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Tablet PC, siete meses mas tarde…

julio 17, 2010

Entre finales del año pasado y principios del actual informé por aquí de como una circunstancia fortuita, una avería de mi vejo teléfono móvil, me llevó a tener provisionalmente un smartphone con windows mobile y ser consciente de la posibilidad de leer pdfs en él. Y como quiera que una pantalla de 2.5 pulgadas no es e mejor sitio par ello como busqué alternativas.

Tras indagar terminé comprando un tablet PC (ordenador sin teclado físico diseñado para manejarse desde una pantalla táctil) con windows 7, un archos 9. Desde entonces ha habido alguna evolución en el sector y soy mas consciente de los pros y contras de la opción elegida frente a las otras disponibles. La conclusión es clara, elegí, de largo, la mejor opción. Paso a explicar por qué.

Inicialmente mi mayor preocupación era leer cómodamente archivos pdf técnicos (básicamente del arxiv) y, a ser posible, archivos djvu.Una condición tan simple eliminó los tablets basadas en android. Por ese entonces los únicos tablets con android eran el archos 5 (pantalla posiblemente demasiado pequeña) y el archos 7. En el archos 7 el android que está instalado tiene bastantes restricciones y no es fácil instalar nuevas aplicaciones. Trae un lector de pdf, pero me informaron que este no lee correctamente algunos archivos de arxiv. Al no podersele instalar un programa extra para tal fin quedó descartado. Y, además, no había lector de djvu disponible para el sistema android.

Hoy día hay otro tablet android disponible, el Apad (de 7 pulgadas de pantalla). No sé si ese android es libre o viene con restricciones. Si es libre y se pueden instalar las aplicaciones que uno quiera podría servir para leer pdfs djvu. Y, por supuesto, cosas comunes como navegar por internet (con un navegador que soporta flash), escuchar mp3, ver películas de video, y etc, etc.

Una limitación de Apad es su poco espacio de disco duro , 2 GB. Eso sí, soporta tarjetas micro SD de hasta 32 GB, que ya es una cantidad decente. Otra limitación son sus escasos 256 mb de RAM. En parte se compensa por los pocos requisitos de memoria de android, pero, sinceramente, me parece muy poco y, sin tener un chisme de esos para estar seguro,yo diría que lo limita bastante.

Con todo, por unos 120 € mas, lo que cueste a tarjeta micro SD que le añadamos da bastante juego. Tener todos esos pdf y djvu, mas la posibilidad de navegar por internet, es mucho. Además para android hay unas cuantas aplicaciones científicas decentillas que cubren bien las tareas comunes (integrales, derivadas, ecuaciones diferenciales, operaciones con matrices, etc). Por el precio que tiene el chisme no está nada mal.

Otro punt a favor es que tiene USB, eso significa intercambiode archivos con el PC mediante pendrives. Y poder usar multitud de dispositivos USB para diversos fines…si hay drivers, claro, que quitando cosas sencillas (teclados, ratones, pendrives) no creo yo que haya muchas compañías que desarrollen drivers para android.

En fin, que siin ser perfectos, los tablets basados en android son una buena opción, además, es un dispositivo orientado a manejo táctil, que es algo que mucha gente valora.

El siguiente cacharro que ha salido en estas fechas es el famoso IPad. Bien, lo mejor que puedo decir del Ipad es que It can blend ;). No trae USB, no es multitrea, iene muy poca memoria RAM, sólo pueden usarse aplicaciones obtenidas de la Appe store (sujetas a condiciones draconianas) salvo que se realice un hailbreak (y se pierda la garantía del aparato, no tiene soporte para flash (aunque unos desarrolladores han sacado un parche que resuelve a medias esa merma). EN definitiva, un trasto con diseño bonito que viene de serie con unas aplicaciones mas vistosas que útiles, y poco más. Si me lo diesen regalado, y con el hailbreak ya hecho, supongo que e podría sacar algún partido. Per, desde luego, un tablet basado en adnroid con un hardware (disco duro, procesador y RAM) decentes es una mucho mejor opción que el IPad.

Y ahora vamos con lo que he adquirido, el archos 9.

