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El reto de Fermat

enero 5, 2009

En 1993 una ecuación matemática salto a las primeras planas de los periodicos. Eso, desde luego, es algo tremendamente nhabitual.

la ecuación en cuestión era:

x^n + y^n = z^n

Para n=2 se tiene una ecuación que posiblemente le sonara a mucha gente,  el teorema de Pitagoras. Menos gente sabrá identificar el contexto general en que surge esa ecuación. Sin embargo a esa ultima porción de lectores posiblemente le suene Fermat, y en particular tal vez hayan oído hablar del ultimo teorema de Fermat. Después de todo el año pasado se estreno una película española titulada “la habitación de Fermat” sobre la que prefiero no emitir ningún juicio (por si acaso xD). Pues bien, esa ecuación es la que esta relacionada con el ultimo teorema de Fermat. En concreto dicho teorema afirma que para n=2 la única solución de la misma es la solución trivial (en la que una de las incógnitas es 0).

El teorema es famoso, al menos entre los matemáticos por la anécdota de que Fermat lo dio a conocer como una nota ala aritmética de Diofanto dejando el lacónico comentario de “en el estrecho margen de este libro no puedo escribir la demostración del mismo”. Y si hemos de atenernos al hecho de que la demostración del mismo por parte del matemático Andrew Willes en 1993 (400 años después del anuncio de Fermat, y, de hecho, la demostración original tenia errores que tardaron un año en corregirse) ocupaba alrededor de 300 páginas sin duda debemos darle la razón a Fermat, no cabe.

Obviamente la demostración de Willes usa técnicas matemáticas que no existían en el tiempo de Fermat y ambas demostraciones no podían ser iguales. De hecho lo mas probable es que la demostración original de Fermat fuese falsa.

Los detalles de la demostración de Willes escapan el alcance de cualquiera que no sea (muy) experto en teoría de números. Sin embargo en la colección “ciencia abierta” de nívola se editó un libro con el mismo titulo que este post que hace un repaso de la historia del teorema y da una idea de las técnicas matemáticas empleadas.

Cualquiera con un conocimiento básico de matemáticas (a nivel de enseñanza secundaria) podrá seguir casi todos los capítulos. Solo el ultimo le resultara posiblemente inasequible.

La cuestión que se podrán plantear algunos lectores es si merece la pena leer un libro así salvo que uno este interesado en la teoría de números. Debo admitir que yo no soy alguien de ese grupo. Si he leído el libro es porque estoy intentando aprender geometría algebraica (de uso frecuente en teoría de cuerdas) y mucho material sobre esa materia hace referencia a la teoría de números. Aparte en la introducción del libro se informa de que a lo largo del texto se va a ir viendo como los intentos de demostración del teorema dieron lugar (o al menos contribuyeron decisivamente) al nacimiento de la teoría de anillos y sus ideales. Si alguien ha estudiado álgebra abstracta, donde se estudian tales cosas, tal vez comparta mi impresión de que se presentan esos conceptos de forma bastante aburrida y que no se motiva mucho al estudio de los mismos. Como quiera que para estudiar (a la manera de los matemáticos) geometría algebraica es necesario estudiar álgebra conmutativa y esta requiere manejarse bien con anillos e ideales el libro sirve bastante bien como motivación, y, aparte pone en conte3xto ese material ayudando a ver para que sirve.

Otra conclusión que he extraído del libro es que la formación en matemática de los físicos es proclive a generar una idea un poco incorrecta sobre los méritos de los matemáticos del XIX. Yo, desde luego, no tenia particularmente una impresión especialmente favorable sobre Dedekind, y resulta que es el creador de la teoría de ideales. Es mas, pensaba que todo ese material de álgebra abstracta había surgido en la primera mitad del siglo XX.

El ultimo capitulo del libro, como señale antes, es mas arduo. Y aún así no presenta el material necesario para entender a fondo la demostración de Willes (cosa, por otro lado, totalmente imposible). Hace, sin embargo, un muy buen trabajo presentando la teoria de funciones moduares, curvas elípticas y la parte relevante de la teoría de Galois sobre extensiones de cuerpos.

