Sobre la masa negativa

Como buen aficionado a la ciencia ficción me gustaría que ya existiesen cosas como los agujeros de gusano, los motores de distorsión (warp drives) y, en general, el tipo de cosas que las ecuaciones de la relatividad general nos muestran que seríab posibles si existiera la “materia exótica”, entendiendo como tal aquella que viola alguna de las condiciones de energía positiva.

El caso es que los medios habituales para conseguir esa materia exótica requieren crear dispositivos como las placas paralelas del famoso ejemplo de Casimir. La idea es simple, uno junta mucho dos placas metálicas y en la zona entre ambas se produce una cancelación de modos cuánticos que hace que en medio de las placas haya una muy leve violación de esas condiciones de energía positiva, es decir, que haya “energía negativa”.  Hay muchos problemas en llevar esa idea a una realización experimental y, en todo caso, la energía negativa es tan pequeña que no sirve para gran cosa.

Eso me llevó a plantearme una cuestión. En una zona del espacio normal, dónde se verifican las condiciones de energía positiva, se crean partículas de masa positiva ¿Sería factible que en las zonas de energía negativa se crearan partículas de masa negativa?. Caso de ser así sería muy útil. Uno podría tener sus placas de Casimir creando partículas de masa negativa, que podríamos extraer y almacenar, Esas partículas estarían disponibles como materia exótica una vez retiradas las placas, Claramente, cómo la cantidad de energía negativa es muy pequeña, sólo se podrían crear partículas de masa muy pequeña. De las partículas conocidas los únicos candidatos posibles serían los neutrinos, que no pueden ser almacenados, pero bueno, si damos con otra forma de crear zonas de mayor energía negativa tal vez pudieramos crear cosas como electrones “exóticos”.

Busqué si había algo en internet al respecto de la masa negativa y sólo encontre, en ese momento, una referencia a un trabajo de Robert L. Forward, físico y famoso escritor de ciencia ficción hard. Ahi explicaban que había que tener en cuenta la masa inercial por un ladoy la gravitacional por otro, y venía un análisis detallado de la masa gravitacional usando física newtoniana. Me pareció un análisis muy insuficiente así que me puse, en  ratos libres, a intentar hacer un análisis usando teoría cuántica de campos y relatividad general, y con algunas consideraciones de teoría de cuerdas, que es lo suyo en estos tiempos.

El punto de partida sería la ecuación de Klein-Gordon

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Ahí se puede observar que la masa aparece en un único término, y aparece elevado al cuadrado así que curiosamente, no se distingue una masa positiva de una negativa. Uno podría pensar que esto implica que la ecuación de KG es totalmente insensible al signo de la masa, pero uno debería ser cuidadoso y examinar con cuidado mas detalles de la misma. Bien, una de las cosas que son importantes en la ecuación de KG es que debe definir una densidad de probabiliad y una corriente conservada. Sí alguien ha estudiado mecánica cuántica ordinaria habrá visto que la densidad de probabilidad es el cuadrado de la función de onda \Phi^*\Phi . En una teoría cuántica de campos eso no es automáticamente así. La densidad de probabilidad va a ser la componente 0 de una cuadricorriente de Noether asociada a simetrías externas. Para el caso del campo escalar la densidad toma la forma (ver, por ejemplo, el libro de Hatfield “Quantum field theory of point particles and strings”:

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Uno ve inmediatamente que en esa densidad de probabilidad la masa aparece dividiendo, y sin elevar al cuadrado. Eso significa que la densidad de probabilidad de una partícula de masa negativa será la opuesta de la de una de masa positiva. A poco que uno esté familiarizado con la teoría cuántica de campos ya sabrá la historia de la ecuación de Klein-Gordón: aparecen estados de probabilidad negativa, pero estos pueden ser interpretados como antipartículas que pueden interpretarse como antipartículas que viajan hacia atrás en el tiempo. Sí nos vamos a el campo escalar complejo puede probarse que éste campo tiene una simetría interna U(1), que, vía teorema de Noether, se convierte en una corriente cuya integral en una superficie cerrada da una carga que uno podría asociar (aunque no necesariamente) con la carga eléctrica. Se puede ver que las antipartículas tienen masa negativa. Pues bien, según éste análisis uno podría extraer la conclusión de que cambiar el signo de una masa -en este contexto masa inercial- es equivalente a intercambiar partículas por antipartículas, lo cuál choca con la hipótesis, no demostrada, de que partículas y antipartículas tienen la misma masa. Todo ésto es para la ecuación de KG libre, luego ya analiamos que pasa con las interacciones entre partículas, y con eso de que las antipartículas puedan tener masa negativa.

