Archive for 21 agosto 2015

Escribiendo latex con estilo, y con stylus

agosto 21, 2015

Edición: Cómo quiera que no me convence del todo lo de crear las ecuaciones en la página web que menciono en el texto he creado una pequeña aplicación que permite usar el programa myscript smart note sobre el que versa esta entrada de una manera más sencilla para crear ecuaciones y usar su código látex en blogs, como éste o los de blogspot que usen algún extra para poder usar latex.

El programa funciona de la siguiente manera. Uno hace una ecuación en myscript smart note, la selecciona y elige exportar como archivo latex. Eso genera un fichero de texto, que se puede guardar con según que programas. Sí se instala el que he hecho, y que he llamado AMyScrptClipBoard éste aparece en la lista de exportación y muestra la ruta del archivo, el contenido completo del mismo y, en un cuadro de texto editable, el código latex de la ecuación. Además, inmediatamente, ha copiado al portapapeles el código latex. Tiene tres botones que permiten añadir las etiquetas de apertura y cierre de ecuación típicas de wordpress y blogspot con el plugin habitual. El tercer botón elimina las etiquetas y deja sólo el código latex. Cualquiera de los botones, además, manda lo que muestra en el cuadro de texto al portapapeles.

Aviso que, en el momento de escribir ésto, el programa es muy cutre en su interfaz, y es mejorable de muchos modos. Aún así es útil y dejo por aquí el enlace, por si alguien lo quiere probar. AMyScrpClipboard

Y, ya por el vicio de usarlo, algunas ecuaciones hechas mediante el procedimiento descrito.
\left( a+b\right) ^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab

\sigma _1=\left(  \begin{array}{cc}   0 & 1 \\   1 & 0  \end{array}  \right)

Cómo mencioné en la primera entrada sobre masas negativas había encontrado, mediante la opción de compartir de android, una forma relativamente sencillla de poner ecuaciones en las entradas desde el note. Basicamente la idea es que con el S-pen puedo recortar una imagen y compartirla con worpress, usando la apliación para android (añadiéndola a la librería multimedia directamente, sin usar entremedias scrpapbook cómo hice entonces).

Eso está bien, pero tiene sus limitaciones. Por un lado blogspot no tiene en su aplicación para android la posibilidad de añadir imágenes a una librería multimedia así que no me sirve en el otro blog. Y, claro, hay un tamaño de almacenamiento limitado y sí me pongo a escribir imágenes lo llenaría demasiado deprisa. También está el hecho de que sí se trata de ecuaciones que no tengo escritas en un libro y las escribo a mano en el tablet no quedan muy presentables. Y, además, estoy desperdiciando la capacidad nativa de wordpress de renderizar latex (y la no nativa, pero también existente de blogspot).

El programa S-note de los dispositivos note tiene un sistema de reconocimiento de ecuaciones, pero, excepto en la versión inicial, primero escribes toda la ecuación y luego, tras seleccionarla, la convierte en imagen, y no siempre acierta y debes reescribirla y probar de nuevo, lo cuál no es una buena estrategia. Y, además, no te exporta la ecuación a latex sino que te la manda al dichoso wolphram alpha, que no me gusta nada. Hay editores de ecuaciones para android, alguno de los cuales te permite exportar a latex, y no están mal, pero, leñe, ya que tienes el S-pen lo suyo es que se pueda usar, que es mas rápido e inmediato. Había buscado en su momento, pero no dí con nada, Ahora he vuelto a buscar y dí con un programa que casi, casi hace lo que le pido, myscript smartnote.