Por hardware no está del todo mal, 60 Gb de disco duro (reemplazable), 1 GB de RAM (no reemplazable pues viene soldado, una pena pues 1 GB extra sería muy bienvenido), un procsador ARM de 1.1 Gb (actualmente hay una 2ª versión con un procesador de 1.2 GB que, para algunos usos, es muy conveniente). Y, por supuesto, un puerto USB (pueden tenerse 2 más mediante un “Port replicator” que vende el fabricante, o mediante un hub USB, aunque no todos los dispositivos USB funcionan bien desde un hub).

Realmente el hardware podría ser mejor, y los tabletcs basados en windows que se anuncian para el futuro mejoran esos aspectos. Con el hardware del archos 9 el windows 7 con el tema aero es muy lento. Pero s se usa el tema clásico funciona razonablemente bien. Aparte es necesario poner unos setings sensatos en el comportamiento de la pantalla táctil pues ls que vienen or defecto son absurdos. Una vez hechos esos sencillos pasos, y haciendo aguna optimización más del windows para usarlo tactilmente, se tiene un sistema manejable con una comodidad decente desde la pantalla (incluso sin usar el stylus).

Y vamos con el punto fuerte del tablet, Es muy sencillo. Usa windows 7. Vale, windows no es un sistema diseñado para usar tactilmente. Vale, come mas recursos que otros sistemas operativos, pero no importa, es de lejos la mejor opción hoy día.

Uno no se da cuenta de las ventajas de tener un windows en un chisme que se puede llevar literalmente a cualquier lado hasta que lo usa. Mucha gente opta por los notebooks. Pero son muy aparatosos, un tablet es mucho mas ligero y manejable. Con todo si uno está dispuesto a cargar con un notebook un tablet no le aporta ninguna ventaja.Pero en serio, un tabet es mucho mas discreto y manejable.

Vamos con las ventajas de windows. Puedes usar los mismos programas que en el PC o portatil de casa y compartir archivos. Buen, si en casa tienes linux, pues no (en ese caso puedes instalar linux en el archos 9, y posiblemente en cualquier tablet que de serie venga con windows). A mi no me gusta Linux, pero reconzco que es un sistema operativo completo para el que hay mucho software profesional.

Eso del software profesional es la clave. En windows tienes matlab, mathemática, maple, etc. En Android o en el Ipad (mismo sistema operativo que el Iphone) no, ni lo habrá a corto o medio plazo. Es cierto que hay otras aplicaciones científicas decentes. Pero resulta que la mayoría de os libros y manuales traen código para esos entornos. Y son las aplicaciones que se usan en las universidades Es muy útil disponer de ellas.Puede parecer increíble, pero con el teclado virtual se puede escribir sin excesiva dificultad código, o simplemente usar las funciones que viene de serie cuando se va en el metro o en el autobus.

Antes de seguir hablando de programas una consideración clave. Todo el mundo sabe que instalar muchos programas ralentiza el arranque del windows. En un tablet uno pensaría que hay que ser frugal con la cantidad de programas instalados. Y es cierto. Pero los usuarios de netbooks han dado lugar a uno de los mejores inventos informáticos, los programas portables. En vez de instalarse estos programas se ejecutan desde una carpeta (que puede ir en un pendrive) y funcionar sin instalación. Al no estar instalados no ralentizan el arranque del windows. Su única pega es qu el programa tarda en arrancar, pero una vez ha arrancado funciona igual que un programa instalado. No llevo usándolos mucho tiempo, sí que no me he pelado con las previsibles pequeñas limitaciones que puedan tener, pero por ahora no me han dado mayor problema. Para windows 7 no funcionan todos los portables que se ejectuan bien en windows X, pero ese es un problema provisional hasta que se vaya imponiendo windows 7.

He mencionado software científico, al fi y al cabo este es un blog de ciencia. Pero lo mismo se aplica a cualquier tipo de software. Por ejemplo, hay compiladores de C++ o de java muy ligeros que van bien en el archos. Incuso hay versiones portables de algunas versiones de builder C++ o de visual basic 6 con las que se pueden hacer desarrollosde tamaño medio (algo útil también ara científicos, todo sea dicho). Y por supuesto también se puede usar bien una soluciones PHP + SQL + apache de esas todo en uno al estilo “easyphp” para desarrollo web (esto sí que no es particularmente útiles para un científico, pero lo digo “por si acaso”. He leído en foros que alguna gente incuso hace desarrollos en flash con e archos, pero no sé yo si se ejecutará muy ágil el IDE ese, la verdad.

