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Introducción a la LQG canónica II

diciembre 24, 2012

Continúo la anterior entrada y concluyo esta introducción a la “vieja” LQG. Insisto, a estas alturas la LQG tiene poco prestigio y hay buenos motivos para no tomársela muy en serio, pero. cóm dije antes, desde un punto de vista académico, con vistas a otros asuntos, tal vez puedan ser útiles algunas técnicas matemáticas de la LQG.

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Habíamos visto por encima el formalismo ADM. Vamos a mantener la misma foliación del espacio-tiempo que para evitar confusiones de notación aquí denoto por Et=MxR.

Voy a poner algunas expresiones explicitas de las fórmulas propias de ese formalismo porque en la LQG aparecerán de distinta manera. Si alguien se marea con las fórmulas tranquilidad, que intentaré discutir el significado intuitivo de las mismas para que se pueda seguir la argumentación sin depender (demasiado) de ellas:

V_a = -2 q_{ac} D_b P^{bc}

Aquí D es una diferencial covariante compatible con qab, la métrica en el slice (corte) M. Y los P´s son los momentos canónicos definidos por:

P^{ab}=\frac{\kappa\delta S}{\delta q_{ab}}=\sqrt{\det(q)}  [q^{ac} q^{bd}-q^{ab} q^{cd}] K_{cd}

Esta es la ligadura de difeomorfismos espaciales. Representa la invariancia de teoría bajo cambios de coordenadas.

C=\frac{1}{\sqrt{\det(q)}}  [q_{ac} q_{bd}-\frac{1}{2} q_{ab} q_{cd}] P^{ab} P^{cd}-  \sqrt{\det(q)} R

En términos de estas dos ligaduras el hamiltoniano queda:

H=\int d^3x [\lambda P+\lambda^a P_a+U^a V_a+N C]

Aquí los varios P´s que aparecen son los momentos conjugados a qab, N y Ua. Las λ son multiplicadores de Legendre que sirven para implementar las ligaduras (es algo similar a los multiplicadores de legendre que aparecen en problemas de minimización de funciones sometidas a una condición). Se puede ver que las Ua y N juegan también un papel cómo ligaduras. De hecho debo decir que esta fórmula esta tomada de uno de los reviews clásicos de la LQG, el de Thieman, y en este punto resulta algo confuso, la relación con formas mas habituales de este hamiltoninao puede verse del siguiente modo: lo que ocurre es que esas P’s están relacionadas con las ligaduras C y V, de hecho son ellas mismas cambiadas de signo, con lo cual se eliminan del analisis efectuado sobre la base de las ligaduras de primera clase, y al final solo te queda el Hamiltoniano dependiendo de C y V, siendo la función lapso y el vector desplazamiento multiplicadores de Lagrange, y así se obtiene el Hamiltoniano empleado.

A modo de resumen rescato lo más importante de lo introducido en este formalismo. Tenemos las variables que juegan el papel de “coordenadas”, las qab y sus momentos conjugados Pab. Cómo no se pueden “despejar” unos en función de otros en el formalismo hamiltoniano aparecen dos ligaduras. Una, V, que representa la invariancia bajo difeomorfismos y otra, C, que representa la dinámica del sistema y por eso se conce cómo ligadura hamiltoniana. Esta ligadura es la que, cómo dije en la entrega anterior, se conoce cómo ecuación de Wheeler-de Witt, bueno, para ser mas exactos la “versión cuántica” de esta ligadura, ya explicaré al final este matiz.

Dejo una imagen que pueda aclarar un poco esto de las foliaciones, que es importante visualizarlo para entender la parte clásica de estas teorías:

Cómo avancé la LQG era una especie de “cambio de variables” para el formalismo hamiltoniano. Para entrar en LQG necesitamos introducir el formalismo del vielbein:

Este formalismo (también conocido cómo el de la tétrada) fue introducido por Elie Cartán. Entre otras cosas permite introducir fermiones en la relatividad general, algo muy útil, pero aquí no haré hincapié en ese aspecto.

La tétrada eui, o vielbein, es (así le gusta decir a la gente) una especie de raíz cuadrada la métrica (en realidad es un sistema de referencia orto-normal, bueno algo así), las ecs. que cumple son:

g^{\nu\mu}=e_\nu^ie_\mu^j\eta^{ij}

\eta_{ij}=e_\nu^ie_\mu^jg^{\nu\mu}
η= métrica de Lorentz.

Esta construcción vale también para la métrica tridimensional q definida en los cortes M de la foliación del espacio-tiempo en MxR.