El editor de ecuaciones, en cuanto trabajas con él un poco para que se habitúe a tu escritura, y le pilles el truco a algunos caraceteres rebeldes, funciona muy bien y muy rápido. Con eso tienes una imagen que puedes exportar a la librería multimedia, lo cuál está muy bien. También te exporta a texto plano una representación de la ecuación, usando los símbolos de las fuentes habituales, bastante aproximada, y así puedes hacer un paste desde el portapapeles. Y, por último, tiene una opción de exportar a un archivo latex (extensión de texto con extensión .tex) el código latexde la ecuación, junto con un código de apertura del documento. De hecho puedes exportar todo el documento a latex, lo cuál es genial si quieres hacer un archivo para publicar en arxiv. Y también te genera el pdf. Todo ello es excelente, y muy útil, pero, por desgracia, no me permite exportar al portapapeles el código latex de una ecuación concreta, y sólo ese código.

Tras pillar la versión completa del programa (cuesta alrededor de 2 euros en una compra integrada) me puse en contacto con el servicio de soporte para pedir que incluyeran esa característica. Me respondieron rápido, y de manera muy amable, informando que consideraríanpara el futuro la posibilidad, pero no de forma inmediata, y ¡horror!, que mientras tanto usara una aplicación para IOS, que si tiene esa característica. El problema, por supuesto, es que los dispositivos IOS (Ipad y Iphone) son una castaña en general (salvo para audio) y, desde luego los stylus disponibles para el Ipad son todos una birria comparados con el S-pen. Les volví a escribir y me dieron otra opción temporal, hasta que añandan la característica al programa, una demo online del editor de ecuaciones que sí tiene la opción de ver el latex (o mathml), en un cuadro de texto que hay abajo, y copiarlo al portapapeles.

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La demo es mas lenta que el programa nativo, y posiblemente deba lidiar con muchas letras manuscritas a la vez y no se hace con la tuya. No obstante funciona de forma razonable y le puede ser útil a cualquiera que tenga algún stylus wacom o ntrig (cómo en las surface).

Por cierto, en windows la versión de onenote para escritorio permite añadirle un plugin, microsoft math, que sí tiene esa opción, y muchas más. Incluso sin el plugin tienes un editor de ecuaciones muy majo, que permite reconocimiento de escritura a mano de ecuaciones. Desafortunadamente la versión para android de onenote no tiene esa opción.

Aprovecho para reseñar que ha salido la versión 5 del note phablet, pero es una basura infecta que no trae microSD, ni batería extraible. Algunos dicen que tampoco tiene MHL para poder conectarlo por HDMI a la televisión , e incluso que no tiene USB OTG para conectarlo a un pendrive, o cualquier otro dispositivo bluetooth. No sé si esto último es cierto, pero ya sólo por no llevar microSD me resulta inutil (un serivico de almacenamiento en la nube, no importa el tamaño, nunca me serviría de sustituto) así que descarto totalmente la compra de esa porquería, que es casi tan mala como un Iphone (su única ventaja es que tiene un stylus y android, y mas potencia hardware). Y de un sucesor del note 10-1 no se sabe nada (y si va a seguir los pasos de su primo phablet mejor no saberlo).

Eso me lleva a señalar que el windows 10, tanto para sobremesa como para tablet (includo el modo tablet en un sobremesa) funciona muy bien. Y, aparte de las carísimas surface hay tablets chinas que incluyen un stylus wacom (mejor que el ntrig de la última surface) a un precio muy assequible, cómo la Icube stylus. A día de hoy las aplicaciones para tablet de android son muy superiores a las que hay para windows (lo sé porque, aparte del note 10.1, tengo un tablet dual boot windows y android chino de 8 pulgadas muy barato -unos 100 euros- el chuwi vi8, que, desafortunadamente no tiene stylus) y sólo las de escritorio están por encima, aunque no son demasiado cómodas de usar en un tablet. En fin, Android ha mejorado mucho, y hay ya excelentes aplicaciones, en constante mejora, pero si google y sus secuaces (cómo Samsung ultimamente) siguen recortando opciones hardware para forzar que la gente se pase a la nube yo, y muchos, dejaremos de usar productos de Goolge (y Samsung), pero, por ahora, con el hardware android que tengo en éste momento, las soluciones para latex, y escribir ecuaciones matemáticas usando un stylus, son las que comento en el artículo. Sí alguien conce algo mejor se agradecería que lo expusiera en los comentarios.