Y, ya puestos, de hardware. Cualquier dispositivo hardware por USB tiene drivers para windows. Eso es muy importante. Por ejemplo, uno puede conectar un teclado controlador al archos mediante un cable MIDI a USB (o una tajeta de sonido USB ccon enrada/salida MIDI) y usarlo como secuencidor o módulo de sonido. He instalado el ACID 7 (obviamente un cubse requiere demasiada potencia) y se pueden hacer temas sencillos. simplemente puede usarse como módulo de sonido para dispara instrumentos virtuales VSTi. la tarjeta de sonido incluida es muy decente, y los drivers ASIO4all tiene una latencia muy baja (5 ms o así). Enchufando el arcos a un amplificador se tiene un módulo de sonidos de una calidad pasmosa. SI escuchas un minimonsta sonando a través del archos enchufado a un amplificador + altavoz profesional nunca te creerías que ese sonido tan impresionante surge de ese pequeño chisme. Obviamente un Ipad no sirve para eso (no hay USB), y un tablet android tampoco (no hay aplicaciones musicales profesionales para android)

El arhos viene de serie con una bateria que dura,en uso, entre 3 y 5 horas (casi siempre 3 a poco que se use el wifi).He adquirido una batería de “doble vida” que en realidad dura un poco más del doble. Como quiera que en un uso típico uno pne a hibernar el archos varias veces a lo largo del día eso se traduce en que con una batería puedes tenerlo disponible una jornada competa, y normalmente va a sobrar.

He adquirido, admás, un teclado b-move trackball. Este pequeño teclado incluye, como indica el nombre, un trackball que hace las funciones de ratón. Se conecta por USB. Realmente hay teclados bluettoth (el archos tiene bluetooth) con trackball, pero son demasiado caros y no merece mucho la pena. Además el b-move puede usarse con el sobremesa o el portatil (que, en mi caso, no tienen bluetooth). Son un gran invento esos teclados para controlar a distancia cualquier ordenador. Y si hay que escribir mucho es mejor que el teclado virtual (esta entrada la estoy escribiendo con el b-move(alumbrándome con una lámpara LED sujeta a teclado, eso es interesante cuando uno ve cine en un ordenador y no quiere molestarse en encender y apagar la luz de la habitación,que siempre se las apaña ara estar demasiado lejos de dónde uno está sentado).

El último añadido que le he puesto al archos es u modem USB 3G de vodafone en modlidad prepago. Un 3 G integrados es más cómodo, pero esta modalidad permite elegir la operadora que a no mas e apetezca. Y, además, e modem tiene espacio para una tarjeta micro SD, así que uno puede llevarse mas GB de las que van en el disco duro. Claro que si uno quiere Gb cambia el isco duro y se pone uno del tamaño que quiere. Eso no se puede hacer con el IPad ;).

En definitiva, que como ahora hay mucha discusión sobre que sistema operativo deberían usar los tablets dejo por escrito mi experiencia. Y está claro, la solución mejor,de largo es un tablet con Windows (o linux,si uno es pinginófio) para cualquier uso semiprofesional. Un sistema operativo es mucho mas que la interfaz de usuario. Y, además, ya están en el mercado monitores táctiles para sobremesas, y portátiles y netbooks con pantallas táctiles. De aquí a poco cualquer ordenador, tablet o no, tendrá una pantalla táctil y cualquier sistema operativo irá adaptando su interfaz a ese uso.

En fin, un tablet con windows es la mayor revolución informática desde el IBM PC. ya sólo es cuestión de que empiecen a salir como setas, y con potencias hardware cada vez mayores. Pero, sin ser un producto perfecto el archos 9 es a mejor opción ¿he dicho ya que cuesta alrededor de 450 o 500 €, osea, mas barato que eIPad?

Pero vamos, las marcas es lo de menos, otros fabricantes anuncian tablets con mejores especificaciones hardware que el archos para fin de año. Creo que me actualizaré ;).

Formas diferenciales (conceptos básicos), homología y cohomología

julio 5, 2010

Por motivos ajenos a este blog recientemente he tenido que escribir una pequeña introducción informal a la teoría de formas diferenciales. Aprovecho ese trabajo para extenderlo con explicaciones sobre cohomologia y homologia, que son conceptos que surgen de manera natural al tratar las formas diferenciales y su importancia. En este post hago uso libre de los conceptos topológicos que introduje en la entrada que hice sobre la conjetura de Poincaré. De hecho, esta entrada contiene material que usaré en el futuro cuando vuelva a hablar sobre la conjetura de Poincaré. En general el material de esta entrada es de uso ubicuo en física y matemáticas y posiblemente la use de referencia en el futuro en muy diversos temas.

