RIEMANN: UNA VISION NUEVA DE LA GEOMETRIA

De vez en cuando me gusta leer biografías de científicos famosos (preferentemente físicos y matemáticos).Este verano he leído de la de Riemann, escrita por Jose Luís Muñoz.

El libro mantiene un muy buen equilibrio entre los aspectos biográficos (especialmente los pertinentes a la parte académica, lógicamente), y los de la matemática.

Empieza por los primeros trabajos en variable compleja (ecuaciones de Cauchy-Rieman para determinar si una función es analítica, superficies de Riemann para funciones complejas multivaluadas, y su utilidad), y en teoría de la integral (integral de Riemann, claro xD) haciendo hincapié no tanto en la definición en sí (se supone que el lector debería tener cuanto menos una base de bachillerato y conocerla) cómo en las implicaciones de esta par aformalizar y poner en base firme muchos resultados anteriores, y posreriores (hasta la llegada de la integral de Lebesgue, y la teoría genera de la medida e integral, que serían necesarias mas adelante, pero eso no quita que la definición de Riman siga siendo muy válida en muchos casos).

Luego pasa a la parte que da al libro su subtítulo. Ahí habla de cómo para obtener una plaza de profesor debe hacer una lectura para conseguir una plaza de profesor permanente. Según la tradición propone 3 temas el último de los cuales era la geometría. Entre el jurado está Gauss, del cuál Riemann había sido alumno. Cómo quiera que Gauss había publicado muy recientemente su trabajo en geometría. Este versaba principalmente geometría intrínseca de superficies, de gran importancia, culminado por su “teorema egregio” que vincula la integral de su curvatura intrínseca -no depende del “embeding” de la superficie en \mathbb{R} ^3 con una propiedad topológica de la superficie, el género, que había aparecido en el trabajo de Riemann en superficies de Riemann compactas. El caso es que bien sea por mala uva (algo siempre posible en Gauss) o porque tenía curiosidad de ver que aportaba alguien tan brillante cómo Riemann al tema decidió que el trabajo versara sobre la tercera opción (cuando siempre se había mantenido la tradición de que versase sobre la primera).

El caso es que, con gran estrés, Riemann preparó una lectura magistral dónde generalizó los resultados de gauss a un número arbitrario de dimensiones. Para ello introdujo el concepto de variedad. Eso sí, cómo el trabajo debía leerse ante un público amplio que, aparte de matemáticos, incluía físicos, biólogos, geólogos, etc, no entraba en muchos detalles. Sea por eso, o por que el autor del libro así lo decidió, la verdad es que apenas comenta ningún punto técnico al respecto.

No obstante, pese a esa falta de detalles técnicos, si hay dos punto muy curiosos. Por un lado menciona a Kingdon Clifford, muy conocido por las álgebras que llevan su nombre, pero mucho menos (yo desde luego lo ignoraba) por su teoría de la gravitación basada en la geometría. Cierto es que ya Gauss había comentado que determinar en que geometría vivimos debería ser algo empírico, y basado en medidas locales (de ahí su geometría intrínseca, inspirada por su trabajo cómo cartógrafo). Pero Clifford va mas allá y afirma que es la materia la que curva el espacio. Esto lo publica en 1870, 45 años antes de que Einstein desarrollase la relatividad general. Por supuesto su teoría es mas una idea filosófica que algo bien desarrollado física y matemáticamente. Y aún estaba lejos el concepto de espacio-tiempo, en el que el tiempo y el espacio es algo que depende del espectador (manteniéndose invariante la velocidad de la luz, o la métrica de minkowsky).

También habla de dos discípulos Italianos (en el final de su vida Riemann fué a dar clase a Italia, por motivos de salud) de Riemmann, Cristoffel y Levi-Civitta. Estos continuarían su trabajo en geometría y construirían el cálculo tensorial que luego usaría Einstein en su relatividad general. Lo curioso es que ese trabajo ya estaba hecho en 1901. Con eso nos quedamos con que el 1870 ya se había sugerido que la materia curvaba el espacio. Muy poco tiempo después, 1907, de publicar su relatividad especial Herman Minkowsky pondría esa teoría en un formalismo geométrico, creando el concepto de espacio tiempo con una métrica constante. En conclusión, Einstein ya tenía en 1907 todos los ingredientes para cocinar su relatividad general. De hecho en la presentación actual el paso de un espacio-tiempo plano a uno curvo es algo tan “autoevidente” que resulta hasta extraño creer que le llevase tanto tiempo dar el salto. Admitamos que Einstein no conociera esa matemática. Pero el cálculo tensorial tampoco es tan complicado de entender (al menos sí lo explica alguien que sepa). Se puede tardar, en la forma en que se presentaba en esa época, unos 4 meses, cómo mucho. Realmente con clases privadas de un experto (cómo fué le caso de Einstein) yo creo que se podría reducir el tiempo a un mes o menos (realmente no sé l oque tardó, a lo mejor visto desde la perspectiva actual parece mas sencillo de lo que era en la época).