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Early quantum electrodynamic (book review)

agosto 11, 2015

El verano es una buena época para leer libros “recreativos”, y uno sobre la historia de la física claramente entra en esa categoría, aunque con un plus  de interés. En su momento me había leído el  libro de historia de la mecánica cuántica, parte I, de Jose Manuel Sanchez Ron, y me resultó muy interesante e instructivo. Desde entonces he estado esperando que saliera la segunda parte, pero la verdad es que se está retrasando mucho. También problé a leer otros libros sobre el tema, que siguieran desde el momento en que lo deja Sanchez Ron (ka publicación de la ecuación de Schroedinger y de la mecánica matricial de Heissenberg), pero no me terminaron de convencer (demasiado texto y demasiadas pocas fórmulas), Afortnadamente el libro del que trato en esta entrada sí trae todas las fórmulas oportunas ;).

Arthur I Miller  Early Quantum Electrodynamics: A Sourcebook

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E libro se divide en dos partes. La primera, de unas 100 páginas, es la descripción histórica de los desarrollos en electrodinámica cuántica hechos entre 1927 y 1938, es decir, los primeros desarrollos de la misma. La electrodinámica cuántica es la interacción de partículas cargadas, principalmente el electrón, con la luz, es decir, con los fotones. En la forma actual se enseña cómo la ecuación de Dirac que representa a el electrón, acoplada a un campo electromagnético mediante un término de interacción cúbico. También se puede escribir, y es mas convencional verlo así, en términos de la derivada covariante asociada al campo gauge electromagnético.

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siendo la derivada covariante

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El caso es que, siendo la teoría cuántica de campos mas sencilla realizada en la naturaleza dista mucho de ser una teoría simple. En los cursos introductorios de teoría cuántica de campos se utiliza una teoría “de juguete”  para aprender el formalismo, el campo escalar interactuando consigo mismo con un término cuadrático. La QED tiene muchas mas dificultades, por un lado la ecuación de Dirac es espinorial, por otro el eletromagnetiso es una teoría con invarianza gauge que tiene dos problemas de renormalización, la ultravioleta, asociada a altas energías, y la infraroja, asociada al hecho de que los fotones pueden emitirse con una energía arbitrariamente baja.

Bien. esa versión de la QED que se estudia ahora debe mucho a Tomonaga, Schwinger y, sobre todo, a Feynman. Pero el libro trata de la primera generación de físicos que se ocuparon del tema, que incluye a un montón de nombres ilustres, Heisenberg, DIrac, Pauli, Fermi, Weiskopf, y, en general, la creme de la creme de esa época dorada. Lo curioso es que lo que ellos hicieron se parece muy poco a lo que se ve ahora.Para empezar casi no usaban los lagrangianos y todo se hacía con Hamiltonianos. En realidad hoy, en los curos de introducción, se siguen enseñando métodos hamiltonianos para ver la cuantización canónica, en la que se impone la tranformación de los corchetes de POisson clásicos de la teoría de campos correspondientes en operadores, lo cual lleva a l aintroducción de los operadores de creación-aniquilación. Pero, claro, en esa época acababan de crear una teoría para una partícula, el paso a una teoríacon varias partículas fué, el primer paso, y de eso va el segundo capítulo del libro (el primero es sobre todo introductorio). Esa parte la hicieron Jordan, en 1926, DIrac, y Pauli.

Lo siguiente es la ecuación de Dirac, y su interpretación en términos de huecos, y la descripción del campo electromagnético, y ese es el tercer capítulo del libro. Ya aviso que lo que ahí viene no es lo que se hace hoy día en QED. Se ocupan más de cosas como la masa del electrón, y el problema que supone un “mar de DIrac”, es decir, un conjunto infinito de electrones, con energía negativa. El problema viene cuando se considera el hecho de que ese número infinito de electrones dbería generar un campo eléctrico infinito, y hay que ver cómo se lidia con eso.