Una forma diferencial puede ser entendida como un operador multilineal antisimétrico definido sobre un espacio vectorial. Dicho de otra forma sería un elemento del producto tensorial antisimetrizado de elementos del espacio dual a un vectorial. Para los propósitos de este post no es necesario dar los detalles algebraicos. Lo interesante es conectar esta definición algebraica con una definición operativa. Si consideramos que tenemos una familia de espacios vectoriales dependientes de unos parámetros continuos podemos tener una forma diferencial definida algebraicamente (a veces se usa el término “forma exterior” para referirse a la construcción algebraica reservándose el término “forma diferencial” para el caso general)) en cada punto. El caso mas sencillo es \mathbb {R}^n considerado como espacio afín. Es decir, que en cada punto de \mathbb {R}^n tenemos un espacio vectorial copia del espacio vectorial en el origen. De ese modo podemos tener una forma diferencial, en el sentido algebraico, en cada punto. Esto define una forma diferencial en \mathbb {R}^n .

Una 0-forma sería simplemente una función. Si la forma pertenece al espacio dual será una 1-forma. Si pertenece al producto tensorial antisimetrizado de dos espacios duales sería una 2-forma, etc.

En \mathbb {R}^n en la práctica esto redunda en una construcción bastante sencilla, como a que puede leerse en, por ejemplo, el libro de Marsden-Tromba de cálculo vectorial. Así una 1-forma es una expresión formal del estilo:

f=f_1(x_1,x_2,..., x_n)dx^1  + f_2(x_1,x_2,..., x_n)dx^2 + .....f_n(x_1,x_2,..., x_n)dx^n

dónde las f_i(x_1,x_2,..., x_n) son funciones arbitrarias de las coordenadas y las dxison una notación para indicar la base del espacio dual de la base canónica de \mathbb {R}^n

Una n- forma sería una expresión del estilo:

\omega=f_{ij...k}dx^i \wedge dx^j .... \wedge dx^k

En esta expresión se ha introducido un elemento nuevo, el producto exterior \wedge . Este producto es una notación para el producto tensorial antisimetrizado . También puede definirse de otro modo, mediante unas propiedades sencillas:
Sea { dx_i } una base de un espacio vectorial V (o de su dual), que a su vez es un espacio vectorial). Un producto exterior, o producto cuña, de dos tales generadores se define exigiendo las reglas de cómputo (relaciones) siguientes:

1.dx_i \wedge dx_j = -dx_j \wedge dx_i \ si \ i \neq j

2. dx_i \wedge dx_i=0

Nota: Como estoy trabajando en \mathbb {R}^n se tiene que la base dual y la base del espacio son isomorfas y que, además, las componentes covariantes y contravariantes de un tensor son las mismas con lo cuá soy ago laxo a la hora de manejar subíndices y superíndices. )

A partir de esa propiedad de producto exterior de las bases puede, por linealidad, obtenerse el producto exterior de dos formas arbitrarias. En \mathbb {R}^3 , dado que el dual de \mathbb {R}^n coincide con el mismo, puede identificarse una 1-forma con un campo vectorial. Y el producto exterior de dos 1-formas puede verificarse que coincide formalmente con el producto vectorial de dos vectores. Eso sí, el producto vectorial de una n-forma y una m-forma es una (n+m) forma. Por tanto el “producto vectorial” de dos 1-formas es una 2-forma, y, por tanto, un objeto diferente a los “vectores” de los que era producto. Sin embargo la identificación funciona porque una 1-forma arbitraria tiene 3 componentes y una 2-forma también (ya que los productos exteriores dx^i\wedge dx^i se anulan) y al tener la misma dimensión, 3, pueden considerarse como “vectores” de dimensión 3.

El otro elemento importante de las formas diferenciales es la derivada exterior. Esta transforma un n-forma diferencial en una (n+1)-forma diferencial. La definición formal no es especialmente complicada. No obstante a efectos prácticos nos basta con la siguiente definición intuitiva:

d\omega= \sum_{i,j...,k,l} \frac{\partial f_{ij...k}}{\partial x^l} dx^l \wedge dx^i \wedge dx^j ... \wedge dx^k

Vamos a enlazar la derivada exterior con los elementos bien conocidos del cálculo vectorial. Si f es una 0-forma (recordemos, una función ordinaria) su derivada exterior es simplemente:

df=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i

Podemos, como antes, identificar esa 1-forma con un campo vectorial. De ese modo la derivada exterior de una 0-forma coincide con el gradiente de una función.

