Hacia una mecánica cuántica 3.0

Hace poco había tenido una idea de como reformular la fenomenología en física de partículas hacia un nuevo escenario. La idea era sencilla, tomarse en serio el problema de la energía del vacío y progresar a partir de ahí. A partir de lo que conocemos el único modo medio natural de tener una constante cosmológica pequeña es que la supersimetría este casi sin romper. Se cumple la relación: \rho_\Lambda \sim M_{SUSY}^4 dónde \rho_\Lambda es la energía del vacío correspondiente a una constante cosmológica \lambda y Msusy, obiviamente, es la masa a la que se rompe la supersimetría. La idea es tomarse esto en serio y pensar que los compañeros supersimétricos tienen la masa necesaria para hacer que la constante cosmológica tenga el valor observado (o cualquier valor arbitrariamente pequeño que elijamos si no nos creemos las observaciones que señalan que vivimos en un universo en expansión acelerada discernible). Eso va en contra del uso que se le suele dar a la supersimetría, que es fijar la jerarquía de masas en el modelo standard (mediante el hecho de que estabiliza la mas del bosón de Higgs y la protege de correcciones cuánticas que harían que esta masa evolucionara hacia la masa de Planck).

Afortunadamente hay otro método de estabilizar la mas del bosón de Higgs y obtener jerarquía: los modelos tipo Randall-Sundrum con dimensiones extra de un cierto tamaño (mesoscópico). Eso nos daría algo mas de libertad para fijar la ruptura de supersimetría dónde queramos. Pero sigue habiendo problemas. El primero sería explicar como no han sido observadas esas partículas si su masa es muy pequeña. En principio eso no debería ser muy difícil de resolver. Basta con que estén en un sector oscuro y sean WIMPs. Otro problema sería ver porque la supersimetría no fija el valor del bosón de Higgs a ese valor de masa tan pequeño. Eso ya es un asunto mas delicado que no me he planteado a fondo (tal vez el higgs que da masa a la spartículas actuales fuese un KK del higgs ligero). Otro tercer problema es que debemos contar con partículas candidatas a ser materia oscura. La LSP (partícula supersimétrica mas ligera) es un buen candidato. Pero no el único. También la partícula de kaluza-klein mas ligera podría ser materia oscura. Y en el escenario R-S justo eso tendríamos, partículas KK de masa semejante a las partículas supersimétricas. Si acaso habría que vigilar que las partículas supersimétricas tan ligeras no fuesen materia oscura caliente ya que eso iría en contra de la formación de estructuras en el universo.. Quizás eso podría resolverse poniendo un grupo gauge SU(3) para el sector oscuro y un proceso de barionización oscuro. Eso nos daría núcleos de átomos oscuros que no serían tan ligeros como las partículas individuales y podrían saltarse los límites para materia caliente.

En fin, en eso estaba yo, cuando han llegado las fechas de mis exámenes de matemáticas y tuve que dejar de lado esas especulaciones. Y hete aquí que ayer en arxiv salió este artículo: Anisotropic Modulus Stabilisation: Strings at LHC Scales with Micron-sized Extra Dimensions que está analizado en el blog de Lubos: Type IIB large extra dimensions. Pues bien, en ese artículo los autores proponen un modelo en esas líneas. Eso sí, mucho mas sofisticado de lo que yo estaba intentando hacer. Yo intentaba dar un modelo básico de supersimetría + randall-Sumdrum. Ellos (M. Cicoli, C.P. Burgess y F. Quevedo)van mas allá y directamente proponen un modelo cuerdístico en toda regla.

En fin, yo sobre mi idea me había limitado a dejar caer en el facebook (si, tengo una cuenta ahí, sic) que tal vez los compañeros supersimétricos no eran lo que todo el mundo pensaba, y que no estaría mal si la presunta observacion de un “higgs-like but no Higgs” en el LHC rumoreada fuese cierta me vendría bien. Eso y comentarle a mi novia, que ahora está estudiando 4º de física teórica, mi idea general (aunque no sé yo si se habrá enterado demasiado). Total, que aunque muy probablemente no hubiese llevado muy lejos la idea es una lástima que se me hayan “adelantado” sin dejar por aquí mayor constancia. Y como hay alguna cosilla más que tengo en mente hacer no quiero que se repita. Por eso voy a hablar de una idea para reformular la mecánica cuántica.

Lo primero de todo es explicar porque digo “mecánica cuántica 3.0” y no 2.0. Realmente hubo una primera mecánica cuántica, previa a la ecuación de Schröedinger y la mecánica matricial de Heisenberg. Esa fue la mecánica cuántica de Bohr, con las condiciones de cuantización para orbitales y cosas así. Realmente ambas teorías no son equivalentes ni formalmente ni en resultados físicos así que tal vez habría que llamar a la cuántica de Schröedinger y Heiseenberg (y sucesores, eso incluye la teoría cuántica de campos) la 1.0. En ese caso yo buscaría la 2.0

Debo aclarar desde ya que no soy alguien especialmente traumatizado con la cuántica, ni estoy obsesionado con sus fundamentos y sus interpretaciones. No tengo particular interés en volver a una teoría determinista y “realista”. Tampoco me obsesiona el rigor matemático y aunque respeto los esfuerzos en ese terreno tampoco me preocupan demasiado. Mis objeciones vienen de otras consideraciones. De un lado el formalismo de la cuántica está muy inspirado en la teoría de espacios de Hilbert, o, mas bien, en la teoría de Sturn Liouville para resolver ecuaciones en derivadas parciales (los espacios de Hilbert vinieron después, con Von-Neumann). Eso hace que la cuántica este impregnada de un linealismo (pues se trabajaba con ecuaciones en derivadas parciales lineales) que no me encaja del todo con el hecho de que las ecuaciones clásicas relevantes sean no lineales. Por supuesto los motivos de la linealidad son otros, y supuestamente debe ser un principio sagrado de la mecánica cuántica, pero aún así si en algún momento pudiera ver como relajar ese principio de una manera coherente sería mas feliz.