Antes de ir con otra ecuación vamos a otro aspecto importante, el de el campo gravitatorio creado por las partículas. En las ecuaciones de Einstein la parte que describe la materia es el tensor energía momento. Ese tensor aparece en los libros de teoría clásica y cuántica de campos, para la relatividad especial. Viene a ser poner en una cantidad tensorial las cantidades conservadas que se enseñan en los cursos de mecánica lagrangiana. Recordemos, asociada a una simetría del lagrangiano bajo traslaciones espaciales hay una cantidad conservada, que es el momento lineal. Asociada a una simetría bajo rotaciones se asocia la conservación del momento angular, y asociada a una invarianza bajo traslaciones temporales se asocia la conservación de la energía. Combinando eso en un tensor se obtiene el susodicho tensor energía-momento.

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Esa expresión es válida en relatividad especial. En relatividad general hay que sustituirla por otra, que viene a ser la variación de el lagrangiano respecto a la métrica (los detalles vienen discutidos en, por ejemplo, el libro de relatividad general de Wald, en el apéndice sobre formulación Lagrangiana de la relatividad general”. La expresión concreta es:

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Donde Sm es la acción de la materia. Para el lagrangiano de KG, en un espacio curvo (que es el normal, pero sustituyendo las derivadas normales por derivadas covariantes) el resultado de evaluar esa expresión nos da:

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Se puede observar que, una vez mas, la masa aparece al cuadrado y, por tanto, según eso, una masa negativa debería producir exactamente el mismo campo gravitatorio que una masa positiva, lo cuál es realmente chocante. En los libros dónde se obtiene esa expresión no he visto ninguna mención de ese hecho, aunque me consta que la gente de relatividad general ha analizado la masa negativa. Hablaré mas de ese aspecto posteriormente. De momento una observación basada en un cálculo (trivial) propio. Sí uno coge un tensor energía momento clásico el caso mas sencillo es el de un fluido perfecto (es decir, de viscosidad nula). Ese tipo de tensor se usa en los modelos cosmológicos mas sencillos, cómo el de FRW (Friedman-Robertson-Walker), o el de la ecuación de Tolman-Openheimer para modelizar una estrella (soluciones interiores de la ecuación de Schwarschild). Su expresión es:

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En esa ecuación rho es la densidad, u la cuadrivelocidad del fluido y P la presión. La masa total es la integral de la densidad. Obviamente ahí una masa negativa significa una densidad negativa. Sí se va a usar en una ecuación cómo la de Schwarschild rho debe tener simetría radial y, por tanto, las integrales serán sólo en la coordenada radial. Un caso entretenido es el de una capa esférica de densidad negativa (y, para simplificar, presión nula). Sí uno resuelve la ecuación correspondiente se obtiene de forma muy sencilla que sí esa capa externa de densidad negativa tiene la misma masa que la masa interna positiva se obtiene en el exterir la métrica de Minkowsky en esféricas, es decir, se ha apantallado la masa interior (esto es entendible también desde el análogo para relatividad general del teorema de Gauss en electroestática, el teorema de Ostrogowsky creo que se llama). Éso podría permitir cosas muy entretenidas desde el punto de vista de la ciencia ficción. Se podría, por ejemplo, ocultar gravitatoriamente cosas cómo un planeta (o una nave cómo la estrella de la muerte). Sí eso se combina con una ocultación visual nos lleva a la posibilidad de que una raza alien pudiera colocar un planeta, o una luna, al lado de la tierra y no se lo podría detectar ;-).

Bien, volvamos a un terreno mas serio. Al principio había mencionado que la materia exótica era la que violaba alguna condición de energía positiva, pero no había explicado en que consiste eso. La razón es que explicar ese concepto requiere el tensor de energía momento y aún no lo había definido. La idea es que la mayoría de tensores energía-momento son de la forma 1 de la clasificación de Hawking-Ellis.