El cuarto capítulo abunda en esos problemas, y se va viendo como restar cantidades infinitas (preludio de lo que luego sería la teoría de renormalización), la a ecuación de Klein-gordon (el electron bosónico, cómo lo llamban), la conexión spin estadística, tema que se ve de forma distinta a la actual, debida a Schwinger, basada en causalidad. Pauli, responsable de esa primera versión, observó una analogíia entre las relaciones de los operadores de creación y aniquilación y las matrices de Dirac, y elaborando de aquí y allá llego a convencerse, correctamente, de que en relatividad especial el espín determina la estaadística.

El quinto, y último tema, trata las fuerza nuclear. A priori puede parecer un poco fuera de sitio en un libro sobre QED, pero en realidad es vital. Es importante, y sorprendente, darse cuenta de que cosas quedamos por sentadas no fueron nada obvias. Hasta 1932 se creía que el nucleo constaba de protones y electrones. Fue descubrimiento de un nucleo, el N^{14} que experimentalmente se ve que tiene spin entero, pero debería tenerlo semientero (14 protones y 7 electrones). Eso justificó la introducción del neutrón. Mas conocida es la introducción porparte de Pauli del neutrino para explicar que en el decaimiento beta el electrón pudier atener cualquier momento (y así salvar la conservación del momento). Aparte de eso lo mas relevante para la QED, y para las teorías de campos en general, es que de ahí surgieron las ideas de partículas intermediadoras de las fuerzas. EN realidad la primera idea surge del ión del helio, en el que se puede ver queel electrón compartido entre los dos protones, puede considerarse como un mediador.Pero eso no es muy convincente. Heisenber consideró, antes de la teoría del neutron, un mecanismo en que el intercambio de un electrón jugaba un papel en la teoría nuclear. Como es bien sabido no fué hasta que Yukawa presentó su teoría del pión que eso se consolidó, pero eso no ocurrió hasta 1935, y aún pasó un tiempo hasta que el aporte de Yukawa paso a ser reconocido. Eso signifca que la visión actual de las fuerzas mediadas por partículas bosónicas vino mas tarde, sobre todo con Feynman, y sus diagramas, y que todo el trabajo de esa primera época no tiene ninguna relación con ese punto de vista.

La segunda parte del libro, hasta llegar a unas 250 páginas, consta de algunos artículos selectos de la época, algunos de ellos traducidos del Alemán, y, aunque se les menciona en la otra parte, pueden leerse de forma independiente.

En definitiva, un libro muy interesante en su contendio y bastante bien esccrito, muy recomendble en definitiva.

Cómo el libro se queda en 1938, y eso deja fuera muchos aportes, tengo intención de leer otro libro sobre historia de la teoría de campos, clásica y cuántica, que cubre la relatividad general y la teoría cuántica de campos, incluyendo los campos gauge. Aunque uno conozca la presentación actual de esos temas es muy interesante saber el desarrollo histórico. La relativdad general es algo de lo que hay bastante material, pero de teoría cuántica de campos no tanto, y es bueno hacer publicidad del material existente.

Sobre la masa negativa

agosto 6, 2015

Como buen aficionado a la ciencia ficción me gustaría que ya existiesen cosas como los agujeros de gusano, los motores de distorsión (warp drives) y, en general, el tipo de cosas que las ecuaciones de la relatividad general nos muestran que seríab posibles si existiera la “materia exótica”, entendiendo como tal aquella que viola alguna de las condiciones de energía positiva.

El caso es que los medios habituales para conseguir esa materia exótica requieren crear dispositivos como las placas paralelas del famoso ejemplo de Casimir. La idea es simple, uno junta mucho dos placas metálicas y en la zona entre ambas se produce una cancelación de modos cuánticos que hace que en medio de las placas haya una muy leve violación de esas condiciones de energía positiva, es decir, que haya “energía negativa”.  Hay muchos problemas en llevar esa idea a una realización experimental y, en todo caso, la energía negativa es tan pequeña que no sirve para gran cosa.

