Einstein y la mecánica cuántica: mas allá de dios y los dados

En el post anterior anunciaba que había leído el libro que se muestra en la imagen Einstein’s Unification, escrito por jeroen van dongen, y que pensaba escribir sobre el mismo, y sobre parte de lo que he sacado de ése libro va esta entrada. Aunque el libro analiza las teorías de unificación, a lo largo del mismo, y, sobre todo, en el capítulo final da una visión de la relación de Einstien con la cuántica, que es de un interés independiente.

Aunque todo el mundo reconoce a Einstien cómo un genio, posiblemente el mejor físico de la historia después de Newton. Sin embargo se tiene la idea mayoritaria de que tuvo un “año mirabilis”, el 1905, dónde publicó las ideas de la relatividad especial, incluyendo la equivalencia entre masa y energía, el efecto fotoeléctrico y el movimiento browniano, que luego pasó 10 años hasta crear su gran logro, la relatividad general, pero no demasiadas cosas más, y que, a partir de ahí, su aversión a la mecánica cuántica le alejó de la investigación puntera y que se dedicó a su cruzada anti cuántica, sobre todo en sus debates con Bohr, ejemplificada sobre todo en su trabajo con Podolsky y Rosen, la paradoja EPR, y, por otro lado, en una búsqueda inútil de una teoría unificada, abocada totalmente al fracaso desde el principio, y sin ninguna influencia posterior.

Pues bien, viendo la serie, leyendo éste libro, indagando referencias (véase por ejemplo el muy interesante artículo Del efecto fotoeléctrico (1905) a la condensación de Bose-Einstein (1925).Un curioso ejemplo de simbiosis en el desarrollo de teorías físicas. ) y reflexionando un poco sobre cosas que uno estudia en la carrera se da cuenta de que esa percepción es bastante errónea.

Lo primero es deshacer un mito. Einstien nunca dijo la frase “Dios no juega a los dados”. La frase exacta, extraida de una carta a Max Born, es: “La mecánica cuántica es ciertamente impresionante. Pero una voz interior
me dice que no constituye aún la última palabra. La teoría explica muchas cosas,
pero realmente no nos acerca más al secreto de “El Viejo” [sic]. Yo, en cualquier
caso, estoy convencido de que Él no juega a los dados.”

ES similar, pero difiere en un matiz muy importante. Podría pensarse que “el viejo” es una entidad divina, sí uno tiene tendencias religiosas, pero también podría pensarse que es una palabra para referirse a la naturaleza, así, en un sentido amplio, de el mundo natural y sus leyes físicas, y, en ése caso, no tendría connotaciones religiosas y no sería adecuado traducirlo por “dios”. Por todo lo que se sabe de Einstein no era una persona particularmente religiosa, mas bien era agnóstico o ateo, al menos la mayor parte de su vida.

Dejando aparte esa curiosidad hay aspectos mucho mas interesantes sobre la relación de Einstein con la cuántica. Para empezar Einstein hizo contribuciones fundamentales a la cuántica. Su explicación, en 1905, de la ley de Planck, relacionada con el efecto fotoeléctrico (aunque en el artículo original analizaba la ley de Wein y sólo cómo un ejemplo trataba el efecto fotoeléctrico) y que le acabaría valiendo el nobel, fue el primer paso hacia la idea cuántica. Mas adelante, en 1916,un año después de elaborada la relatividad general, abundó al respecto y presentó la idea del fotón. La forma en que se expone ahora el efecto fotoeléctrico en los capítulos de física moderna de la enseñanza secundaria dan a entender que se hizo todo a la vez, y con una matemática muy elemental, pero claramente no fué así.

También en su modelo del sólido en 1907, posteriormente perfeccionado por Debye, introdujo vibraciones atómicas cuantizadas, y, mediante esa teoría dió una explicación al calor específico de los sólidos en la que éste no dependía unicamente de los electones, que daban una contribución proporcional a la temperatura T, sino una debida a los nucleos, y que daban una proporcional a T^3 .

