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Fractales y finanzas

julio 5, 2008

Este título se corresponde al de un libro escrito por Benoit Mandelbrot, el padre de los fractales, y trata de la aplicacion de su creación matemática al mundo de los finanzas.

El libro parece asumir que el lector sabe lo que es la bolsa. Eso, para un físico/matemático típico es mucho suponer, así que antes de continuar daré unas breves nociones sobre que es la susodicha bolsa.

La idea es que una empresa con un cierto éxito en un momento dado quiere seguir creciendo y necesita capital para eso. Entonces sigue unos trámites y “entra en bolsa”. Esto viene a significar que estan disponibles para cualquiera que pueda estar interesado una serie de acciones de la empresa. Esas acciones basicamente no son nada, simplemente un compromiso de la empresa de devolver el dinero que se ha pagaado por ellas, sujeto a las fluctuaciones del mercado si fuera menester. Pero la idea no es exactamente esa, al menos no el fondo de la misma. La idea es que al comprar accines le estas dando dinero a la empresa para que pueda ampliarse y progresar. Digamos que permite que la gente que dispone de dinero efectivo pueda invertir en aquello que considere que tiene futuro. Cómo subproducto de su inversion estaría el hecho de que las acciones se revalorizan y si necesitara venderlas sacaría más dinero del que invirtió inicialmente. Si se hubiera dejado el dinero inactivo en un sistema de crecimiento económico, este se habría depreciado,así pués mucho no tine que perder, salvo que la empresa se vaya a pique.

Para ser justos hay que decir que el libro de Mandelbrot no se limita a la bolsa y trata en general los mercados financieros, pero claramente el “producto estrella” de los mismos es la bolsa (a diferencia de, por ejemplo, el libro de Allen Paulos “un matemático invierte en bolsa”). Mandelbrot empieza revisando los métodss mas obvios con los cuales un posible analista/inversor, podria usar para decidir en que invierte. El mas naturales elsintuitivo, es decir, planteamientos causa-efecto de sentido común. Por ejemplo, si uno opina que las compañias de telefonía movil estafana los clientes y con ello obtiene pingues beneficios invirtiendo en ellas uno podria recuperar parte de lo que le roban. Frente a esta idea se opone una de las vacas sagradas del mundo bursatil, la hipótesis del “mercado eficiente” que aduce que el mercado, or su propio modo de funcionar, ya sabe todo lo que se puede saber sobre los precios y que ningun raznomaiento puede permitir hacer deducciones. En particular también significa que nadie puede hacerse enriquecerse, en promedio, más allá de la subida media del mercado.

Mandelbrot esta razonablemente de acuerdo con esto. Y en consecuencia pasa al siguiente punto,el análisis del riesgo, que será la clave de su libro. El truco consiste en lo siguiente, si uno invierte en un sólo valor esta corriendo un gran riesgo. Es mas interesante invertir en lo que se conoce como “carteras”. Una cartera es un conjunto de valores elegidos de tal modo que cuando uno pueda caer el otro pueda subir, y así, en promedio, se compensen las pérdidas. Obtener un método para valorar la seguridad de una cartera es, consecuentemente, un punto clave. Mandelbrot hace a lo largo de libro un repaso de la historia de los métodos matemáticos usados para tal fín, la teoria de carteras de Markovitz, los trabajos de Sharpe y Miller y, finalmente, la fórmula de Black-Scholes. Esta última es la mas afamada e incluyeun factor nuevo, la valoración de opciones de compra venta. Una opción de compra consiste en pagar una pequeña cantidad que permite comprar al precio actual una opción que este subiendo si en algun moento de un plazo futuro preestablecido alcanza un precio mayor prefijado. eSto es interesante porque obtendriamos si hay suerte un beneficio y en el peor de los casos sólo perderíamos el no muy grande importe de la opcion . La opcionde vventa es lo contrario, la posibildad de vender al precio de hoy opciones que esten bajando.

La teoria de carteras constituye el contendio de los cursos estandard de matemáticas financieras para matemáticos (se supone que un matemático no necesita cursar una asignatura para que le enseñen a calcuar interes compuestos y otras trivialidades similares que se encuentran en cierto tipo de libros con ese título, lo aprende el mismo sin despeinarse xD). En particular es lo que se enseña en la asignatura de matemáticas financieras de la carrera de mates de la UAM en la cuál me matriculé una vez pensando que era algo muy diferente.