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Se ve que es muy parecido al tensor de un fluido ideal, con una densidad y una presión. La idea es que ese tensor, contraido con cuadrivectores, debe dar un resultado positivo. Cómo en relatividad hay cuadrivectores positivos, negativos y nulos no es tan sencillo cómo el caso de formas bilineales definidas positivas y hay varias definiciones posibles para la energía positiva. Visser en su libro de referencia sobre agujeros de gusano enumera 7 tipos diferentes. En el siguiente apartado hace un análisis de las posibles violaciones. Lo primero que nos enseña es que el campo escalar de Klein-Gordon no viola ninguna de esas condiciones. Lo hace para masa positiva, pero, cómo ya hemos visto, también es válido para masa negativa.

El siguiente ejemplo que analiza es el de Casimir, que tanto he mencionado. El truco es que las placas paralelas conductoras modifican el vacío de la electrodinámica cuántica.

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El tensor correspondiente es

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Ahí z es la coordenada perpendicular a las placas, separadas por una distancia a. Se puede ver facilmente que ese tensor viola varias de las condiciones (un buen signo de ello es que la densidad es negativa). Es interesante señalar que la materia de las placas es ordinaria y que es un efecto cuántico, debido a la modificación de la energía del vacío en QED, debido a las placas, la que genera la energía positiva. Es decir, no se necesita materia exótica para tener energía negativa. Lo interesante sería que se pudiera crear una zona de energía negativa para crear materia exótica. Visser analiza algún ejemplo más cómo por ejemplo el entorno de un agujero negro (vacío de Hartle-Hawking) y ve que allí hay una violación considerable de las condiciones de energía positiva. También algunos campos de los que se usan en modelos de quintaesencia para explicar la expansión acelerada del universo hay violaciones de la condición de energía débil. Realmente uno podría considerar que esos campos son energía exótica, pero no tienen masa negativa, y no cubren el analisis que yo pretendía. Ya hemos visto que con un campo de Klein-Gordon no se puede lograr eso.

La siguiente opción, en orden de complejidad, dentro de las ecuaciones relativisatas es la de Dirac.

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Aqui la masa no esta elevada al cuadrado así que esta ecuación distingue masa positiva de negativa ¡Menos mal! Pero no cantemos victoria todavía, que también nos va a dar unas cuantas sorpresas.

En fin, veo que, cómo es habitual, en cuanto intento explicar algo que considero medianamente interesante las entradas se vuelven muy largas así que lo dejo aquí de momento. Quedan muchas cosas que comentar, cómo por ejemplo las ligeras relaciones entre ésto y la correspondencia AdS/CFT de Maldacena, las ecuaciones para spin mayor que 1/2, el caso del bosón de Higgs, etc, etc.

Quien me conozca seguramente estará aterrado ante semjante afirmación porque sabe de mi tendencia a no publicar las entradas sucesivas de un tema cuando decido dividirlo en varias partes. Para intentar tranquilizarle voy a comentar un aspecto técnico sobre wordpress y el galaxy note. Escribir matemáticas en el note, con el S-pen, es fantástico, y las característicar para hacer copy/paste de fórmulas de libros para tenerlas a mano también funciona bastante bien. En contraposición escribir fórmulas con latex en wordpress es muy tedioso (aunque bienvenida sea la posibilidad). He buscado bastante tiempo una herramienta que tranforme una fórmula escrita a mano al latex correspondiente y lo copie al portapapeles, para así poderlo pegar en el wordpress, pero no he dado con ella. Tampoco veía un modo sencillo de que las imágenes copiadas al portapapeles del note pudieran ser incluidas en wordpress, hasta que he descubierto que mediante un programilla del note (scrappbook) y la opción de exportación a la aplicación de worpress para android puedo subir las imágenes recortadas al portapapeles de manera razonablemente directa. He usado esa opción en casi todas las fórmulas de esta entrada, y es mucho mas rápido que el latex. Supongo que, en cierta manera, era esa diferencia de flexibilidad a la hora de escribir fórmulas entre el note y el blog- unido a otros factores, como que la física teórica está un poco aburridilla- lo que me ha tenido tan reacio todo este tiempo a escribir por aquí. Confío que, con esta nueva facilidad, me animaré a escribir de nuevo mas menudo.

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