Archive for 18 octubre 2013

Teoría cuántica de campos II: el formalismo lagrangiano.

octubre 18, 2013

Hace ya bastante tiempo puse una entrada dónde empezaba a explicar la teoría cuántica de campos, teoría cuántica de campos I. Hoy, aprovechando coyunturas varias, escribo una continuación que versará sobre como extender los métodos lagrangianos a teorías de campos. Tal vez al lector que no sepa, o no tenga reciente, el tema de los lagrangianos, le puede venir bien repasar la materia en esta otra entrada, Dinámica Lagrangiana. Aclaro, para evitar posibles confesiones, que en esta entrada me limito a la parte clásica y no a la formulación de integrales de camino de la mecánica cuántica y la QFT.

Empiezo por explicar cómo obtenemos un lagrangiano en mecánica clásica no relativista para objetos continuos, cómo puede ser una cuerda. Aproximamos la cuerda por un conjunto de partículas en la posición xi unidas entre sí por un muelle, con lo cuál la energía potencial entre ellos sería un potencial de oscilador armónico sobre la diferencia de distancias.

Spring

1. L1

Si asumimos que la separación entre dos posiciones consecutivas es \epsilon y hacemos \epsilon \rightarrow 0 nos queda el lagrangiano:

2. L2

dónde hemos tomado los límites:

limites

y dónde \Phi(x,t) es el desplazamiento de la partícula en x en el instante t. Si usamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para el lagrangiano de partículas , primera parte de la ecuación 2, y tomamos los límites correspondientes llegamos a la ecuación de ondas para la cuerda:

3. EcOndas

Aparte de partiendo de la primera parte de la ecuación 2 y tomando límites podemos llegar a la ecuación de otro modo. Podemos partir de la segunda parte, el lagrangiano en el campo \Phi(x,t) , hacer una variación de ese campo y encontrar el valor del capo que minimiza esa variación. Enseguida vamos con los detalles porque éste punto de vista es el que nos interesa para el caso general. Ahí partiremos de un lagrangiano, en general relativista, que dependerá no sólo de un campo sino también, opcionalmente, de sus derivadas.

4. L=(\Phi(x),\partial_{\nu}\Phi(x)

dónde

5. \partial_{\nu}=(\partial_t,\partial_x)

En general el lagrangiano de campos será la integral espacial de una densidad lagrangiana y la acción la integral en el tiempo de esa densidad:

6. DensidadLagrangiana

La variación de la lagrangiana viene dada por la expresión:

7. variacion1

Si integramos por partes y revertimos la acción de la derivada llegamos a:

8. Variacion2

Cómo, de manera análoga al caso de la partícula puntual, el último término (llamado de frontera) se anula en los extremos de la integración llegamos a las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos.

9. EulerLagrange

El caso mas simple, y que enlaza con la anterior entrada, es el lagrangiano de Klein-Gordon.

10. \mathcal{L} = - \frac{1}{2} \partial^{\mu} \varphi \partial_{\mu} \varphi - \frac{1}{2} m^2 \varphi^2

Anuncios