es constante en las líneas que cumplen \frac{dx}{dt} = 1 + u . Y que, por consiguiente, las curvas características son: x= (1 + u) t  + cte . De ese modo la solución general es:

7. u(x,t) = f(x - (1 + u)t) .

con f una función arbitraria. En definitiva, tenemos que para un perfil inicial u(x,0) = f(x) podemos obtener por el método de las características una solución única que propaga la solución a través de las curvas características. En realidad las cosas no son tan sencillas como parece y esta solución es válida solo localmente. En general pasado un cierto tiempo las soluciones, al menos una parte de las mismas, “estallarán” (en inglés blow-up) lo que corresponde físicamente con que el perfil de la onda se romperá. Nótese también que este transporte a través de las curvas características no es exactamente una onda en el mismo sentido que las soluciones de d’Alambert a la ecuación de ondas lineal.

Pero, con todo, ya tenemos los dos ingredientes básicos. Podemos combinar un término de dispersión con un término no lineal y obtener la ecuación de Korteweg -de Vries:

8. u_t + (1 + u) u_x + u_{xxx} =0

Si añadiésemos en vez de un término de dispersión uno de disipación obtendríamos otra ecuación bastante conocida, la ecuación de Burguers:

9. u_t + (1 + u) u_x + u_{xx} =0

También podríamos combinarlas en una ecuación que contuviese un término de dispersión y uno de disipación. Aquí se va a tratar el caso con dispersión, pero es interesante saber que si se añade disipación no se van a perder las características tan interesantes que cumplen las soluciones de la ecuación de KdV. Antes de proceder a analizar la ecuación simplemente señalar que mediante sencillos cambios de variables puede escribirse en su forma mas habitual:

10. \partial_t \phi + \partial^3_x \phi + 6\, \phi\, \partial_x \phi =0

Soluciones de la ecuación de KdV

Vamos a analizar, como habíamos comentado antes que era nuestro interés, soluciones tipo D’Alambert para la ecuación KdV. Es decir, soluciones del tipo u(x,t)=f(x-ct). Si sustituimos esta expresión de la solución en la ecuación 1o obtenemos una ecuación diferencial ordinaria:

11 . cf'  -6ff' + f'''=0

Integrando una vez se obtiene:

12. -cf  -3 f^2 + f''=A

dónde A es una constante. Si se usa f’ como un factor integrante y se integra una vez mas se obtiene:

13. 1/2(f')^2=f^3 + 1/2 f^2 + Af  + B

dónde B es una segunda constante arbitraria.

Para poder seguir avanzando es necesario imponer condiciones de contorno. Las mas sencillas posibles corresponden a elegir f, f' , f '' \rightarrow 0 cuando \xi =x -ct \rightarrow  \pm \infty . En ese caso A y B son 0 y la ecuación puede integrarse fácilmente dando el resultado final:

14. f(x-ct)= -1/2csech^2 (1/2c^{1/2}(x-ct - x_0))

dónde x_0 es una constante de integración.

De esta solución pueden deducirse de manera sencilla estas dos propiedades características que había obtenido experimentalmente Russell:

i. La amplitud es la mitad de la velocidad.

ii. Su anchura es inversamente proporcional a su altura, es decir, ondas mas alta se mueven mas rápido (y por la propiedad i son mas estrechas).

A nivel conceptual es interesante señalar lo que de particular tiene la existencia de esta solución de onda que se propaga. Su existencia depende de la competitividad entre dos fenómenos que actúan en sentidos opuestos: La dispersión (asociada a la derivada tercera) y la tendencia a destruir la onda (fenómeno shock wave que se vio cuando se analizó la solución de la ecuación invíscida de Burgues mediante el método de las características).

Esta es la solución mas sencilla posible, y se corresponde con la onda que observó Russell por vez primera. Pero definitivamente hay mas soluciones de esta ecuación. Esas soluciones se expresan en términos de las funciones elípticas cn de Jacobi. Cómo es demasiado asumir que todo el mundo este familiarizado con dichas funciones se darán aquí algunas nociones básicas e imprescindibles sobre el tema.