Eso me llevó a plantearme una cuestión. En una zona del espacio normal, dónde se verifican las condiciones de energía positiva, se crean partículas de masa positiva ¿Sería factible que en las zonas de energía negativa se crearan partículas de masa negativa?. Caso de ser así sería muy útil. Uno podría tener sus placas de Casimir creando partículas de masa negativa, que podríamos extraer y almacenar, Esas partículas estarían disponibles como materia exótica una vez retiradas las placas, Claramente, cómo la cantidad de energía negativa es muy pequeña, sólo se podrían crear partículas de masa muy pequeña. De las partículas conocidas los únicos candidatos posibles serían los neutrinos, que no pueden ser almacenados, pero bueno, si damos con otra forma de crear zonas de mayor energía negativa tal vez pudieramos crear cosas como electrones “exóticos”.

Busqué si había algo en internet al respecto de la masa negativa y sólo encontre, en ese momento, una referencia a un trabajo de Robert L. Forward, físico y famoso escritor de ciencia ficción hard. Ahi explicaban que había que tener en cuenta la masa inercial por un ladoy la gravitacional por otro, y venía un análisis detallado de la masa gravitacional usando física newtoniana. Me pareció un análisis muy insuficiente así que me puse, en  ratos libres, a intentar hacer un análisis usando teoría cuántica de campos y relatividad general, y con algunas consideraciones de teoría de cuerdas, que es lo suyo en estos tiempos.

El punto de partida sería la ecuación de Klein-Gordon

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Ahí se puede observar que la masa aparece en un único término, y aparece elevado al cuadrado así que curiosamente, no se distingue una masa positiva de una negativa. Uno podría pensar que esto implica que la ecuación de KG es totalmente insensible al signo de la masa, pero uno debería ser cuidadoso y examinar con cuidado mas detalles de la misma. Bien, una de las cosas que son importantes en la ecuación de KG es que debe definir una densidad de probabiliad y una corriente conservada. Sí alguien ha estudiado mecánica cuántica ordinaria habrá visto que la densidad de probabilidad es el cuadrado de la función de onda \Phi^*\Phi . En una teoría cuántica de campos eso no es automáticamente así. La densidad de probabilidad va a ser la componente 0 de una cuadricorriente de Noether asociada a simetrías externas. Para el caso del campo escalar la densidad toma la forma (ver, por ejemplo, el libro de Hatfield “Quantum field theory of point particles and strings”:

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Uno ve inmediatamente que en esa densidad de probabilidad la masa aparece dividiendo, y sin elevar al cuadrado. Eso significa que la densidad de probabilidad de una partícula de masa negativa será la opuesta de la de una de masa positiva. A poco que uno esté familiarizado con la teoría cuántica de campos ya sabrá la historia de la ecuación de Klein-Gordón: aparecen estados de probabilidad negativa, pero estos pueden ser interpretados como antipartículas que pueden interpretarse como antipartículas que viajan hacia atrás en el tiempo. Sí nos vamos a el campo escalar complejo puede probarse que éste campo tiene una simetría interna U(1), que, vía teorema de Noether, se convierte en una corriente cuya integral en una superficie cerrada da una carga que uno podría asociar (aunque no necesariamente) con la carga eléctrica. Se puede ver que las antipartículas tienen masa negativa. Pues bien, según éste análisis uno podría extraer la conclusión de que cambiar el signo de una masa -en este contexto masa inercial- es equivalente a intercambiar partículas por antipartículas, lo cuál choca con la hipótesis, no demostrada, de que partículas y antipartículas tienen la misma masa. Todo ésto es para la ecuación de KG libre, luego ya analiamos que pasa con las interacciones entre partículas, y con eso de que las antipartículas puedan tener masa negativa.