Asociada al vielbein de esta la conexión de spin:

\Gamma_{\nu}^{i_j} que cumple

\partial_a e_b^j-\Gamma^c_{ab} e_c^j+\epsilon_{jkl} \Gamma_a^k e_b^l=0
Dónde \Gamma_{ab}^c son los símbolos de Christoffel asociados a la métrica qab

Aprovecho para indicar que en el formalismo de la tétrada hay un aspecto interesante, la posibilidad de considerar la conexión, y no la métrica cómo el campo básico que describe la gravitación, formalmente esto quiere decir que aplicamos el principio de mínima acción a este campo y no a la métrica. Es este detalle el que permite que en LQG haya la posibilidad de tener gij=0, es decir, que no haya espacio, mientras que en el formalismo normal la ausencia de gravedad indica que tenemos η cómo vacío.

Pero sigamos, vamos a introducir una nueva cantidad A. Esta cantidad va a jugar un papel similar a un campo gauge SU(2), pero con matizaciones que ya iremos viendo. Uno se puede preguntar, con toda la razón del mundo, ¿que pinta aquí un grupo SU(2)? Voy a intentar aclararlo un poco.

Es importante de que no detallé mucho a cómo se introducía la conexión, bien, esa conexión se puede asociar con un grupo, el grupo de la fibre bundle. El caso es que aquí pasamos a trabajar en un slice tipo ADM.
Por tanto tenemos una 3-variedad, y con esa 3 variedad construimos un fibrado. ¿Que grupo tiene ese fibrado?, pués el grupo de invarianzas locales. Puesto que estamos en un slice riemaniano ese grupo es el SO(3), es decir, localmente el espacio es euclideo y tiene invarianza bajo rotaciones euclideas. SO(3) tiene de grupo recubirdor SU(2), así que ya hemos llegado a puerto. Si no trabajáramos con el slice tendríamos una 4-variedad y el grupo sería SO(3,1) (Correspondencia al la invarianza lorentz local).

Para quien no sepa nada de fibrados intentaré explicarlo de otro modo. A muchos os sonará el siguiente “experimento mental” de Einstein. Una persona en caída libre dentro de un campo gravitatorio no experimenta ninguna fuerza. Sin embargo si esa misma persona se ve parada en su caída por algún tipo de superficie notará que el campo gravitatorio le empuja contra la superficie. Es decir en ese punto tenemos dos posibilidades, estar en caída libre y no sentir ningún campo gravitatorio y estar sometido a una fuerza gravitatoria. En términos matemáticos eso significa que localmente siempre podemos encontrar un sistema de referencia, el de caída libre, en el que el campo gravitatorio no existe. Pero un sistema sin campo gravitatorio se describe por la relatividad espacial, que tiene el grupo SO(3,1) como invariante). Ahora bien, esto puede hacerse sólo localmente. Para dos puntos cercanos el sistema “libre” de uno no lo será para otro. Lo que se puede, sin embargo, es asociar a cada punto del espacio tiempo un sistema de referencia en caída libre (sistema de referencia inercial). Bien, eso es una fibración. Y en este caso cómo cada punto de la fibra (cada sistema de referencia inercial) tiene un grupo de invarianza tenemos un fibrado principal en el que el grupo actua sobre cada fibra. Sí, vale, imagino que este intento de explicación “fácil” no es muy comprensible, pero es que los fibrados no son la cosa más sencilla del mundo.

Bien, tras esta explicación pongo la expresión de A.

A_a^j=\Gamma_a^j+\beta K_{ab} e^b_j,\;\;E^a_j=\sqrt{\det(q)} e^a_j/\beta

Aquí Kij es la curvatura extrínseca, β es un parámetro libre de la teoría conocido cómo parámetro de barbero-Inmirizzi y ya iremos viendo que juega un papel importantísimo en la teoría. Puede tomar cualquier valor complejo distinto de 0. En la formulación inicial de Astekhar este parámetro tomaba el valor i (raíz de -1). Con este valor la forma de la ligadura hamiltoniana (que ya veremos) tomaba una forma muy sencilla. Para este valor el SU(2) asociado es un SU(2) complejo y por tanto no compacto. Sin embargo si se toman valores reales el SU(2) es real y por tanto compacto. Esto facilita muchas cosas, pero no en particular la forma de la ligadura hamiltoniana que en general tendrá una forma complicada, pero ya digo que iremos viendo cosas varias de este parámetro a lo largo del tema.