Primero definimos la integral:

15. v=\int_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}

Esta integral es análoga a:

16. w= \int_0^\psi \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}

en 16 si ponemos w=sen (\theta ) se ve que w=arccsen (\psi) o que sen( w) = \psi , es decir, que 16 define la función trigonométrica arcsen. Esto llevo a Jacobi (y a Abel) a definir a partir de 15 dos nuevas funciones:

17. sn( v) = sen( \phi)

y

18. cn(v) = \cos (\phi)

Aunque en la definición no es transparente estas funciones dependen del parámetro m presente en la integral. Si quiere tenerse en cuenta este parámetro se usa la notación sn (v |m) y cn (v |m).

Dos casos especiales, m=0,1, permiten reducir la integral 15 a formas conocidas e integrables. En particular para m=0 se tiene:

19. v= \phi  y por tanto cn (v|0)= cos(\phi)=cos(v)

Para m=1 se obtiene:

20. v= arseh(cos \phi) y por tanto cn(v|1)=sech (v)

De aquí se puede concluir que sn v y cn v son funciones periódicas para 0 \le m  < 1 pero que la periodicidad se pierde para m=0.

Una tercera función elíptica posible es:

21. dn(v) = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}

Algunas propiedades útiles de estas funciones son:

a) sn^2 + cn 2=1

b) dn^2 + k^2 cn^2=1

c) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z) = \mathrm{cn}\,(z)\, \mathrm{dn}\,(z)

d) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z) = -\mathrm{sn}\,(z)\, \mathrm{dn}\,(z),

e) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z)\, \mathrm{cn}\,(z).

Ciertamente este brevísimo sumario de definiciones y propiedades no hace justicia a la rica rama de las matemáticas que son en si mismas las funciones elípticas, íntimamente ligada a la teoría de curvas elípticas y a algunos aspectos de la teoría de números. Algo mas de información puede obtenerse en la página correspondiente de wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_elliptic_functions

Tras este breve inciso sobre funciones elípticas volvemos al tema de las soluciones de la ecuación de KdV. Si uno considera condiciones de contorno periódicas, es decir que la función en meno infinito valga lo mismo que en mas infinito (lo que equivale a transformar la recta real en un círculo) puede verse que la solución a la ecuación de KdV se puede escribir, haciendo unos pequeños cambios de variable y notaciones, como:

22. u(x,t)= 2a^2k^2 cn^2(a(x - 4(2k^2 -1) a^2t)

Korteweg y de Vries denominaron a estas soluciones ondas cnoidales. Aquí k es el módulo de la función elíptica cn. Puede verse que para k \rightarrow 1 cn converge a sech y de ese modo se recupera la solución de onda solitaria como un caso límite.

En este tipo de soluciones la relación entre amplitud y velocidad de la onda es mas compleja que en el caso de la “onda solitaria” y el análisis requiere el uso de propiedades de las funciones elípticas incluyendo valores que deben ser hallados numéricamente (o buscados en tablas) y no se tratará aquí. Mencionar que este tipo de ondas aparecen en fenómenos reales, como por ejemplo en ríos o canales. Esta foto antigua muestra ondas cnoidales en el canal de Panamá:

Se pueden obtener mas soluciones de la ec. de KdV. Hay una manera sistemática de hacerlo por un procedimiento iterativo. Ahí se postula un 1-solitón, que es básicamente la onda solitaria hábilmente reescrita y se postula una forma para forma para el 2-solitón que depende de la forma del 1-solitón y de unas constante. Sustituyendo esta forma en la ecuación se despeja el valor de las constantes y se obtiene el 2 solitón. Aplicando el procedimiento se obtiene el n-solitón. Esta técnica la desarrolló Toda. Usando esa técnica se puede obtener la siguiente expresión para el 2-solitón:

23. u(x,t)=12\frac{3 + cosh(2x-8t) + cosh(4x -64t)}{(cosh(3x - 36t) + 3 cosh(-28t))^2}

El motivo por el que escribo la expresión de esta solución, sin ofrecer los detalles de como se obtiene, es que analizando sus propiedades se puede ilustrar una de las características de los solitones que mencionamos en la introducción histórica, las colisiones de solitones.

