Introducción a la LQG canónica II

Continúo la anterior entrada y concluyo esta introducción a la “vieja” LQG. Insisto, a estas alturas la LQG tiene poco prestigio y hay buenos motivos para no tomársela muy en serio, pero. cóm dije antes, desde un punto de vista académico, con vistas a otros asuntos, tal vez puedan ser útiles algunas técnicas matemáticas de la LQG.

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Habíamos visto por encima el formalismo ADM. Vamos a mantener la misma foliación del espacio-tiempo que para evitar confusiones de notación aquí denoto por Et=MxR.

Voy a poner algunas expresiones explicitas de las fórmulas propias de ese formalismo porque en la LQG aparecerán de distinta manera. Si alguien se marea con las fórmulas tranquilidad, que intentaré discutir el significado intuitivo de las mismas para que se pueda seguir la argumentación sin depender (demasiado) de ellas:

V_a = -2 q_{ac} D_b P^{bc}

Aquí D es una diferencial covariante compatible con qab, la métrica en el slice (corte) M. Y los P´s son los momentos canónicos definidos por:

P^{ab}=\frac{\kappa\delta S}{\delta q_{ab}}=\sqrt{\det(q)}  [q^{ac} q^{bd}-q^{ab} q^{cd}] K_{cd}

Esta es la ligadura de difeomorfismos espaciales. Representa la invariancia de teoría bajo cambios de coordenadas.

C=\frac{1}{\sqrt{\det(q)}}  [q_{ac} q_{bd}-\frac{1}{2} q_{ab} q_{cd}] P^{ab} P^{cd}-  \sqrt{\det(q)} R

En términos de estas dos ligaduras el hamiltoniano queda:

H=\int d^3x [\lambda P+\lambda^a P_a+U^a V_a+N C]

Aquí los varios P´s que aparecen son los momentos conjugados a qab, N y Ua. Las λ son multiplicadores de Legendre que sirven para implementar las ligaduras (es algo similar a los multiplicadores de legendre que aparecen en problemas de minimización de funciones sometidas a una condición). Se puede ver que las Ua y N juegan también un papel cómo ligaduras. De hecho debo decir que esta fórmula esta tomada de uno de los reviews clásicos de la LQG, el de Thieman, y en este punto resulta algo confuso, la relación con formas mas habituales de este hamiltoninao puede verse del siguiente modo: lo que ocurre es que esas P’s están relacionadas con las ligaduras C y V, de hecho son ellas mismas cambiadas de signo, con lo cual se eliminan del analisis efectuado sobre la base de las ligaduras de primera clase, y al final solo te queda el Hamiltoniano dependiendo de C y V, siendo la función lapso y el vector desplazamiento multiplicadores de Lagrange, y así se obtiene el Hamiltoniano empleado.

A modo de resumen rescato lo más importante de lo introducido en este formalismo. Tenemos las variables que juegan el papel de “coordenadas”, las qab y sus momentos conjugados Pab. Cómo no se pueden “despejar” unos en función de otros en el formalismo hamiltoniano aparecen dos ligaduras. Una, V, que representa la invariancia bajo difeomorfismos y otra, C, que representa la dinámica del sistema y por eso se conce cómo ligadura hamiltoniana. Esta ligadura es la que, cómo dije en la entrega anterior, se conoce cómo ecuación de Wheeler-de Witt, bueno, para ser mas exactos la “versión cuántica” de esta ligadura, ya explicaré al final este matiz.

Dejo una imagen que pueda aclarar un poco esto de las foliaciones, que es importante visualizarlo para entender la parte clásica de estas teorías:

Cómo avancé la LQG era una especie de “cambio de variables” para el formalismo hamiltoniano. Para entrar en LQG necesitamos introducir el formalismo del vielbein:

Este formalismo (también conocido cómo el de la tétrada) fue introducido por Elie Cartán. Entre otras cosas permite introducir fermiones en la relatividad general, algo muy útil, pero aquí no haré hincapié en ese aspecto.

La tétrada eui, o vielbein, es (así le gusta decir a la gente) una especie de raíz cuadrada la métrica (en realidad es un sistema de referencia orto-normal, bueno algo así), las ecs. que cumple son:

g^{\nu\mu}=e_\nu^ie_\mu^j\eta^{ij}

\eta_{ij}=e_\nu^ie_\mu^jg^{\nu\mu}
η= métrica de Lorentz.

Esta construcción vale también para la métrica tridimensional q definida en los cortes M de la foliación del espacio-tiempo en MxR.

Asociada al vielbein de esta la conexión de spin:

\Gamma_{\nu}^{i_j} que cumple

\partial_a e_b^j-\Gamma^c_{ab} e_c^j+\epsilon_{jkl} \Gamma_a^k e_b^l=0
Dónde \Gamma_{ab}^c son los símbolos de Christoffel asociados a la métrica qab

Aprovecho para indicar que en el formalismo de la tétrada hay un aspecto interesante, la posibilidad de considerar la conexión, y no la métrica cómo el campo básico que describe la gravitación, formalmente esto quiere decir que aplicamos el principio de mínima acción a este campo y no a la métrica. Es este detalle el que permite que en LQG haya la posibilidad de tener gij=0, es decir, que no haya espacio, mientras que en el formalismo normal la ausencia de gravedad indica que tenemos η cómo vacío.