Para el caso de una 1-forma tenemos que su derivada exterior es:

d\omega = \sum_{i,j}\frac{\partial f_i}{\partial x^j} dx^j \wedge dx^i=\sum_{i<j}\left( \frac{\partial f_i}{\partial x^j} -\frac{\partial f_j}{\partial x^i}\right) dx^i \wedge dx^j

Si interpretamos la 1-forma como un campo vectorial y la 2-forma también como campo vectorial puede verse fácilmente que la derivada exterior coincide con el rotacional. Así mismo podría verse con sencillez que la derivada exterior de una 2-forma identificada a un campo vectorial nos daría la divergencia de ese campo. Nótese que la derivada de una 2-forma es una 3-forma. La 3-formas en \mathbb {R}^3 tienen una úrica componente no nula y, por consiguiente, pueden identificarse con funciones.

Hemos tratado n-formas en \mathbb {R}^n . En una variedad arbitraria (una variedad es, informalmente hablando, la generalización a dimensiones arbitrarias de las curvas y superficies del analisis vectorial- o de la geometria diferencial clásica, si se prefiere verlo así-) tendríamos que en cada punto de la variedad va a estar definido su espacio tangente, que será un espacio vectorial. Este espacio a su vez tendrá su espacio dual. De ese modo podemos trasladar la maquinaria de las formas diferenciales en \mathbb {R}^n a formas en variedades arbitrarias. La única circunstancia que da una complejidad extra es que tenemos mapas de la variedad a \mathbb {R}^n y hay que lleva cuenta de esos mapas.

La derivada exterior permite introducir unos conceptos muy interesantes, muy útiles en topología diferencial.

i) Se dice que una forma es cerrada cuando su derivada exterior es 0. Este concepto es muy útil en física. En el caso en que se identifica una forma diferencial con un campo vectorial eso significaba que el rotacional era 0. Los campos con rotacional son campos conservativos. Eso significa que la integral de ese campo a lo largo de un camino cerrado es nula. O, equivalentemente, que la integral de dicho campo entre dos caminos distintos con el mismo origen y destino es independiente del camino. Como es bien sabido eso permite definir un potencial y el campo en cuestión es una derivada del potencial. Eso nos lleva al segundo concepto importante relacionado con la derivada exterior

ii) Se dice que una n-forma w diferencial es exacta cuando existe una (n-1)-forma diferencial f tal que w=df. Esto generaliza el concepto de potencial de un campo vectorial conservativo.

Puede verificarse usando la definición que toda forma diferencial exacta es cerrada, es decir, que d^2 w= 0 \ \forall w. Lo contrario es falso. Es decir, en general que una forma diferencial sea cerrada no significa que sea exacta. Se puede dotar a las formas diferenciales de grado n con una estructura de grupo siendo la operación de grupo la suma de formas diferenciales (definida de la forma obvia). El grupo cociente de las formas cerradas módulo las exactas se conoce como grupo de cohomología de de Rham definidas en una variedad diferencial M se denota como H^p(M,R). Enseguida comentaré algo sobre que es y que significa.

Antes un pequeña aclaración sobre como entender “módulo las exactas”. La idea es muy simple. En general el potencial escalar no está definido de manera única. Si tenemos que U(x,y,z) es un potencial para un campo vectorial \vec {V}(x,y,z) entonces U(x,y,z) + K (dónde Ka es una constante) también lo es. En electromagentismo tenemos el caso del potencial vector \vec{A}(x,y,z) de un campo magnético \vec{B}(x,y,z) que no está definido de manera única pues si a A le sumamos un campo con rotacional nulo nos dará el mismo campo magnético (recuérdese que el potencial vector cumple que su rotacional es el campo magnético. Obviamente sumar al potencial vector algo con rotacional nulo nos va a dar el mismo campo magnético). Esto se generaliza a formas diferenciales. Si f es tal que w=df se tiene que si a f le sumamos una forma cerrada g se va a seguir teniendo que w=dg. Es decir, que la forma diferencial que nos da w esta definida módulo formas cuya derivada sea nula.