Para t grande y negativo u(x,t) es asintóticamente igual a 2 sech^2(x - 4t - \phi) + 8 sech^2(x - 16t + \phi /2) mientras que para t grande y positivo es igual a 2 sech^2(x - 4t + \phi) + 8 sech^2(x - 16t - \phi /2) dónde \phi= log(3)/3 .

La interpretación de esta matemática es la siguiente. Para t negativos grandes tenemos dos solitones separado, uno a la izquierda y otro a la derecha, moviéndose ambos hacia el centro según avanza t. Para un entorno de t=0 se tiene que ambos solitones emergen en uno sólo que posteriormente, para t positivo y grande, se convierte de nuevo en dos solitones, iguales a los de t negativo, alejándose de x= 0. El único efecto de la interacción es introducir un pequeño cambio de fase que se corresponde a un pequeño retraso del solitón respecto a la posición que ocuparía si no hubiese interaccionado con su compañero. Aunque matemáticamente estas propiedades se establecieron muchos años después hay constancia de que en sus experimentos en tanques de agua Russell observo esta interacciones entre solitones.

Constantes de movimiento en la ecuación de KdV

Miura, en 1968, introdujo una función w mediante la relación:

24. u= w + \epsilon \frac{\partial w}{\partial x} + \epsilon ^2 w^2

dónde \epsilon es una constante arbitraria. Usando la definición de w, y sustituyendo en la ecuación de KdV se llega a.

25. \frac{\partial w}{\partial t} + \partial / \partial x (\frac {\partial ^2 w}{\partial x ^2} - 3 w^2 - 2\epsilon w^3)=0

\frac{\partial w}{\partial t} + \frac {\partial F_w}{\partial x} = 0

para todo \epsilon . Esto esta en la forma de una ley de conservación con F_w el flujo de w. Pero \epsilon es una constante arbitraria y por tanto tenemos un número infinito de leyes de conservación para funciones de la variable original u. Para verlo ponemos w(u) como una serie de potencias en epsilon:

26. w= \sum_{m=0}^\infty  \epsilon ^m w_m

Encontramos que w_0= u , w_1= - \frac{\partial u}{\partial x} , w_2= - \frac{\partial  ^2 u}{\partial x^2 - u^2} , etc. Estas ecuaciones de conservación pueden ser integradas sobre x desde – infninito hasta + infinito y asumiendo que la solución va a 0 en los puntos de frontera se llega a :

27. \frac {dI_n}{dt} = 0

I_n= \int_{ - \infty}^{+ \infty} w_n(u(x,t))dx

Aunque no justificaremos aquí el motivo puede verificarse que se pueden interpretar las dos primeras cantidades conservadas como, respectivamente, el momento y la energía de la onda.

Realmente hay diversos modos de obtener las leyes de conservación. Por ejemplo uno de ellos usaría técnicas de hamiltonianos, pero explicarlo nos llevaría a complejidades que no pretendo introducir en este texto.

Lo interesante es saber que si podemos hallar etas cantidades conservadas la ecuacion diferencial no tendrá comportamiento caótico.

Conclusión

Se han visto algunas de las propiedades mas sencillas de los solitones. Este tipo de solitones son ilustrativos de fenómenos interesantes que aparecen en el estudio de sistemas no lineales de ecuaciones en derivadas parciales diferentes al famoso caos (sensibilidad en condiciones iniciales). Aunque por motivos de mantener el texto en unas proporciones razonables se han omitido muchos aspectos señalar que, por ejemplo, puede aprovecharse lo que hemos aprendido sobre interacción no lineal de diversos modos para crear un modelo en que la fase de cada modo actúe de manera arbitraria y obtener un modelo para estudiar el fenómeno de la turbulencia débil. En general para hacer eso de una manera adecuada sería una buena idea introducir las técnicas de ecuaciones diferenciales estocásticas, lo cuál es un tema muy interesante en si mismo.