Esta teoria de carteras esta construida sobre el edificio de la probabilidad clásica, osea, teoria de los grandes número squ eindica que toda distribución tiende a parecerse a la gaussiana, teoria de procesos estocásticos dónde la configuracion siguente del sistema no tiene memoria de las configuraciones anteriores, depend esolo del momento actual(movimiento browniano, cadenas de markov, martingalas y demas joyitas) , etc. El caso es que si las fluctuaciones de los valores del mercado financiero se ajustaran a la gausiana los episodios en que estos se separaran de unas pocas desviaciones standard serían mínimos. En la realidad esto no pasa. Mandelbrot, analizando los precios del algodon vió que se ajustaban a una ley potencial. Algo que se ajuste a ese tipo de leyes (osea, elevar algo a una potencia) permiten que episosios dónde las desviaciones grandes respecto al valor medio sean mucho mas habituales. Un dato interesante, mencionado cais al final del libro, es uqe según la teoria standard la posibilidad de arruinarse en la bolsa es menor que la de ser alcanzado por un meteorito. Si las leyes potenciales, como es el caso, rigen los precios, esa probabilidad es algo asi cómo 1/10 o 1/30.

Hasta ahora no he mencionado los fractales. Su papel provien de que Mandelbrot consigue crear gráicos que se parecen mucho a los gráficos reales de los precios (o más bien, de sus variaciones) a partir de un fractal. Un fractal es, dicho de manera no muy formal, una figura con un grado de autosemejanza. Cualquier parte de él se parece a la totalidad. Para simular precios se parte de un objeto geométrico clásico, al que se llama iniciador. Sobre esto se añade un motivo geométrico simple, denominado generador, en ciertas posiciones del iniciador. Y luego se itera el proceso, recursión. En esta imagne de wikipedia se puede ver un gif animado de la construcción de un fractal clásico, la curva de koch, mediante este proceso.

En este caso el iniciador es un triángulo equilatero, el generador es introducir otro triángulo equilátero, de longitu 1/3 del anterior, en cada lado del triángulo inicial e iterar el prceso.

Los fractales más simplistas (mandelbrot los llama cartones, en referencia a una técnica pictórica para ensayar la idea de un cuadro en un cartón antes de dibujarla en un lienzo) usados para simular un gráfico de precios suelen partir de una línea creciente cómo iniciador (precios crecientes. Se divide entres zonas y en cada una se introduce un generador consistente en un segmento largo por encima de la línea y otro corto que la cruza hasta quedar por debajo. Un dato importante es que si se quieren simular precios que varian por azar la regla de iteracion debe llevar también un factor de azar. Por ejemplo se puede contar con dos generadores e irlos intercambiando de manera aleatoria.

También hace mucho hincapié entre la semejanza de las variaciones de los precios y las turbulencias. Dedica capítulos a temas tale cómo las distribuciones de riqueza debidas a pareto, la intensidad de las crecida del nilo y otra serie de fenomenos que también siguen leyes potenciales. También habla un poco sobre la existencia de tendencias que irían en contra de la hipótesis d eno memmoria.

En definitiva, un buen libro que cubre bastantes aspectos. Mandelbrot deja claro que algunas de sus ideas no son bine acogidas por los economistas ortodoxos, que prefieren usar modificaciones del Black-Scholes (GERLACH, FIGERLACH, etc) que hacen cosas cómo usar una campana de Gauss dependiente del tiepo (su varianza depende del tiempo) para intentar ajustarse al hecho experimental de que le mercado sufre fluctuaciones mas grandes de lo previsto. En todo caso los fractales comparten con la estadística el que son una teoria descriptiva, con un poder de prediccion ceñido unicamente a los valores del riesgo, y no una teoria predicitiva propiamente dicha. Vale que es muy difcil predecir la bolsa (según la idea del mercado eficiente sería impredecible) pero cómo apunta Mandelbrot podría (de hehco debería) depender, al menos en parte en factores exógenos describibles por otras disciplinas que si son predictivas (en última instancia la física, por supuesto). Lo que definitivamente si cumple este libro es la expectativa de leer algo sobre economia, o finanzas, menos infantil que las secciones de economía de los periódicos, o, inclusive, muchos libros de economía ortoxa.