Mas adelante, en 1909, introdujo el concepto de la dualidad onda-corpúsculo. Esa idea de la dualidad onda corpúsculo influyó para que de Broglie creara su teoría de las ondas de materia. Realmente de Broglie tuvo otras influencias, la de la teoría cuántica primitiva, con el modelo atómico de Bohr y las reglas de cuantización (osea, las únicas órbitas posibles de e un electrón son las que tienen una circunferencia que es un múltiplo entero de la constante de Planck, y posteriores generalizaciones de Sommerfeld usando variables de acción-ángulo). La idea que movió a de Broglie es que esos valores cuantizados se debían a que debía haber una onda estacionaria, y, por tanto, tenía valores discretos de la energía, aunque no llegó a dar una formaexacta de la ecuación de onda, éso vendría mas tarde. Hay que decir que el propio Einstein contribuyó en cierta manera a la idea de las reglas de cuantización y hay gente de la época que habló con él que dice que es bastante probable que él mismo creara un modelo atómico equivalente al de Bohr, aunque no llegaría a publicarlo.

Recordemos, y ésto es importante, que toda esta primera mecánica cuántica, anterior a la ecuación de Schröedinger, y a la formulación matricial de Heissenberg, no era probabilística. Recordemos también que la susodicha ecuación, y las ideas de Heissenberg, son de 1925, es decir, 10 años posteriores a la relatividad general. Obviamente Einstein no podía tener ningún problema en esa época con una interpretación probabilística que ni siquiera existía, y que, de hecho, es del 1926, un año posterior a la ecuación de Schröedinger. Curiosamente sí a ello vamos, el primero que introdujo conceptos probabilísticos relacionados con la teoría cuántica fué ¡el propio Einstein!. En un artículo escrito en la época entre 1915 y 1925 (que ya vamos viendo que fue una época muy productiva, nada que ver con la idea de que después de la relatividad general Einstien no hizo nada especialmente útil) publicó una nueva deducción de la ley de Planck, de una manera mucho mas elaborada y cercana a las leyes de la mecánica estadística de Boltzman. Para hacerlo tuvo que introducir probabilidades en los ángulos de emisión de los fotones, algo que no le gustaba, pero que funcionaba.

Pero, vamos al grano, sí esa primera mecánica cuántica no era probabilística, y él mismo contribuyó a ella conceptualmente de forma muy decisiva ¿Por qué los físicos cuánticos de esa época ya no le contaban cómo “uno de los suyos”? La clave es que el desarrollo de la cuántica no es cómo se pinta en (al menos la mayoría de) los cursos de introducción a la misma. Ahí se introduce, tras una exposición rápida y somera de las ideas de la cuántica antigua, el formalismo de función de onda, los operadores de posición y momento (cuya expresión se obtiene de manera heurística a partir del comportamiento de un paquete de ondas), el hamiltoniano en términos de ésos operadores, la teoría de perturbaciones, que permite obtener aspectos finos de los espectros cuánticos, y todos los resultados se obtienen en ese formalismo, incluyendo cosas cómo las relaciones de incertidumbre de Heissemberg (relacionadas con la no conmutación de los operadores [\hat{x}, \hat {p}]=i \hbar ).

Pero la realidad histórica es muy diferente. Prácticamente todos los resultados sobre espectros cuánticos se obtuvieron antes de 1925 de forma experimental y se fueron obteniendo reglas ad hoc que los explicaban. Incluso algo cómo el principio de exclusión de Pauli (dos partículas cuánticas de spin semientero no pueden estar en un estado con los mismos números cuánticos) se obtuvo de forma experimental antes del formalismo de función de onda. Es curioso porque en éste formalismo, introduciendo los espinores de pauli y la teoría del spin, se deduce de manera fundamental, pero la idea inicial de la misma fué para explicar experimentos.

Incluso la formulación matricial de Heissenberg tuvo una componente muy experimental, algo conocido cómo el principio de combinación de Ritz para la adición de frecuencias de luz emitidas cuando un electrón de cae de un estado na aun estado k, combinado con una descomposición en modos de Fourier de la teoría clásica del movimiento de un electrón alrededor de un átomo de acuerdo a ésta regla.Un aspecto clave, a nivel conceptual, es que Hissenberg adjudica matrices (operadores lineales sobre un espacio de Hilbert) y los relaciona, sí son autoadjuntos, con cantidades observables, lo que se conoce cómo el principio de correspondencia, pero es algo que se postula, sin ninguna justificación obvia.

