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Un poco de física aplicada al deporte: colisiones

marzo 3, 2011

Como creo haber dicho uno de mis hobbys son las artes marciales. En un foro ha surgido la típica discusión sobre la potencia de golpeo y como hacer mas daño. Acabo de dejar una respuesta introduciendo algo de física muy básica, y como interpretarla en ese contexto. Como quiera que no deja de ser un tema de posible interés general, y que me ha llevado su tiempo escribir la respuesta, he decidido aprovechar y dejarla también por aquí. En ese foro no hay latex disponible, así que las fórmulas no quedan tan bonitas. Con todo creo que se entienden perfectamente. Si tengo tiempo y ganas tal vez edite la entrada para pasrlas a latex. Pero por ahora ahí va el texto en cuestión:

Fisicamente una colisión entre dos objetos es algo relativamente sencillo. Caracterizamos los objetos por sus masas m1, m2 y sus velocidades v1, v2 antes y después de la colisión.

La primera ley que se observa es la de conservación del momento, definido como: p=m.v.

Tenemos, por tanto, que:

1. p1 + p2 = p1′ + p2 ‘ (las cantidades con prima hacen referencia a después de la colisión).

Asumimos que las masas de las partículas (por partículas se entiende cada uno de los cuerpos que chocan, que consideramos que se aproxima por una partícula puntual con una masa determinada) no varían, y que sabemos las velocidades iniciales de ambas partículas (en particular siempre podemos escoger v2=0 sin pérdida de generalidad). Entonces resulta que tenemos dos incógnitas – v1’ y v2 ‘ – y una sola ecuación (asumimos que el choque es en línea recta, es decir, que antes y después los cuperos están moviéndose en la misma línea, si admitimos movimientos en dos o 3 dimensiones cada v tendría a su vez 2 o 3 componentes y la cosa sería mas compleja. No obstante para entender casi todo nos vale con una sola componente del movimiento). Por tanto, para resolver el problema necesitamos otra ecuación. Y ahí empiezan a venir las opciones. El caso mas sencillo es cuando tenemos un choque elástico, es decir, cuando la estructura interna de los cuerpos no se ve afectada por el golpe (es decir, no se deforma, no se caliente, no vibra, etc, etc). Evidentemente es un caso ideal, pero es una muy buena aproximación en varios casos. Matemáticamente que no se cambie la estructura interna de los cuerpos se traduce en que se conserva la energía cinética (ya que no se ha usado nada de la energía cinética que tenían inicialmente en producir esos cambios internos). Como han contado antes la energía cinética tiene la expresión T=1/2*m*v^2. En ese caso tenemos pues nuestra 2º ecuación:

2 . T1 + T2= T1’ + T2 ‘

Este sistema de ecuaciones algebraicas puede resolverse de manera relativamente sencilla, y obtenemos las expresiones de v1’ y v2 ‘ en términos de v1 y v2. En particular si v2=0 la solución es:

v1’=(m1 – m2)v1/(m1 + m2)

v2′ = 2m1.v1/(m1 + m2)= 2 p1/(m1 + m2)

Esto es muy sencillo (a poco que uno este familiarizado con la física, se entiende). Si queréis poder ver una exposición mas detallada en, por ejemplo, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinam … astico.htm. Lo interesante es analizar el significado práctico para lo que nos atañe de este resultado.

Nos interesan los efectos sobre el cuerpo golpeado, que en este caso están totalmente caracterizados por v2’. Claramente v’2 aumenta bien aumentando la velocidad del golpe o bien aumentando la masa m1 (que corresponde al objeto que golpea). Es muy importante señalar que el aumento es lineal en ambas variables. Es decir, que conseguimos exactamente el mismo efecto duplicando la velocidad que duplicando la masa.

Hasta aquí la matemática, y el análisis físico, del choque elástico de dos partículas. Vamos a engarzar esto con los puñetazos. He usado muy libremente m1 y m2, pero hay que tener muy claro lo que significan en la práctica. Un pensamiento ingenuo podría ser pensar que m1 y m2 son las respectivas masas de la persona que golpea y la persona que recibe (o del objeto golpeado si estamos golpeando un objeto). Como os imagináis esta propuesta no vale y tenemos que enlazar la asignación de las masas con las ideas intuitivas sobre “llevar el peso del cuerpo detrás del golpe” y, también, con la zona a la que golpeamos.

Empezamos primero por la zona a golpear, que es algo más fácil. Si golpeamos a la cabeza podemos aproximar bastante bien que esta está separada del cuerpo ya que los músculos del cuello (Fernando Alonso y otros cuello-toro aparte) no van a presentar gran oposición al movimiento y la articulación del cuello es muy móvil. Podríamos pues contar con que m2 sería poco más o menos la masa de la cabeza. Evidentemente el golpe no le va a arrancar la cabeza y después el cuerpo termina frenando la cabeza. Pero fijaros que el choque dura un instante (matemáticamente, en las ecuaciones anteriores, se asume que es de duración nula) y sólo nos importa la velocidad de la cabeza justo después del choque. Si golpeamos al cuerpo la cosa cambia. El torso se movería, más o menos, como un bloque. Además la conexión con las piernas es mas fuerte, y estas están en parte ancladas al suelo (nótese que el rozamiento contra el suelo no lo hemos tenido en cuenta). En fin, es un caso mas complejo, dónde interviene además el tema del factor elástico del choque.