Pero sigamos, vamos a introducir una nueva cantidad A. Esta cantidad va a jugar un papel similar a un campo gauge SU(2), pero con matizaciones que ya iremos viendo. Uno se puede preguntar, con toda la razón del mundo, ¿que pinta aquí un grupo SU(2)? Voy a intentar aclararlo un poco.

Es importante de que no detallé mucho a cómo se introducía la conexión, bien, esa conexión se puede asociar con un grupo, el grupo de la fibre bundle. El caso es que aquí pasamos a trabajar en un slice tipo ADM.
Por tanto tenemos una 3-variedad, y con esa 3 variedad construimos un fibrado. ¿Que grupo tiene ese fibrado?, pués el grupo de invarianzas locales. Puesto que estamos en un slice riemaniano ese grupo es el SO(3), es decir, localmente el espacio es euclideo y tiene invarianza bajo rotaciones euclideas. SO(3) tiene de grupo recubirdor SU(2), así que ya hemos llegado a puerto. Si no trabajáramos con el slice tendríamos una 4-variedad y el grupo sería SO(3,1) (Correspondencia al la invarianza lorentz local).

Para quien no sepa nada de fibrados intentaré explicarlo de otro modo. A muchos os sonará el siguiente “experimento mental” de Einstein. Una persona en caída libre dentro de un campo gravitatorio no experimenta ninguna fuerza. Sin embargo si esa misma persona se ve parada en su caída por algún tipo de superficie notará que el campo gravitatorio le empuja contra la superficie. Es decir en ese punto tenemos dos posibilidades, estar en caída libre y no sentir ningún campo gravitatorio y estar sometido a una fuerza gravitatoria. En términos matemáticos eso significa que localmente siempre podemos encontrar un sistema de referencia, el de caída libre, en el que el campo gravitatorio no existe. Pero un sistema sin campo gravitatorio se describe por la relatividad espacial, que tiene el grupo SO(3,1) como invariante). Ahora bien, esto puede hacerse sólo localmente. Para dos puntos cercanos el sistema “libre” de uno no lo será para otro. Lo que se puede, sin embargo, es asociar a cada punto del espacio tiempo un sistema de referencia en caída libre (sistema de referencia inercial). Bien, eso es una fibración. Y en este caso cómo cada punto de la fibra (cada sistema de referencia inercial) tiene un grupo de invarianza tenemos un fibrado principal en el que el grupo actua sobre cada fibra. Sí, vale, imagino que este intento de explicación “fácil” no es muy comprensible, pero es que los fibrados no son la cosa más sencilla del mundo.

Bien, tras esta explicación pongo la expresión de A.

A_a^j=\Gamma_a^j+\beta K_{ab} e^b_j,\;\;E^a_j=\sqrt{\det(q)} e^a_j/\beta

Aquí Kij es la curvatura extrínseca, β es un parámetro libre de la teoría conocido cómo parámetro de barbero-Inmirizzi y ya iremos viendo que juega un papel importantísimo en la teoría. Puede tomar cualquier valor complejo distinto de 0. En la formulación inicial de Astekhar este parámetro tomaba el valor i (raíz de -1). Con este valor la forma de la ligadura hamiltoniana (que ya veremos) tomaba una forma muy sencilla. Para este valor el SU(2) asociado es un SU(2) complejo y por tanto no compacto. Sin embargo si se toman valores reales el SU(2) es real y por tanto compacto. Esto facilita muchas cosas, pero no en particular la forma de la ligadura hamiltoniana que en general tendrá una forma complicada, pero ya digo que iremos viendo cosas varias de este parámetro a lo largo del tema.

Ya tenemos unas nueva variables, cómo aduje que era nuestra intención buscar, Las A´s (“campo gauge”) y las E´s (tétrada densitizada, i.e. dividida por la raíz de la métrica). Se puede expresar el lagrangiano de la RG en estas variables y se pueden calcular los momentos canónicos asociados. Cómo era de esperar aparecen ligaduras. Y supongo que no es de extrañar que las ligaduras en lsa nuevas variables guarden similitud en su significado a las ligaduras en las otras variables, así pués las denotamos igual y tenemos:

V_a = F_{ab}^j E^b_j

Aquí F es el análogo al tensor que en los campos gauge juega el papel de tensor campo electromagnético y tiene la expresión:

F=2(dA+[A,A])

La “ligadura hamiltoninana” tiene la forma:
C = \frac{F_{ab}^j \epsilon_{jkl} E^a_j E^b_l}{\sqrt{|\det(E)|}}\;\;+\;\;  \mbox{ Mas }

Dónde “Más” indica términos adicionales de similar factura.

