Introducción a la supersimetría II: El modelo de Wess-Zumino

Continúo con el tema de los posts de supersimetría traídos del otro blog. En realidad este se ve correctamente allí porque ya había añadido matajax, que por ahora sigue funcionando, a mi plantilla de blogspot, pero por completitud, y en previsión de que termine fallando el plugin, lo dejo por aquí también.

Continuo el tema introduciendo una realización de dicha supersimetría en términos de un lagrangiano sencillo, lo que se conoce como el modelo de Wess-Zumino. Quien no tenga muy recientes sus conocimientos de teoría cuántica de campos, y en particular los tipos posibles de spinores, puede leer sobre ello en esta entrada.

Este va a constar de dos campos, un campo escalar complejo \phi formado por dos campos reales A y B, \phi=(A+iB/\sqrt{2}) y un campo spinorial de Majorana \psi . Ambos campos van a carecer de masa. El motivo para ello es que en la naturaleza no se ha observado la supersimetría, lo cuál indica que caso de existir, la supersimetría debe estar rota. Se supone que las partículas supersimétricas de las partículas conocidas habrán adquirido masa a través de un proceso de ruptura de esta supersimetría. Con estos ingredientes el término cinético de nuestro lagrangiano será.

1.L= \partial^{\mu} \phi^*\partial_{\mu}\phi ~ + ~ 1/2i\bar\Psi\displaystyle{\not} \partial \Psi

Ese lagrangiano es invariante bajo una transformación SUSY global:

2. \delta A=\bar\epsilon\psi \delta B=i\bar \epsilon\gamma_5 \psi

\delta \psi=-i\gamma^\mu[\partial_\mu (A + i \gamma_5B)]\epsilon

Donde \epsilon es el generador infinitesimal (asumo que el lector esta familiarizado con como surgen los generadores infinitesimales de simetrías en mecánica cuántica y su relación con las simetrías globales a través de la exponenciación) de la supersimetría, un spinor infinitesimal de Majorana.

Puede verse que, como se espera de una supersimetría, esta transformación nos cambia campos bosónicos en campos fermiónicos. Para ser supersimétrica el lagrangiano debe ser invariante bajo esta transformación. Se puede verificar que bajo ese cambio la variación del lagrangiano es:

3. \delta L=\partial_\mu[1/2\bar\epsilon\gamma^\nu(\displaystyle{\not}\partial(A + i\gamma_5 B))\psi]

Este delta L es una derivada total y por tanto no contribuye a la variación total de la acción y , como anunciaba, hace que 1 sea un lagrangiano supersimétrico. En general los lagrangianos supersimétricos no pueden ser invariantes bajo supersimetría, salvo que sean constantes, y siempre debe entenderse la invarianza en el sentido de que su variación es una derivada total.

Este lagrangiano es adecuado para partículas libres. Si añadimos interacciones se encuentra que le conmutador de dos transformaciones no es cerrado fuera de la capa de masas, y por tanto no es adecuado. Para paliar eso deben añadirse dos campos bosónicos extra, normalmente designados F y G, cuyo lagrangiano es:

4. L= 1/2F^2 + 1/2 G^2

La solución de la ecuación de Euler Lagrange asociada al lagrangiano 4 es F=G=0 y por tanto estos campos no tiene estados en la capa de masas, intervienen en la teoría sólo como partículas virtuales intermedias.

Se ha descrito hasta ahora como sería el lagrangiano para partículas sin masa. Nada impide construir el lagrangiano para partículas con masa. El término de masa tendría la forma:

5. L _m= m(FA + GB -1/2\bar\psi \psi)

La forma mas general de un término de interacción -renormalizable sería.

6. L_i= g/\sqrt{2}[FA^2 - FB^2 + 2GAB - \bar\psi(A - i\gamma_5B)\psi]

Este sería el modelo elemental de Wess-Zumino. Si uno pretende hacer teorías de campos supersimétricas realistas debería trabajar con fermiones quirales zurdos. No es especialmente complicado hacerlo, y repitiendo los pasos uno llegaría a una expresión de los lagrangianos anteriores en términos de esos fermiones quirales. El aspecto más interesante de ese desarrollo es que uno termina con un lagrangiano que puede expresarse de la forma:

7.L = L_K - |\partial W/\partial \phi|^2 ~ - ~ 1/2(\partial^2 W/\partial \phi^2\psi^T_L C \psi_L + herm.conj)

Aquí L_k sería el término cinético para los campos correspondientes y W sería lo que se conoce como el superpotencial. Este juega un papel importante en muchas discusiones sobre supersimetría y será tratado con mas detalle en ulteriores entradas. Por ahora decir que para el modelo sencillo que estamos considerando aquí su expresión más general sería:

8.W= 1/2m\phi^2 ~ + ~ 1/3 g\phi^3

En esta entrada se ha presentado el que posiblemente sea el tratamiento mas sencillo posible de la supersimetría. Actualmente es muy común usar el formalismo de supercampos. Este se basa en la noción de superespacio. El superespacio es el resultado de añadir a las componentes geométricas normales unas componentes “fermiónicas” representadas como variables de Grassman. Un supercampo dependería de ambos tipos de variables. Dadas las peculiares propiedades de las variables de grassman es muy sencillo ver que un desarrollo en serie en términos de las mismas es finito y que, por tanto, se puede dar una expresión general para un supercampo. Cuando se hace eso para campos que solamente tengan spin 1/2 y y 0 se puede ver que el modelo de supercampos obtenido es equivalente a el modelo de Wess-Zumino presentado aquí. Si además se impone que los campos fermiónicos sean quirales se obtiene la versión quiral del modelo de Wess-Zumino. El supercampo que cumple esas características es conocido cómo “supercampo quiral”. Por supuesto se pueden hacer construcciones supersimétricas para campos gauge y, de ese modo, teorías gauge supersimétricas y análogos supersimétricos del modelo standard. La extensión supersimétrica mas sencilla de el modelo standard se conoce como MSSSM (minimal supersymetric stadard modell).

Aquí hemos tratado la supersimetría global. Cuando esta se hace local aparece de manera natural la gravitación y tendríamos teorías de supergravedad. Dado que la supersimétria no esta realizada en el modelo standard se asume que si el universo presenta supersimetría debe hacerlo en una versión con supersimetría rota. La ruptura de supersimetría es un tópico complejo, y juega un papel fundamental en la mayoría de modelos fenomenológicos que se postulan para extender el modelo standard de partículas. Indirectamente eso significa que también juegan un papel en las teorías de cuerdas, en sus diversas variantes. Por ejemplo la teoría F, la mas desarrollada a nivel fenomenológico utiliza una variante del mecanismo de supersimetría conocido como modelo de guidicce-massiero.

Se irán tratando esos tópicos en posteriores entradas.

Finalizo diciendo que estos posts siguen principalmente el libro de texto de P.D. B. Collins, A.D. Martin y E.J Squires “Particle physics and cosmology”. A eso he añadido información adicional de los libros de M. Dine “Supersymmetry and superstrings” y el volumen III de el libro de teoría cuántica de campos de Steven Weinberg.

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