Ahora analicemos la parte que golpea. Ahí enlaza bastante con lo que habéis comentado. Podemos decir que m1 es la masa de la parte del cuerpo que más o menos se mueve a la misma velocidad hacia el objetivo y que “interviene” durante el choque. El “interviene” es también sencillo de entender, y de encajar con las fórmulas. Fijaros que el signo de v’1 depende de (m1 – m2). Si la masa del objeto golpeado es mayor que la del objeto que golpea el primero retrocede. Imaginad que lanzáis el puño a máxima velocidad y a mitad de recorrido lo dejáis “muerto”. En ese caso podemos considerar que la masa que golpea (m1) es más o menos la masa del brazo. Como esta es menor que la de la cabeza, si el choque es perfectamente elástico, el puño rebotaría hacia atrás.

Ahora bien, la idea es que no se deja el puño muerto. Aunque durante el trayecto vaya relajado la coordinación del golpe debe procurar que justo en el momento del choque entren en acción los músculos para transmitir ese “rebote” al resto del cuerpo. Ahí cuanto mas alineadas estén las articulaciones mas “masa efectiva” interviene en el choque. Si además parte del resto del cuerpo ha acompañado al movimiento podemos aproximar que toda esa parte del cuerpo ha contribuido a la cantidad de movimiento. Matemáticamente esto podría hacerse integrando el momento lineal de cada una de las partes del cuerpo que intervienen. En la práctica, pues mejor hacer experimentos, claro está xD.

Ahora (si alguien me ha seguido hasta aquí sin dormirse) vamos con el factor de elasticidad del choque. En principio, para cuerpos inanimados y de composición uniforme esto es algo que se puede determinar experimentalmente. Este factor es más o menos constante dentro de unos rangos amplios de velocidad y depende sólo de las características de los cuerpos que chocan. Luego sigo analizando esto, pero por ahora voy al caso más sencillo, el choque perfectamente inelástico. Una explicación la tenéis en la wiki: http://es.wikipedia.org/wiki/Choque_inel%C3%A1stico

La idea es que toda la energía cinética disponible se ha transformado en un cambio de la estructura interna de las partículas que chocan y estas permanecen unidas tras el golpe (es decir, v1’= v2’= vf). En este caso la solución es muy sencilla:

vf= (mv1+ mv2)/((m1 + m2).

Si asumimos, como en el caso anterior, que v2=0, nos queda:

vf= mv1 /(m1 + m2)= p1/(m1 + m2).

Si lo comparamos con el caso del choque perfectamente elástico vemos que ahora vf es justo la mitad que antes. Eso sí, sigue siendo proporcional a p1. Es decir, que la forma de aumentar esta vf sigue siendo exactamente la misma, aumentar la velocidad y la masa de las partes del cuerpo que de manera “efectiva” intervienen en el golpe.

Esto respecto a la vf. El otro factor que va a ser importante a la hora de considerar los efectos del golpe es cuanta energía cinética que se ha transformado en energía interna de los cuerpos. Esta energía será la diferencia de energías cinéticas ante y después. No he encontrado por ahí el resultado, así que me ha tocado hacer los calculillos yo mismo. El resultado, cuando consideramos v1=0 es:

T – T’= 1/2. m1. m2v1^2/(m1 + m2).

Este resultado es muy interesante. Nos dice que la energía que se va a usar en deformar el cuerpo aumenta con el cuadrado de la velocidad mientras que sólo aumenta linealmente con la masa del objeto que golpea. Esto significa que si tenemos la certeza de que nuestro golpe va a ser perfectamente inelástico y nuestro objetivo es deformar (entiéndase, romper) el objeto golpeado nos interesa más aumentar la velocidad antes que la masa que interviene en el golpe.

Queda ya claro por tanto que sea como sea el choque la eficacia de este aumenta cuando aumentamos el producto m.v1, independientemente de las características elásticas del choque.

He considerado los dos casos extremos, perfectamente elástico y perfectamente inelástico. El estudio de los casos intermedios (en la práctica todos, aunque en muchos casos se puede hacer una buena aproximación considerando los casos extremos) se hace matemáticamente introduciendo lo que se conoce como coeficiente de restitución:

c= (v2′ -v1′)/(v2 – v1).

Fijaros que en estas fórmulas, que recogen toda la física del asunto, en ningún momento he usado el concepto físico de potencia. La potencia, fisicamente, es la derivada (variación) respecto al tiempo del trabajo. El trabajo, en el caso tratado, sería la energía cinética. Haciendo los calculillos se puede ver que en nuestro caso una posible expresión para la potencia sería P=F.v (F= fuerza, v= velocidad).

Lo que comentaba Tyr de la potencia del impacto recibido podríamos interpretarla como que nos interesaría dar un golpe lo mas inelástico posible, que se traduciría en que el impacto se tradujera en deformar/romper/calentar los cuerpos que colisionan.

Esto son una serie de consideraciones sencillas, introduciendo de manera apropiada un mínimo de conceptos físicos relevantes al tema. En la práctica el estudio de los efectos de las colisiones es en general complejo y hay que tener en cuenta muchos aspectos que normalmente van a tener que medirse de manera experimental. Si queréis seguir analizando la física del asunto podéis empezar por la página general de la wiki sobre choques y seguir los enlaces: http://es.wikipedia.org/wiki/Choque_(f%C3%ADsica)

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