Aparte de sus relaciones con el caos los solitones son interesantes en si mismos tanto en su aspecto matemático como en física y resto de ciencias aplicadas ya que la ecuación de KdV y otras con similares características aparecen en sistemas naturales y en otros artificiales de gran interés práctico. Esto incluye temas tan dispares como la óptica no lineal o los impulsos neuronales que alguna gente cree que podrían estar debidos a ondas solitónicas en las membranas celulares de las neuronas.

Para concluir una importante aclaración final. Aquí se han tratado los solitones por así decirlo “analíticos”. Aquellos que hayan estudiado teoría de campos o teoría de cuerdas habrán visto la introducción de diversos tipos de objetos que también llevan el nombre de solitones y cuya relación con lo visto aquí es harto compleja de vislumbrar. En el caso de las teorías gauge estamos ante lo que se conoce como solitones topológicos. Se trata de cantidades conservadas debido a que los valores del campo gauge en el infinito (que tiene la topología de una 3 esfera) toman configuraciones que no pueden obtenerse unas de las otras mediante transformaciones continuas. Ese tipo de configuraciones pueden interpretarse como soluciones localizadas en una cierta región del espacio relativamente pequeña y con energía finita. Tiene por tanto características similares a partículas y en ese sentido se parecen a los solitones aquí estudiados. En el caso particular de teorías de gran unificación algunas de esas soluciones solitónicas puede verse que comparten algunas de las propiedades de los monopolos que introdujo Dirac en un intento de obtener una teoría simétrica del electromagnetismo. De hecho son una predicción ineludible de esas teorías de gran unificación y el hecho de no haberse encontrado requiere algún tipo de justificación (por ejemplo su dilucción durante la inflacción) si quiere mantenerse la consistencia de esas teorías de unificación. Ciertamente ese es un tema que no esta relacionado con lo que se ha visto aquí, pero es interesante señalar su existencia para evitar posibles confusiones con el término solitón.

Otro tipo de uso común en física de partículas de la palabra “solitón” aparece en la ecuación en derivadas parciales de seno gordón. Ese tipo de solitón puede estudiarse de manera en parte similar a lo visto aquí y en parte por razonamientos de tipo topológico. En ese sentido estaría un poco a medio camino entre ambos casos. No entraré a fondo en analizar esas posibles coincidencias pues no es aproiado para el propósito del presente texto.

Referencias

Una introducción sencilla al tema de los solitones dentro de un estudio general de los diversos aspectos de las ecuaciones no lineales es el libro de Henry D. I. Abarbanel M. I Rabinovich y M .M Suschik “introduction to nonlinear dynamics for physicists” disponible en Wrold Scientific.

Un texto clásico sobre teoría de solitones es: “Solitons: an introduction” por P. G. Drazin, R. S. Johnson editado por CAM BRIDGE TEXTS IN APPLIED MATHEMATICS .

Otro texto interesante, de un nivel matemático algo superior, es “An introduction to wave equations and solitons” escrito por Richard S. Palais. Esta disponible online en http://www.ma.utexas.edu/~uhlen/solitons/notes.pdf.

La wikipedia inglesa también es una buena fuente de información en sus entradas sobre solitones, la ecuación de kowerteg de Vries o las cnoidal waves.

En esas referencias puede encontrarse abundante información sobre lo que se ha tratado aquí y también sobre lo que no se ha tratado (método de scatering inverso, pares de Lax, etc).

Sobre el otro tipo de solitones, los usados en teorías cuánticas de campos, aparte de las introducciones usuales en los textos clásicos una referencia específica sería: “Solitons and instantons: An introduction” Por R. Rajaraman

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Una respuesta to “Solitones”

  1. Sistemas hamiltonianos y caos « Ciencia DiY Says:

    […] último comentario, cuando se trató el tema de los solitones se mencionaba que la ecuación de KdV era un sistema completamente integrable. Esa ecuación puede […]

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