Entonces sí todo parecía tan predeterminado ,y estaban todos los ingredientes, y Einstein era tan listo, una vez más ¿Por qué tardó tanto? Bueno, supongo que por un lado porque las cosas parecen mas sencillas después. Y, por otro, porque estaba listo todo el aparato matemático de la geometría. Lo que no estaba nada, nada claro, sospecho, es cómo relacionar la materia con esa geometría. Además, Einstein trabajaba con observadores. Desde un punto de vista geométrico las cosas se ven de una forma, y desde los observadores de otra. Supongo que uno podría plantearse que pasa con observadores con aceleración lineal constante primero, y luego con una aceleración centrípeta constante (he leído varias biografías de Einstien, y me parece recordar que en parte si hizo eso). De hecho es pensando en observadores cómo sale el famoso experimento mental del ascensor, y de ahí la idea de la geometría cómo campo gravitatorio (en realidad hay mas factores históricos, pero eso es otro asunto). Pero, insisto, yo creo que la parte que fué mas difícil es la de la inclusión de la materia. Realmente uno puede saltarse toda esa búsqueda de Einstien y tener una forma de trabajo “operativa”. Aprende a calcular el tensor de Einstein y luego sabe que al otro lado está el tensor energía-momento. Se puede quedar con que para un fluido (algo importante en cosmología) tiene la forma que tiene (sí le apetece se lee los detalles de porque eso está relacionado con la teoría de fluidos standard). Y, luego para cuando se empieza de un lagrangiano, uno se queda con que del lagrangiano se saca el tensor energía momento mediante variaciones. Es algo realmente latoso el cálculo de ese tensor, no confundir con el tensor de energía-momento de nóether, con aquello de calcular las variaciones respecto a la métrica, y hay que usar varias formulilas para poner eso en forma tratable y etc, etc (yo hice hace poco el cálculo del tensor energía-momento de una cuerda bosónica, para ver si era capaz de reproducir los resultados de libro, y me costó lo suyo aunque la final lo saqué). Per ovamos, eso, que si a uno le plantan el lagrangiano del sector geométrico ya sabe que de ahí salen, mediante variaciones, el tensor de Einstein. Y si le plantan el lagrangiano de la la materia pues entonces puede “aplicar la receta”. Realmente son tareas precisas, y metódicas, y pueden hacerse con un ordenador. Para mathemática hay mcushos scripts de cálculo tensorial. máxima lo trae incorporado. no sé si hay scripts que calculen el tensor energía-momento a partir de un lagrangiano pero no se me ocurre motivos para que no pueda haberlos.
En definitiva, que puede ser engañosamente fácil la inclusión de la materia, pero sospecho, puede haber ahí mucha sutileza oculta.

Pero dejemos la relativdad y sigamos con Riemann. Tras eso el libro se pone a hablar de su trabajo en funciones elípticas. Ahí el libro entra en muchos detalles. Hace una introducción al tema desde el principio, definiendo las integrales elípiticas, y otras similares mas sencillas. Luego hace un repaso de los trabajos previos de los Benouilli, euler, Legendre, Abel y Jacobbi (y cómo Gauss ya tenía estos últimos trabajos antes que esos dos, pero sin publicar). Y luego, claro, explica el trabajo de Riemann. Realmente no puede usarse cómo libro de texto sobre funciones elípticas (una introducción a las ideas mas habituales y de mas uso viene en libros de física matemática, cómo , por ejemplo. El Mathews Walker). Es curioso eso de las funciones elípticas. Aunque he leído sobre ellas, por completitud, la verdad es que no me las pusieron nunca en un plan de estudios ni en física ni en matemáticas (y eso que en matemáticas cogí, mala elección a la postre ya que de las partes que me interesaban del temario no se dió nada, variable compleja II). La verdead es que no tengo claro sí siguen siendo importantes en alguna rama de las matemáticas hoy día o si son algo así como una “abandonamath”. Sé que existen las funciones automórficas y modulares, y me parece que, de algún modo, tiene algo que ver con las funciones elípticas. Pero el caso es que asistí en la complutense a un curso (abierto a todo el público) de funciones automorfas y modulares y si hay alguna relación no se mencionó.

La última parte del libro, cómo podría esperarse, trata de la famosa hipótesis de Riemann, Ahí se trata las propiedades de la función z de Rieman y de las partes pertinentes de la teoría de números (dsitribución de los números primos basicamente)

Hay algún aspecto más en el libro que no he mencionado (funciones hipergeométricas, por ejemplo). Y poco he dicho de los aspectos biográficos. Quien quiera los detalles que lea el libro, que merece mucho la pena ;).

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