Estos conceptos confluyen en la demostración del teorema de Fermat a través de lo que se conoce como conjetura modular (ascendida hace poco a la categoría de teorema). Esta conjetura viene a decir: “Toda curva elíptica con coeficientes racionales es modular”. A partir de esa conjetura puede demostrarse el teorema de Fermat y eso es lo que hizo Willes, demostrando para ello un caso particular (curvas elípticas semiestables),pero suficiente para sus propósitos de la conjetura.

Voy a dar unas nociones mínimas de que son estos objetos.

Una curva elíptica es el conjunto de los puntos que satisfacen la condición P(x,y)=0 donde P es un polinomio en dos variables de grado 3 con coeficientes complejos. Si x e y son variables reales tenemos una curva real. Si se permite que sean complejos tendremos una curva compleja, que, geométricamente, es una superficie. En particular la conjetura modular trata el caso en e que los coeficientes del polinomio son racionales.

Una función modular es una función invariante bajo el grupo modular. Este es el grupo de transformaciones de la forma z -> \frac {az +b}{cz + d} . En particular la conjetura modular se refiere a la posibilidad de parametrizar una curva elíptica con coeficientes enteros por una función modular.

No voy a dar mas detalles, remito al lector al libro ya la bibliografía que allí aparece. Lo que si voy a hacer es unos comentarios sobre la relevancia de estos conceptos en teoría de cuerdas. Las curvas elípticas son un caso particular de las curvas algebraicas. Una superficie de Riemman compacta es una curva algebraica y la teoría de estas superficies es la base del desarrollo perturbativo de la teoría de cuerdas. Por otra parte en teoría de cuerdas aparece de modo natural el grupo modular (la acción de la cuerda es invariante bajo dicho grupo) y no es de extrañar que en los desarrollos de la misma aparezcan funciones modulares, como las funciónes eta y theta de Dedekind. Realmente la teoría de funciones modulares es bastante extensa, y eta relacionada con la teoría de funciones automorfas (el caso mas sencillo de las mismas es el de las funciones elípticas, las cuales surgen en el estudio de las integrales elípticas, y que, posiblemente, sean conocidas por la mayoría de los físicos-o al menos le suena haber oído halar de ellas-). Normalmente los libros de teoría de cuerdas (y eso si hay suerte) sobre las funciones modulares se limitan a dar la definición y a anumerar las propiedades de las dos funciones que he mencionado. En el libro tratado en este post se puede coger una idea de algunos aspectos mas geométricos e intuitivos que afectan a estas funciones.

En definitiva, un libro excelente para un publico general en el que aparte de aprender sobre el teorema de Fermat se le introducirán de manera intuitiva una serie de conceptos matemáticos de interés general (para matemáticos). Un valor añadido es que esos conceptos son útiles de diversos modos en el background matemático que debe tenerse en física de cuerdas. Ciertamente se puede aprender la geometría algebraica relevante a la teoría de cuerdas por caminos muy diferentes a los de los matemáticos puros (ver por ejemplo el libro Mirror Symmetry disponible gratuitamente on-line en Clay mathematics monographs) pero posiblemente por ese camino no se lleguen a apreciar adecuadamente muchos aspectos. También es cierto lo reciproco, en teoría de cuerdas son relevantes temas alejados de un interés matemático general (por ejemplo, las toric varieties).

No quiero decir que lo que este libro presenta baste para entender geometría algebraica, faltaría mas, pero si puede servir de motivación y para situar correctamente muchos conceptos.

No quiero terminar el post dejando la impresión de que este es un libro para físicos de cuerdas. Es un libro muy bien escrito en el que hará las delicias de los que tengan vocación por las matemáticas puras (por ejemplo, contiene demostraciones completas de muchos resultados, en particular de casos particulares del teorema de Fermat para valores concretos de n) y definitivamente muy recomendable.

Un comentario final. En matemáticas no existe premio nobel (la historia del porque es una anécdota divertida que no contare ahora) y su papel lo juega la medalla fields. Una particularidad de esa medalla es que solo se concede por trabajos hechos por su autor cuando tiene menos de 40 años. Esa es una característica bastante polémica y el caso de Willes enardeció la disputa. El motivo es que Willes dió a conocer sus resultados cuando tenia los 41 años recién cumplidos y, por tanto, se quedó sin recibir la medalla dichosa que, dada la importancia de su trabajo (que va mucho mas allá del teorema de Fermat) sin duda merecía.

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