Ya tenemos unas nueva variables, cómo aduje que era nuestra intención buscar, Las A´s (“campo gauge”) y las E´s (tétrada densitizada, i.e. dividida por la raíz de la métrica). Se puede expresar el lagrangiano de la RG en estas variables y se pueden calcular los momentos canónicos asociados. Cómo era de esperar aparecen ligaduras. Y supongo que no es de extrañar que las ligaduras en lsa nuevas variables guarden similitud en su significado a las ligaduras en las otras variables, así pués las denotamos igual y tenemos:

V_a = F_{ab}^j E^b_j

Aquí F es el análogo al tensor que en los campos gauge juega el papel de tensor campo electromagnético y tiene la expresión:

F=2(dA+[A,A])

La “ligadura hamiltoninana” tiene la forma:
C = \frac{F_{ab}^j \epsilon_{jkl} E^a_j E^b_l}{\sqrt{|\det(E)|}}\;\;+\;\;  \mbox{ Mas }

Dónde “Más” indica términos adicionales de similar factura.

En este formalismo sin embargo aparece una nueva ligadura. Cómo he dicho La A juega el papel de un campo gauge y se sabe que los campos gauge tiene una ligadura, la ley de Gauss:

G_j:=\partial_a E^a_j+\epsilon_{jkl} A_a^k E^b_l

Lo interesante es que ahora todas las ligaduras son polinómicas en los campos, en contraste con le caso ADM en que no lo son. Por tanto son más sencillas de resolver. Más sencillas, evidentemente, no quiere decir sencillas, de hecho son dificilísimas de resolver, pero al menos se puede hacer algo con ellas. Todo el programa de la LQG canónica consiste, en realidad, en “pelearse” con estos malos bichos. Ya iremos viendo cómo se hace, pero voy a dar algunos matices más necesarios para entender por dónde iremos.

Lo primero es señalar que puede que no os hayáis dado cuenta pero hasta ahora todo lo que se ha hecho en este post es RG clásica. Todos los campos son clásicos. Las ecuaciones de ligadura pueden tratarse y resolverse de manera puramente clásica mediante, por ejemplo, el programas de Dirac, que consiste en cambiar los corchetes de Poisson por “corchetes de Dirac” que seleccionan los estados físicos y tal y cuál. Pero en LQG se va a intentar hacer relatividad cuántica. Así pués, siguiendo los pasos habituales, se van a sustituir las “posiciones” y los “momentos” por operadores cuánticos. Aquí las “posiciones” eran las qab y los “momentos” Las E´s. Pués bien, siguiendo el procedimiento habitual en QFT se convierten estos campos clásicos en operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert. Ahora bien, las constraints se expresan en términos de estos campos ¿cómo se van a expresar en la versión cuántica? Pues del mismo modo que se hace con las teorías gauge normales. Se impone que los estados físicos sean anulados por las ligaduras, es decir:

L|φ>=0

Donde estoy denotando por L una ligadura arbitraria y |φ> representa el estado cuántico. Bien, ahora ya he explicado con más detalle matemático el programa de la LQG y he introducido su parte clásica. No voy a analizar en este post, ya lo dije antes, cómo se resuelven las ligaduras, pero al menos si voy a explicar de dónde viene el nombre de loop quantum gravity.

En las teorías gauge ordinarias, basadas en un campo gauge A, se construyen los “wilson loops” correspondientes. ¿Que es un Wilson loop? la definición matemática es esta:

dónde C es un contorno (curva cerrada) y P es el “path-ordering” que no definiré pués no me voy a meter a fondo con los wilson loops. En teorías gauge ordinarias los wilson loops permiten reconstruir, a nivel clásico, la conexion gauge. A nivel cuántico son operadores que crean excitaciones del campo gauge localizadas en el lopp (el contorno C).

Eso en teorías gauge “ordinarias” ¿que papel juegan en LQG?. Bien, más o menos la idea es que también se convierten en operadores. Recordemos que los operadores en mecánica cuántica tienen autoestados. Pués bien, los autoestados asociados a los Wilson loops generan estados cuánticos que satisfacen dos de las ligaduras anteriores, la ley de gauge y la V de los difeomorfismos. Aparte de eso tienen otros significados intuitivos relacionados con áreas y demás. Pero ya anticipé que no son la mejor base posible para la LQG y han sido abandonados en favor de unos nuevos tipos de estados construidos a partir de grafos (con ciertas relaciones de equivalencia metidas por ahí en medio), las spin networks que también resuelven las dos ecuaciones de ligadura y que nos dan el espacio de hilbert “kinemático”. Pero eso para una próxima entrega.