En física las formas diferenciales se usan de manera muy libre con dx indicando “desplazamiento infinitesimal dx”. La teoría expuesta aquí formaliza ese concepto. Aparte de la relación entre el electroganetismo y las formas diferenciales hay muchas mas aplicaciones directas de esta teoría. Po ejemplo, en termodinámica las magnitudes termodinámicas como la energía, la entalpía o la energía libre de Gibbs son, formalmente, formas diferenciales. En relatividad general las variedades y las formas diferencialles son el lenguaje natural para expresar los conceptos. En teoría cuántica de campos y en teoría de cuerdas esta teoria de formas diferenciales, y la topologia algebraica y diferencial en general, jueganmuy diversos papeles esenciales de las mismas.

Puede que a algún físico le haya extrañado la afirmación de que en general una forma diferencial cerrada no es exacta. Después de todo la condición de existencia de un potencial para un campo es que el rotacional sea nulo, osea, que la derivada exterior sea nula, y, por tanto, que la forma sea cerrada. La clave está en que normalmente se piensa en campos definidos en \mathbb {R}^n . Ahí si se cumple que una forma diferencial cerrada es exacta. Eso está conectado con el significado delos grupos de cohomología y, en particular, con el hecho de que los grupos de cohomologia de \mathbb {R}^n sean triviales. En general en una variedad arbitraria M los grupos de cohomología serán distintos de 0. Puede demostrarse que si dos variedades son difeomorfas (es decir, existe un difeomorfismo entre ambas, lo que intuitivamente significa que una puede deformarse en otra de forma suave-entiéndase, diferenciable-) sus grupos de cohomologia de de Rham son isomorfos. El caso contrario es, en general falso. Dos variedades con los mismos grupos de cohomologia de de Rham no son difeomorfas.

El concepto de cohomologia expresado mediante formas diferenciales (la cohomologia de de Rham) es un caso particular de la definición general de cohomología. En general una cohomologia es el dual de una homología. La homologia es una de las primeras técnicas que se introdujo para intentar clasificar espacios que fueran homeomorfos (equivalentes topologicamente). La forma mas sencilla de homologia es la homología simplicial.

Un símplice es, hablando informalmente, algún tipo de conjunto geométrico sencillo cuyo significado tiene sentido en cualquier dimensión. or ejemplo, podríamos definir los 0-símplices como conjuntos de puntos. Los 1-símplices como segmentos. Hasta ahí no hay arbitrariedad. Para definir un 2-simples ya si hay varias opciones. La mas sencilla sería definir un 1-simplice como un triángulo (incluyendo su interior). Pero también podríamos definirlo como un rectángulo. Si optamos por la primera definición un 3-simples seria un prisma. Si optamos por la 2ª un 3 símplice sería un cubo. Por supuesto estas definiciones informales pueden y deben expresarse rigurosamente, pero para el propósito de esta entrada no es necesario.

El concepto de símplice nos lleva al concepto de complejo simpicial, que es, informalmente hablando, un conjunto de símplices unidos entre sí de manera adecuada.

(Imagen de un complejo simplicial)

Una vez dadas estas definiciones comentaré porque son útiles en topología. El concepto clave es que podemos hacer una correspondencia entre un complejo simplicial y un conjunto topológico. Podemos, por ejemplo, deformar (estirando sin romper) las caras de un tetraedro o un cubo para convertirlo en una esfera. Esto es lo que se conoce como una triangulación de la esfera (el nombre proviene del caso en que el símplice son las caras del tetraedro que son triángulos). En realidad un cuadrado puede verse como dos triángulos, así que está claro que no hay gran diferencia entre trabajar con símplices cúbicos o triangulares. En realidad cuando se habla de complejo simplicial se entiende tanto el símplice en sí como el conjunto topológico que se pone en correspondencia con él.

En el párrafo anterior he introducido subrepticiamente un concepto clave, el de frontera. Un símplice tiene una frontera, que a su vez es un conjunto de símplices (excepto los 0-símplices cuya frontera es nula). Un 1 simplex tiene como frontera dos puntos (dos 1-simplices). Un 2-simplice triangular tiene como frontera tres segmentos (dos símplices). Un tetraedro tiene como frontera 4 triángulos, etc.