Pues bien, es esta característica de leyes inmediatas, sin gran justificación conceptual, postuladas ad hoc para explicar resultados experimentales, lo que molestaba a Einstein. Él, en su momento, había tenido simpatía por la física experimental y los laboratorios. Pero, por una lado los laboratorios se iban haciendo cada vez mas sofisticados, y había que especializarse mucho para poder hacer algo útil en uno, y, más importante, en su desarrollo de la relatividad general inicialmente había tenido un balance entre influencias experimentales, otras conceptuales y otras puramente matemáticas. En las diversas etapas de desarrollo algunas ideas de contenido muy físico y experimental le habían llevado a ecuaciones equivocadas, y solamente cuando se guió por la elegancia matemática, el principio de covarianza básicamente, obtuvo las ecuaciones correctas. Éso, y posiblemente un rechazo a los físicos nazis que tanto le importunaban, muy cerraditos en la experimentación mas básica y sin nada de imaginación ni sofisticación matemática o conceptual, le hacia sentirse a disgusto con esas ideas. De hecho, al menos según la serie, a Einstein siempre la motivaba saber la explicación última desde el principio de su carrera. En ése sentido es natural que se sintiera a disgusto con la cuántica primitiva pre Schróedinger. La mecánica matricial, aunque algo mas formal, tampoco le parecía una teoría completa porque postulaba la cuantización, pero no la deducía, y él quería una teoría en que la cuantización se dedujera de algo mas fundamental. Otra incomodidad con esa formulación es mas anecdótica, pero reveladora, y merece la pena comentarla.

En la enseñanza actual apenas se ve la formulación matricial. Se explica que los operadores, en una base dada del espacio de Hilbert, van a ser matrices, de dimensión infinita. Obviamente cómo en general el producto de dos matrices no es conmutativo dos operadores en general no van a conmutar. Pero el caso es que casi nunca se ven esos operadores cómo matrices infinitas, Lo que se ve es que son operadores diferenciales (caso del momento) o de mmultiplicación por una variable (caso de la posición) actuando sobre la función de onda, que es éso, una función matemática. Esa introducción heurística de los operadores posición y momento es demasiado liviana para el gusto de Einstien que querría obtener el principio de correspondencia de una forma mas fundamental. Y sí, sabemos que la función de onda puede ser escrita cómo combinación lineal de autofunciones del operador hamiltoniano. Siendo el hamiltoniano un operador autoadjunto la teoría de Sturm-Liouville nos dice que (para espectro discreto) va a tener una serie de autofunciones que son base de un espacio de Hilbert. Mas abstractamente se puede usar el análisis funcional y ver que la teoría de Sturm-Liouville es el caso de un operador compacto y éstos tienen espectro discreto y sus autofunciones forman un conjunto completo (teorema de representación de Riesz, sí no me falla la memoria). en realidad, sí somos estrictos, la cosa es mas complicada porque el operador hamiltoniano no es compacto, y tenemos que usar la teoria de espacios de Hilbert equipados y demás).

Pero, realmente, muchas veces tenemos una expresión explícita para la ecuación de onda y podemos olvidarnos de todos esos “tecnicismos” y no se piensa demasiado en los operadores cómo matrices infinitas. Sin embargo, en la primera versión de Heismberg sí se usaban. Y ahí está lo que me llama la atención. La métrica de la relatividad general es “una matriz”. El tensor de Ricci “Es una matriz” y el propio tensor de Einstein es “una matriz”. Es decir, sí fijamos un sistema de referencia coordenado éstos tensores son matrices. El caso es que en los sistemas actuales el álgebra matricial se enseña desde secundaria, y en primero de carrera hay un curso de álgebra lineal, y cualquier estudiante de ciencias se maneja perfectamente con matrices. De hecho dónde muchos tienen dificultades es con el concepto de tensor, en cualquiera de sus definiciones. En época de Einstien, deduzco, el cálculo tensorial de Levi-Civitta no debía hacer uso de notación matricial porqué en un momento dado describe la multiplicación de matrices cómo “unas reglas de brujería” y, por lo visto, hay evidencias de que, al menos en algún momento temprano de la nueva mecánica cuántica, manejó incorrectamente esas matemáticas.