Otro motivo para retocar la cuántica es que desde la cuántica no relativista ha habido muchas evoluciones. Primero la cuántica relativista, su ulterior evolución a la teoría cuántica de campos en espacios planos. Mas tarde la cuantización en espacios curvos y, por último, la teoría de cuerdas, que es un mundo aparte. Cada una de estas evoluciones tiene sus peculiaridades y el paso de los postulados de la cuántica relativista a los casos mas complicados es un poco un proceso de parchear el formalismo, y fijarse en otros factores. Sería interesante ver si puede construirse algo que pueda afrontar todos los casos desde una perspectiva unificada.

Otro tema, de interés tangencial, es el tratamiento asimétrico del tiempo en la cuántica. No existe algo así como un “operador tiempo”. Sobre eso estuve en el pasado haciendo consideraciones, que normalmente terminan en un dolor de cabeza, pero con todo algo saqué en claro.

Bien, voy a dejar un pequeño esquema muy provisional de como, tal vez, podría empezar a reformularse la cuántica.

Mi punto de partida es seleccionar el aspecto fundamental que caracteriza la cuántica. Creo que el mas importante es que la cuántica es probabilista. Ahí incluso me planteo la posibilidad de dar un salto conceptual, mas allá del mero formalismo. El punto de vista actual es que la evolución de la función de onda es determinista y que el aspecto probabilista surge al considerar los entes clásicos llamados observadores. Yo no voy a hacer ningún supuesto a priori respecto a esto. Voy a partir de una idea de un mundo real, cuántico/probabilista, y a raíz de ahí buscar interpretaciones de la mecánica clásica.

Mi idea seria plantearme que lo que tenemos un mundo con una serie de estados posibles y unas probabilidades de pasar de unos estados a otros. Esos estados no tendrían porque ser (mientras no se demuestre que sea obligatorio) elementos de un espacio de Hilbert. Mas bien serían un espacio de probablidad abstracto. Las “funciones de onda” serían algún tipo de matriz estocástica (al estilo de las cadenas de Markov, o, mas bien, procesos de Markov en tiempo continuo) que nos darían las probabilidades de transición de un elemento del espacio a otro.

Voy a intentar ver como encaja eso con la idea de una función de onda cuyo cuadrado es la probabilidad de hallar una partícula en una posición determinada. El punto clave es darse cuenta de que esa interpretación, en última instancia, descansa en que tenemos un conjunto de funciones, las autofunciones del operador posición. La idea es que la probablidad de encontrar la partícula en una posición x es la proyección de la función de onda (o para hablar mas propiamente, usando el formalismo de Dirac, del estado de la partícula sobre la autofunción del operador \hat{x} con valor x. En un formalismo puramente probabilista los autoestados de x serían simplemente unos estados elegidos convenientemente porque tienen una significación clásica intuitiva. Lo que nos interesaría sería la “matriz de transición” entre unos estados y otros. Ciertamente, hay un número infinito de tales estados y no hablaríamos de una “matriz de transición” sino de densidades de probabilidad, propias de la probabilidad para variables de probabilidad continuas.

Otro tema importante seria ver que pasa con la relación entre esos estados y la geometría y topologia del espacio tiempo. En principio el formalismo no debería ser muy sensible a estos aspectos. Por ejemplo, si queremos mecánica no relativista tenemos básicamente que respetar el principio de relatividad de galileo. Es decir, que las leyes físicas son iguales para observadores inerciales. Eso es un concepto puramente clásico. De forma abstracta podríamos pensar que estamos seleccionando un conjunto de estados dentro de nuestro espacio de probabilidad y exigir que las amplitudes de probabilidad de nuestra “cadena de Markov” debe estar oportunamente cocientada respecto a esos estados. Si eligiésemos relatividad especial simplemente cocientaríamos sobre otro grupo de estados.

Por supuesto la física entra en la elección de esos estados. Y entra en forma de simetrías. Eso significa que estamos introduciendo conceptos métricos y topológicos. Lo importante sería que, en principio, el formalismo cuántico sería común para la cuántica relativista y no relativista. No habría que pasar de espacios de Hilbert a espacios de Fock. Debería, por supuesto, tratarse con cuidado el tema del vacío.

Y también debería buscarse exactamente como se obtiene una ecuación dinámica que genere esas cadenas de Markov que representan la función de onda.

Obviamente todo esto son ideas muy, muy preliminares. Pero como tengo visto que la gente no se dedica a buscar ideas en blogs ajenos no me preocupa mucho dejar por aquí estos preliminares an poco concretos. Estoy convencido de que nadie va a abandonar su línea de trabajo para ponerse a desarrollar estas ideas tan vagas. Y, si luego alguien que ya estaba trabajando en ideas similares saca algo serio, y funciona, yo podre decir “hey, ¿veis como iba por buen camino?” ;).

Y eso es todo por ahora. Dada mi poca formalidad para mantener una periodicidad a la hora de poner posts no sé yo cuanto pasara hasta la próxima publicación ¡que estas últimas dos han estado muy seguidas!.

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