Un conjunto simplicial es, como dije, un conjunto de símplices de la misma dimensión dispuestos de manera “adecuada”. En particular una de las condiciones de “adecuado” es que los símplices siempre estén unidos entre sí por fronteras. Esto permite definir para un conjunto simplicial arbitrario, que denotaremos por S, su frontera, que denotaremos por \partial S (Aquí el símbolo \partial significa frontera y no tiene nada que ver con su significado habitual en análisis de derivada parcial).

Nótese que, en general, la frontera de un complejo simplicial puede ser nula. Entender porque formalmente requiere dar una definición precisa del concepto de frontera de un complejo simplicial, en la que cada elemento de la frontera se le asigna un signo. Intuitivamente puede verse de una manera muy sencilla. Un complejo simplicial será cerrado cuando los símplices estén unidos entre sí de tal modo que tengan fronteras comunes de tal modo que las de unos símplices cancelan a las de otros. Un ejemplo muy intuitivo ilustra esta idea. Piensese en la esfera y su triangulación mediante un tetraedro. Cada tríangulo del tetraedro tiene vértices comunes con otro triángulo. Ese vértice común se cuenta con signo positivo para uno de los triángulos y con signo negativo para el otro de tal modo que en conjunto su contribución a la frontera es 0. Intuitivamente esto esta relacionado con el hecho de que la esfera es una superficie sin frontera.

Al igual que con las formas diferenciales formas aquí vamos a tener complejos simpiciales cerrados y exactos. Un complejo diferencial (también llamado cadena, a partir de aquí usaré este nombre) es cerrado cuando su frontera es nula. Una cadena es exacta cuando es la frontera de otra cadena.

Podemos definir formalmente la suma de cadenas (en realidad un complejo simplicial es la suma formal de símplices básicos) y se observa que con esa suma el conjunto de cadenas de dimensión n (obviamente las que están formadas por símplices de dimensión n) tiene estructura de grupo. Las cadenas exactas y las cerradas son subgrupos. Al igual que con las formas diferenciales puede verse que una forma exacta siempre es cerrada, pero que el converso es falso en general. Eso nos lleva a definir la homología simplicial como el grupo cociente entre cadenas cerradas módulo las exactas. El grupo de homologia (sobre un cuerpo K) de dimensión n de un complejo simpicial S se denota por H_n(S, k) .

Un aspecto muy importante a tener en cuenta en las aplicaciones es que en general para un espacio topológico podemos tener una cantidad arbitraria de triangulaciones. Lo importante es que los grupos de homología no dependen de la triangulación que elijamos.

Al igual que con la cohomología se tiene que dos espacios homemorfo tienen grupos de homología iguales, pero que, en general, puede haber espacios no homeomorfos con los mismos grupos de homología.

La cohomologia es el dual de la homología. Es decir, se trata de buscar una regla que asigne a cada cadena un número y que sea compatible con la estructura simplicial. En particular puede demostrarse que la cohomologia de de Rham es equivalente a la cohomologia singular en el cuerpo \mathbb {R} . La cohomologia singular es la cohomología “canónica” que se corresponde a la homología singular. La homología singular depende en algunos tecnicismos de la simplicial, pero las ideas intuitivas de una y otra son las mismas.

La clave de la relación entre formas diferenciales y cohomologia es el concepto de integral de una forma en una variedad. Este generaliza al concepto de integral de línea y de superficie de un vector. Además si uno define el concepto e integral para variedades cn frontera se obtiene el teorema de Stokes en variedaes, que generaliza los teoremas clásicos de Stokes, de Green y de Gauss del análisis vectorial. Para dar definiciones adecuadas de estas integrales tendría que dar muchas nociones de teoría de variedades y eso requeriría escribir al menos tanto como lo que ya he escrito y por consiguiente, lo dejaré para otra ocasión. No obstante puede entenderse intuitivamente la idea. A un símplice le corresponde un trozo de una variedad. Uno puede integrar una forma diferencial en ese trozo para obtener un número. Eso respeta las estructuras homológicas necesarias y puede verse que define una cocadena. El grupo de cocadenas os da el grupo de cohomologia, y este es equivalente al grupo de cohomologia de de Rham.

La clave de la homologia y la cohomologia desde el punto de vista matemático es que los grupos homologicos y cohomlógicos son relativamente sencillos de calcular (en particular mas sencillos que los grupos de homotopía). En física es mas normal trabajar con cohomologia y formas diferenciales pues las cantidades físicas mas habituales son muchas veces, en el fondo, formas diferenciales.