Pero vale, entonces Einstein estaba incomodo con la cuántica primitiva porque era demasiado “experimental” y “vulgar”. Pero la nueva mecánica cuántica sí era una teoría muy elegante y muy formalmente clara, con unos principios muy bien establecidos, pero aún así no le gustaba. Se suele tener la idea de que su gran disconformidad provenía de la probabilidad, pero, como vamos a ir viendo, el asunto es bastante mas complejo.

Recordemos que, incluso antes de la introducción de la interpretación probabilística, hay un aspecto que parece irrelevante: la función de onda de un sistema de n partículas depende de las coordenadas de esas n partículas \phi (\vec{r_1}, \vec{r_2},...,\vec{r_n}). ¿Obvio verdad? ¿Que problema puede haber con ésto? Pues, en realidad, sí lo hay, al menos desde la perspectiva de Einstein. La cuestión es que Einstein, más o menos,consideraba aceptabable la idea de “ondas de materia” de de Broglie, que, más o menos, es igual en la teoría de Schröedinger, al menos en la interpretación no probabilística (osea, una especie de densidad de carga). De hecho su propio principio de dualidad onda-corpúsculo queda bien plasmado en esa idea. Pero para que éso sea acorde a su idea física cada partícula debe tener su propia onda, no puede ser que haya una única función de onda para todas las partículas porque éso arruina buena parte de la interpretación física que él apoya (de hecho la famosa paradoja EPR y el realismo posiblemente tengan mas que ver con ésto que con la probabilidad en sí).

De hecho la probabilidad sólo se manifiesta en la paradoja EPR por culpa de la función de onda conjunta. Al producirse el “colapso” de la función de onda esa función de onda conjunta da lugar a la “acción fantasmal a distancia” (una partícula transfiere – o éso parece, aunque no es así realmente- información a otra situada a una distancia arbitraria) que va en contra del principio de realismo, y, en última instancia “en espíritu” (aunque no en forma) contra la idea de Einstein de causalidad, relacionada con la relatividad especial. Posiblemente sí la interpretación probabilística de Born se aplicara a una función de onda de una única partícula yo creo (pero obviamente no tengo manera de saberlo xD) que Einstein podría aceptar mas o menos la idea. El problema es que al tener una función de onda de dos o más partículas parece cómo sí esas partículas pudieran comunicarse entre sí a una distancia arbitraria. Y digo “parece” porque creo que Einstein no comprendía del todo bien el entrelazamiento cuántico. De hecho yo mismo, influenciado por la formación que he tenido, mucho mas reciente que la suya, he llegado a descubrir que tenía una visión muy pobre e incorrecta del mismo y que, definitivamente (cómo he visto sugerir a Sean Carrol en su facebook) hace falta un libro de texto que trate el tema con mas rigor y así se evitará que la gente tenga ideas obvias e inmediatas, pero falsas, respecto a las implicaciones y posibilidades del entrelazamiento, pero ésa es otra historia, claro. Quizás con los desarrollos modernos en el entendimiento del entrelazamiento Einstein podría sentirse algo más a gusto con esa idea de la función de onda conjunta, pero diría que, incluso a´si no del todo.

Por cierto, la función de onda debe ser una función compleja (de variable real). En la gran mayoría de problemas que se resuelven en la carrera siempre se va a obtener una solución con una función real, salvo en el caso de los procesos de colisión, dónde es una onda compleja, pero éso incluso en física clásica se usa a modo “formal” y por tanto pasa un poco desapercibido, pero, realmente, que la función deba ser compleja tiene una importancia fundamental y posiblemente arruine un poco la idea mas “física” de la interpretación de “ondas de materia” de de Broglie y Schröedinger con la que comulgaba Einstein, pero éso es un tema sobre el que no he leído nada.