Antes de ir con otra ecuación vamos a otro aspecto importante, el de el campo gravitatorio creado por las partículas. En las ecuaciones de Einstein la parte que describe la materia es el tensor energía momento. Ese tensor aparece en los libros de teoría clásica y cuántica de campos, para la relatividad especial. Viene a ser poner en una cantidad tensorial las cantidades conservadas que se enseñan en los cursos de mecánica lagrangiana. Recordemos, asociada a una simetría del lagrangiano bajo traslaciones espaciales hay una cantidad conservada, que es el momento lineal. Asociada a una simetría bajo rotaciones se asocia la conservación del momento angular, y asociada a una invarianza bajo traslaciones temporales se asocia la conservación de la energía. Combinando eso en un tensor se obtiene el susodicho tensor energía-momento.

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Esa expresión es válida en relatividad especial. En relatividad general hay que sustituirla por otra, que viene a ser la variación de el lagrangiano respecto a la métrica (los detalles vienen discutidos en, por ejemplo, el libro de relatividad general de Wald, en el apéndice sobre formulación Lagrangiana de la relatividad general”. La expresión concreta es:

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Donde Sm es la acción de la materia. Para el lagrangiano de KG, en un espacio curvo (que es el normal, pero sustituyendo las derivadas normales por derivadas covariantes) el resultado de evaluar esa expresión nos da:

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Se puede observar que, una vez mas, la masa aparece al cuadrado y, por tanto, según eso, una masa negativa debería producir exactamente el mismo campo gravitatorio que una masa positiva, lo cuál es realmente chocante. En los libros dónde se obtiene esa expresión no he visto ninguna mención de ese hecho, aunque me consta que la gente de relatividad general ha analizado la masa negativa. Hablaré mas de ese aspecto posteriormente. De momento una observación basada en un cálculo (trivial) propio. Sí uno coge un tensor energía momento clásico el caso mas sencillo es el de un fluido perfecto (es decir, de viscosidad nula). Ese tipo de tensor se usa en los modelos cosmológicos mas sencillos, cómo el de FRW (Friedman-Robertson-Walker), o el de la ecuación de Tolman-Openheimer para modelizar una estrella (soluciones interiores de la ecuación de Schwarschild). Su expresión es:

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En esa ecuación rho es la densidad, u la cuadrivelocidad del fluido y P la presión. La masa total es la integral de la densidad. Obviamente ahí una masa negativa significa una densidad negativa. Sí se va a usar en una ecuación cómo la de Schwarschild rho debe tener simetría radial y, por tanto, las integrales serán sólo en la coordenada radial. Un caso entretenido es el de una capa esférica de densidad negativa (y, para simplificar, presión nula). Sí uno resuelve la ecuación correspondiente se obtiene de forma muy sencilla que sí esa capa externa de densidad negativa tiene la misma masa que la masa interna positiva se obtiene en el exterir la métrica de Minkowsky en esféricas, es decir, se ha apantallado la masa interior (esto es entendible también desde el análogo para relatividad general del teorema de Gauss en electroestática, el teorema de Ostrogowsky creo que se llama). Éso podría permitir cosas muy entretenidas desde el punto de vista de la ciencia ficción. Se podría, por ejemplo, ocultar gravitatoriamente cosas cómo un planeta (o una nave cómo la estrella de la muerte). Sí eso se combina con una ocultación visual nos lleva a la posibilidad de que una raza alien pudiera colocar un planeta, o una luna, al lado de la tierra y no se lo podría detectar ;-).

Bien, volvamos a un terreno mas serio. Al principio había mencionado que la materia exótica era la que violaba alguna condición de energía positiva, pero no había explicado en que consiste eso. La razón es que explicar ese concepto requiere el tensor de energía momento y aún no lo había definido. La idea es que la mayoría de tensores energía-momento son de la forma 1 de la clasificación de Hawking-Ellis.

