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Dinámica Lagrangiana

abril 19, 2008

La mecánica de Newton estaba dada por, principalmente, su segunda ley F=m.a dónde a es la derviada segunda de la posicion en el tiempo y F es una fuerza que normalmente va a depender de la posición y a veces de la velocidad. Es por tanto una ecuación diferencial.

EL problema con esa ecuación es que sólo tiene esa forma en un sistema de coordenadas cartesiano. Si el problema físico a tratar tiene, por ejemplo, simetría esférica, algo muy común, hay que cambiar la forma de la ecuación. eSto se hace introduciendo fuerzas ficitcias como la fuerza centrífuga y simlares.

Bien, esto es un problema prácico. Estaría bien tener unas ecuaciones equivalentes a las de Newton y que no cambiaran si usamos otros sistemas coordinados. Y ahí surgieron las figuras de Euler y Lagrange y su cálculo de variaciones.

No me conozco todos los detalles históricos de cómo surgieron . Presento una exposición standard de las cuestiones.

La idea es que tenemos una función, o mejor dicho, funcional, ahora explico que es eso, llamada lagrangiana.

1. L(q, dq/dt, t)

Las q denotan las coordenadas que indican la posicion de la partícula. Normalmente se escribe dq/dt con una q con un punto encima, pero el html no permite esta notación y aunque podria usar LaTeX con el Html puedo apñarme bien para esta entrada.

Bien, digo que es un funcional y no una función. ¿Por qué?, La explicacion es bien sencilla. q y dq/dt son a su vez funciones dependientes del tiemp, es decir q(t) denota la posición en la coordenada generalizada q de la partícula en el tiempo t . La palabra genralizada quiere decir que no suponemos a priori que estemos en un sistema cartesiano y nos vale cualuqier tipo de coordenada (radio, ángulo, o lo que sea). Por tanto L depende de unas funciones q (y además del tiempo), es una función de funciones (una función cuyos argumentos son otras funciones). Eso es un funcional.

Ahora bien, hasta ahora no tenemos ecuaciones,. ES decir, no tenemos nada que nos permita calcular las trayectorias q(t) que realmente sigue la partícula. ¿Cómo hacemos eso?

Ahí debemos aplicar el principio de mínima acción. A partir de la lagrangiana tenemos una operacion que nos da una magnitud física conocida como “acción.

2. S= ∫t1 t2 L(q, dq/dt, t) dt

Bien, el principio de mínima accion dice que una partícula clásica va a seguir de entre todas las posibles trayectorias q(t) entre los tiempos t1 y t2 justo aquella para la que esa integral sea un extemal (generalmente un mínimo aunque en teoria podria ser un máximo).

¿Y cómo encontramos esa trayectoria maximal?.

Consideramos cuanto varía la integral cuando variamos una trayectoria q(t) -> q(t) + δq(t) y nos interesan las variaciones que cumplen que δq(t1)=δq(t2)=0, es decir, que sólo variamos la trayectoria en los puntos intermedios y no en los extremos pués es en los puntos itermedios donde queremos saber la trayectoria (esto es un tecnicismo pués siepre podemos situar los extremos donde queramos.

Bien, pués hay que comparar lo que vale L en q(t) y en q(t) +δq(t). Se hace un desarrollo de potencias (tipo taylor en cierto modo) Y se obtiene la variación de la accion δS de la accion, que debe ser 0.

No daré los detales de la derivacion, sólo expongo el resultaod final, que son las famosas ecuaciones de Euler-Lagrange:

3. d/dt(∂L/∂dq/dt) – ∂L/∂q=0

Pese a que haya derivadas parciales en la forma de la ecuación en realidad lo que tenemos es una ecuacion diferencial.

¿Que forma tiene la lagrangiana?
Bien, otro punto excelente de la formulacion lagrangiana es que permite obtener a veces su forma a partir de consideraciones de simetría. El principio de galileo nos dice que las leyes de la física deben ser las mismas para observadores inerciales, es decir, aquellos que se desplazan unos respecto a otros a una velocidad constante.

Bien, si imponemos esto en la lagrangiana esto implica que debe depender del cuadrado de la velocidad. En un sistema cartesiano la coordenada generalizada q es simplmente la coordenada normal x (ó y, ó z, da igual) y dq/dt es la velocidad que denotamos por v. Así pués

L=a.v2

¿y cuanto debe ser esa a? Bien, si queremos tomar contacto con las leyes normales de newton debemos tener que als ecuaciones de Euler Lagranage se reducen a las de newton par auna par´ticula libre. Por tanto a debe valer (puede comprobarse sencillamente tomando las derivadas oportuns) a=1/2m

Es decir, una partícula libre tiene

4. L=1/2mv2

Bien, ya podemos describir un apartícula libre ¡que lujo! ¿y una partícula en interacción?

Bien, en mecánica elemental de la manera que se enseña actualmente se introducen los conceptos de energía cinética y energia potencial. Si os habeis fijado bien os habreis dado cuenta de que la forma de la lagrangiana de una partícula libre es justo la energía cinética de una partícula. Consideraciones sencillas nos llevan a que en general, para un sistema aislado sin rozamiento la lagrangiana va a ser de la forma:

5. L= T -U

T es la energiá cinética y U la potencial. Por ejmplo para un muelle U(q)=1/2kq2 y para el campo gravitatorio U=-GM/r

Bien, pués ya tenemos un estupendo “algoritmo”. Elegimos las coordenadas que por simetría mejor describan el sistema. Expesamso en esa coordenadas la energía cinética y la potencial y restando ambas tenemos nuestra lagrangiana.

Una vez tenemos la Lagrangiana usamos las ecuaciones de Euler Lagrnge y ya tenemso las ecuacioens diferenciales que describen el sistema. Ya “sólo” queda resolver esas ecuaciones (para las condiciones iniciales fijadas) y tenemos resuelto nuestro problema mecánico.

Bien, esta es la lagrangiana para partículas puntuales. En física (incluso física clásica) no todo son partículas puntuales que se mueven por el espacio. Por ejemplo tenemos campos que varian con el tiempo. El más típico (y casi el único en física clásica) es el campo electromagnético. Este campo electromagnético viene descrito por unas ecuaciones en derivadas parciales, las ecuaciones de Maxwell. Especificar el estado del campo significa establecer el valor de 6 funciones (3 para coordenada del campo eléctrico y 3 para cada coordenada el magnético) en todo el espacio.

Pese a eso puede generalizarse el concepto de lagrangiana y tener una lagrangina para campos. Para campos tanto clásicos como cuánticos. Y a partir de ella obtener ecuacioes de Euler Lagrange. En realidad para campos cuánticos hay una segund acuantizacion y no basta con las ecuaciones de Euler Lagrnge. Hay que buscar otras cosas. Pero a partir del Lagrangiano hay un algoritmo que permite obtenerlas. Pero bueno, lagrangianos de campos es más de lo que quiero explicaros ahora. Espero que hayais entendido algo de lagrangianos de partículas simples, que ya es mucho.

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