Bien, ésto es lo que comenta jeroen van dongen al respecto, pero, una vez lo leí me surgieron preguntas. Por ejemplo, en la carrera se estudia la estadística cuántica de partículas bosónicas o “estadística de Bose-Einstein”. Ahí se explica que la función de onda de varias partículas debe ser simétrica bajo el intercambio de las coordenadas de esas partículas. Pero acabo de explicar que Einstein no aceptaba la idea de una función de onda que agrupara partículas entonces ¿Cómo es que puede estar el nombre de Einstein en una estadística cuántica, cuando a él no le gusta la cuántica en general, ni la base microscópica de esa estadística en particular?. La respuesta está en el artículo de Luis Navarro Veguillas que enlacé antes. Procedo a pegar (parte de) la explicación que ahí viene:

El joven físico bengalí Satyendranath Bose (1894-1974) publicó en 1924 un
trabajo –traducido por Einstein al alemán y recomendado para su urgente publicación–
en el que, por primera vez, se deducía la fórmula de Planck de una forma
verdaderamente independiente del electromagnetismo clásico28. A cambio se hacía
pleno uso del concepto de fotón y de la hipótesis de que sus estados no estaban
asociados a los puntos del espacio de las fases, sino a regiones de éste –celdas– de
volumen finito, de valor h
3
.
La deducción pasaba por una original forma de distribuir los fotones entre las
celdas, para calcular la probabilidad de un estado. Introducida dicha probabilidad en el
principio de Boltzmann se obtenía la entropía de la radiación, de la que se deducía sin
dificultad –tras la imposición de la condición de equilibrio como estado de máxima
entropía– la fórmula de Planck para la radiación. Hoy diríamos que la idea de Bose
consistió simplemente en tratar a los fotones como partículas indistinguibles. Pero la
terminología no sólo resulta anacrónica, sino que conduce a una idea falsa del contexto
en el que se produjo la aportación de Bose quien, según propia confesión, nunca fue
consciente de que su tratamiento representara una innovación, pues siempre pensó que
actuaba plenamente dentro de la más pura ortodoxia de Boltzmann:
29

Entonces ya se ve que los problemas de Einstein con la cuántica son mas fundamentales que la probabilidad. Le parecía que la cuántica una idea poco fundamentada. Sí, tenía unos postulados, y a partir de ahí era consistente, pero él buscaba una teoría mas fundamental. Curiosamente, según he intentado hacer ver, quizás la parte grave no es que esa teoría tuviera que ser determinista. Por ejemplo, en un momento dado, a Einstien le exponen una teoría de variables ocultas, osea, que hay variables extra que hacen que, sí se supieran esas variables, la cuántica fuera determinista, pero no les hace demasiado caso, y, de hecho, no le gustan y no ven que cumplan los requisitos que él busca en su teoría mas fundamental.

Esa teoría debería permitirle obtener, por ejemplo, el valor de la constante de Planck, pero también debería explicar porque debería haber unos operadores ( y el principio de correspondencia entre observables clásicos y operadores) y el resto de los postulados. En una parte del libro comenta que tenía algunas ideas de por dónde debería ir el asunto. Por ejemplo van dongen cita que Einstein pensaba que debía obtener mucho de las ecuaciones diferenciales. Se centra en parte en los solitones, pero otro pasaje de Einstien habla de que posiblemente “en las complejidades de las soluciones de las ecuaciones diferenciales no lineales debe haber margen para interpretaciones probabilísticas” La frase no es exactamente así y, cuando la leí no reflexioné demasiado sobre ella. Obviamente, a ojos modernos, éso me sonaba a la teoría del caos determinista, pero el caso es que en la época de Einstein aún no existía esa teoría, aunque posiblemente el problema de los tres cuerpos y los resultados de Poincaré al respecto, que contenían el germen de la teoría del caos, sí eran conocidos por Einstein, pero no explicaré por ahora nada más al respecto. Diré, éso sí, que quizás el programa de Einstein podría reformularse de una manera mas clara en términos de dualidades, aunque, éso sí, no creo que ni aún así pudiera realizarse, aunque es divertido pensar en como podría intentar hacerse.

Planeo hacer otra entrada, en parte continuación de ésta, dónde me extenderé sobre las teorías de unificación. Realmente leyendo he descubierto cosas muy sorprendentes porque, por ejemplo, hubo gente (Weyl y Klein) que intentó obtener una ecuación, que debería ser lo que luego fué la ecuación de Schröedinger, pero inspirados en una quinta dimensión, y las ideas de Kaluza, y de los propios Weyl y Klein, en las que también trabajó Einstein. Aparte de éso también planeo hablar más sobre la relación de Einstein con la cuántica, pero usando conceptos relacionados con esas teorías de unificación. A ver sí no tardo mucho en tenerla lista 😉

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