En este formalismo sin embargo aparece una nueva ligadura. Cómo he dicho La A juega el papel de un campo gauge y se sabe que los campos gauge tiene una ligadura, la ley de Gauss:

G_j:=\partial_a E^a_j+\epsilon_{jkl} A_a^k E^b_l

Lo interesante es que ahora todas las ligaduras son polinómicas en los campos, en contraste con le caso ADM en que no lo son. Por tanto son más sencillas de resolver. Más sencillas, evidentemente, no quiere decir sencillas, de hecho son dificilísimas de resolver, pero al menos se puede hacer algo con ellas. Todo el programa de la LQG canónica consiste, en realidad, en “pelearse” con estos malos bichos. Ya iremos viendo cómo se hace, pero voy a dar algunos matices más necesarios para entender por dónde iremos.

Lo primero es señalar que puede que no os hayáis dado cuenta pero hasta ahora todo lo que se ha hecho en este post es RG clásica. Todos los campos son clásicos. Las ecuaciones de ligadura pueden tratarse y resolverse de manera puramente clásica mediante, por ejemplo, el programas de Dirac, que consiste en cambiar los corchetes de Poisson por “corchetes de Dirac” que seleccionan los estados físicos y tal y cuál. Pero en LQG se va a intentar hacer relatividad cuántica. Así pués, siguiendo los pasos habituales, se van a sustituir las “posiciones” y los “momentos” por operadores cuánticos. Aquí las “posiciones” eran las qab y los “momentos” Las E´s. Pués bien, siguiendo el procedimiento habitual en QFT se convierten estos campos clásicos en operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert. Ahora bien, las constraints se expresan en términos de estos campos ¿cómo se van a expresar en la versión cuántica? Pues del mismo modo que se hace con las teorías gauge normales. Se impone que los estados físicos sean anulados por las ligaduras, es decir:

L|φ>=0

Donde estoy denotando por L una ligadura arbitraria y |φ> representa el estado cuántico. Bien, ahora ya he explicado con más detalle matemático el programa de la LQG y he introducido su parte clásica. No voy a analizar en este post, ya lo dije antes, cómo se resuelven las ligaduras, pero al menos si voy a explicar de dónde viene el nombre de loop quantum gravity.

En las teorías gauge ordinarias, basadas en un campo gauge A, se construyen los “wilson loops” correspondientes. ¿Que es un Wilson loop? la definición matemática es esta:

dónde C es un contorno (curva cerrada) y P es el “path-ordering” que no definiré pués no me voy a meter a fondo con los wilson loops. En teorías gauge ordinarias los wilson loops permiten reconstruir, a nivel clásico, la conexion gauge. A nivel cuántico son operadores que crean excitaciones del campo gauge localizadas en el lopp (el contorno C).

Eso en teorías gauge “ordinarias” ¿que papel juegan en LQG?. Bien, más o menos la idea es que también se convierten en operadores. Recordemos que los operadores en mecánica cuántica tienen autoestados. Pués bien, los autoestados asociados a los Wilson loops generan estados cuánticos que satisfacen dos de las ligaduras anteriores, la ley de gauge y la V de los difeomorfismos. Aparte de eso tienen otros significados intuitivos relacionados con áreas y demás. Pero ya anticipé que no son la mejor base posible para la LQG y han sido abandonados en favor de unos nuevos tipos de estados construidos a partir de grafos (con ciertas relaciones de equivalencia metidas por ahí en medio), las spin networks que también resuelven las dos ecuaciones de ligadura y que nos dan el espacio de hilbert “kinemático”. Pero eso para una próxima entrega.

Por cierto ¿habéis visto alguna pega hasta aquí? No, ¿verdad? Pués veréis, resulta que se aduce que este cambio de variables es de algún modo local (imagino que se refieren a que hay que hacerlo carta por carta -hablando en términos de variedades diferenciables-). El caso es que, anticipo ya, uno de los resultados de la LQG es que el operador área actuando sobre los estados de las redes de spin tienen un espectro discreto, es decir, que el área esta discretizada en LQG. Pué bien, se critica que esa discretizacion se debe exclusivamente a ese carácter local del cambio de variables. Yo particularmente es algo que no veo nada claro (no he visto el desarrollo pormenorizado de esa crítica). Pero la verdad es que es algo absolutamente crucial para todo el programa de la LQG, tanto el canónico cómo el resto. En la LQG canónica porque varios de sus éxitos dependen de ello. Muy asociada a la LQG están la teorías de double special relativity que imponiendo la la relatividad especial de Einstein la existencia de una longitud mínima (algo razonable si existe un área mínima) implican que la velocidad de la luz en el vacío depende de su frecuencia (algo que podría ser constatado experimentalmente dentro de no mucho si es cierto). Las DSR tiene sus propios problemillas, pero sin ese resultado de cuantizacion del área pierden su más fuerte motivación. Pero es más grave aún, algunos puntos de partida para teorías tipo LQG (triangulaciones dinámicas, cálculo cuántico de Regge) parten de un espacio-tiempo discretizado. Aunque hay motivos heurísticos para considerar plausible esa discretización la verdad es que ese resultado de que el operador área tiene espectro discreto es un resultado mucho más potente que da mucho más crédito a todos esos programas. Si ese resultado esta mal, es decir, es un producto de la elección de variables y no refleja ninguna verdad “profunda” la LQG pierde bastante de su sentido.

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