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Se ve que es muy parecido al tensor de un fluido ideal, con una densidad y una presión. La idea es que ese tensor, contraido con cuadrivectores, debe dar un resultado positivo. Cómo en relatividad hay cuadrivectores positivos, negativos y nulos no es tan sencillo cómo el caso de formas bilineales definidas positivas y hay varias definiciones posibles para la energía positiva. Visser en su libro de referencia sobre agujeros de gusano enumera 7 tipos diferentes. En el siguiente apartado hace un análisis de las posibles violaciones. Lo primero que nos enseña es que el campo escalar de Klein-Gordon no viola ninguna de esas condiciones. Lo hace para masa positiva, pero, cómo ya hemos visto, también es válido para masa negativa.

El siguiente ejemplo que analiza es el de Casimir, que tanto he mencionado. El truco es que las placas paralelas conductoras modifican el vacío de la electrodinámica cuántica.

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El tensor correspondiente es

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Ahí z es la coordenada perpendicular a las placas, separadas por una distancia a. Se puede ver facilmente que ese tensor viola varias de las condiciones (un buen signo de ello es que la densidad es negativa). Es interesante señalar que la materia de las placas es ordinaria y que es un efecto cuántico, debido a la modificación de la energía del vacío en QED, debido a las placas, la que genera la energía positiva. Es decir, no se necesita materia exótica para tener energía negativa. Lo interesante sería que se pudiera crear una zona de energía negativa para crear materia exótica. Visser analiza algún ejemplo más cómo por ejemplo el entorno de un agujero negro (vacío de Hartle-Hawking) y ve que allí hay una violación considerable de las condiciones de energía positiva. También algunos campos de los que se usan en modelos de quintaesencia para explicar la expansión acelerada del universo hay violaciones de la condición de energía débil. Realmente uno podría considerar que esos campos son energía exótica, pero no tienen masa negativa, y no cubren el analisis que yo pretendía. Ya hemos visto que con un campo de Klein-Gordon no se puede lograr eso.

La siguiente opción, en orden de complejidad, dentro de las ecuaciones relativisatas es la de Dirac.

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Aqui la masa no esta elevada al cuadrado así que esta ecuación distingue masa positiva de negativa ¡Menos mal! Pero no cantemos victoria todavía, que también nos va a dar unas cuantas sorpresas.

En fin, veo que, cómo es habitual, en cuanto intento explicar algo que considero medianamente interesante las entradas se vuelven muy largas así que lo dejo aquí de momento. Quedan muchas cosas que comentar, cómo por ejemplo las ligeras relaciones entre ésto y la correspondencia AdS/CFT de Maldacena, las ecuaciones para spin mayor que 1/2, el caso del bosón de Higgs, etc, etc.

Quien me conozca seguramente estará aterrado ante semjante afirmación porque sabe de mi tendencia a no publicar las entradas sucesivas de un tema cuando decido dividirlo en varias partes. Para intentar tranquilizarle voy a comentar un aspecto técnico sobre wordpress y el galaxy note. Escribir matemáticas en el note, con el S-pen, es fantástico, y las característicar para hacer copy/paste de fórmulas de libros para tenerlas a mano también funciona bastante bien. En contraposición escribir fórmulas con latex en wordpress es muy tedioso (aunque bienvenida sea la posibilidad). He buscado bastante tiempo una herramienta que tranforme una fórmula escrita a mano al latex correspondiente y lo copie al portapapeles, para así poderlo pegar en el wordpress, pero no he dado con ella. Tampoco veía un modo sencillo de que las imágenes copiadas al portapapeles del note pudieran ser incluidas en wordpress, hasta que he descubierto que mediante un programilla del note (scrappbook) y la opción de exportación a la aplicación de worpress para android puedo subir las imágenes recortadas al portapapeles de manera razonablemente directa. He usado esa opción en casi todas las fórmulas de esta entrada, y es mucho mas rápido que el latex. Supongo que, en cierta manera, era esa diferencia de flexibilidad a la hora de escribir fórmulas entre el note y el blog- unido a otros factores, como que la física teórica está un poco aburridilla- lo que me ha tenido tan reacio todo este tiempo a escribir por aquí. Confío que, con esta nueva facilidad, me animaré a escribir de nuevo mas menudo.