Por cierto ¿habéis visto alguna pega hasta aquí? No, ¿verdad? Pués veréis, resulta que se aduce que este cambio de variables es de algún modo local (imagino que se refieren a que hay que hacerlo carta por carta -hablando en términos de variedades diferenciables-). El caso es que, anticipo ya, uno de los resultados de la LQG es que el operador área actuando sobre los estados de las redes de spin tienen un espectro discreto, es decir, que el área esta discretizada en LQG. Pué bien, se critica que esa discretizacion se debe exclusivamente a ese carácter local del cambio de variables. Yo particularmente es algo que no veo nada claro (no he visto el desarrollo pormenorizado de esa crítica). Pero la verdad es que es algo absolutamente crucial para todo el programa de la LQG, tanto el canónico cómo el resto. En la LQG canónica porque varios de sus éxitos dependen de ello. Muy asociada a la LQG están la teorías de double special relativity que imponiendo la la relatividad especial de Einstein la existencia de una longitud mínima (algo razonable si existe un área mínima) implican que la velocidad de la luz en el vacío depende de su frecuencia (algo que podría ser constatado experimentalmente dentro de no mucho si es cierto). Las DSR tiene sus propios problemillas, pero sin ese resultado de cuantizacion del área pierden su más fuerte motivación. Pero es más grave aún, algunos puntos de partida para teorías tipo LQG (triangulaciones dinámicas, cálculo cuántico de Regge) parten de un espacio-tiempo discretizado. Aunque hay motivos heurísticos para considerar plausible esa discretización la verdad es que ese resultado de que el operador área tiene espectro discreto es un resultado mucho más potente que da mucho más crédito a todos esos programas. Si ese resultado esta mal, es decir, es un producto de la elección de variables y no refleja ninguna verdad “profunda” la LQG pierde bastante de su sentido.

Introducción a la LQG canónica I

diciembre 24, 2012

Había escrito esto, hace ya años, antes en otros blogs, pero cómo quiera que esos no tiene soporte nativo para Latex resulta que ahora no se ven las fórmulas. Al ponerlo aquí me aseguro de que no tengo que andar retocando nada en el futuro. Por cierto, aunque hubo una época que parecía una buena opción actualmente la LQG está bastante perdida cómo una opción válida para tener una teoría de la gravedad cuántica. Eso sí, puede resultar interesante cómo una herramienta matemática para analizar cierto tipo de cuestiones de un interés posiblemente académico y por eso me he molestado en rescatar esos antiguos posts. Sin mas dilación voy con ello.

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He hablado mucho por aquí de la loop quantum gravity pero hasta ahora no había explicado nada de ella. A raíz de empezar a participar en un foro de CF, http://www.sedice.com, me encontré con que me pidieron un post sobre el tema. He aquí la primera parte del mismo (ligeramente retocada). Aviso, en el post se repiten cosas que ya he explicado, y mas extensamente en este journal, pero creo que no viene mal tenerlo aquí todo junto.

Respecto a los conocimientos previos voy a intentar abarcar varios espectros de lectores. a todos ellos les asumiré una cierta familiaridad con la cuántica y con la relatividad general cuanto menos a un nivel elemental. Pero también tendré en mente a quien tenga una sólida base en física y no conozca este campo concreto. Imagino que cada cuál podrá sacar de párrafos concretos una idea que estará en función de su nivel. Y tras estos prolegómenos vamos con el tema.

Primero explico porque se investiga en estos temas. En la física establecida tenemos dos grupos de teorías, unas que explican todos los datos experimentales relacionados con las interacciones en las que interviene las fuerzas electromagnéticas y las nucleares débiles y nucleares fuertes. Estas son teorías cuánticas. Para ser concretos son teorías cuánticas relativistas. Están son bastante distintas de las teorías cuánticas “ordinarias”. Paso a explicar porque pues es relevante y me sirve par introducir unos conceptos que usaré más adelante.

En cuántica no relativista el problema tipo es resolver la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo. Esta es una ecuación en derivadas parciales para una función de onda. Una vez resuelta se tiene la expresión matemática de esa función de onda que nos da información sobre el sistema, los observables (energía, momento angular total, momento angular en el “eje z” y spin normalmente). La solución a esa ecuación no va a ser casi nunca única y va a haber una familia de funciones de onda. Cada una tendrá sus propios valores de los observables.

He usado la expresión “ecuación de Schröedinger”. Esto es correcto, pero conviene resaltar un punto. No hay una sola ec de Schrëdinger. Par cada sistema físico hay una. Por “sistema físico” me refiero a situación física bajo estudio. Si estoy estudiando el átomo de hidrógeno esa ecuación tendrá un término que haga referencia al potencial culombiano. Si estudio el oscilador armónico habrá un término que haga referencia al potencial armónico. Esto es un poco lioso si sólo vemos la ecuación como una ecuación en derivadas parciales. Las cosas se aclaran más introduciendo algunos conceptillos.

En mecánica clásica newtoniana tenemos la famosísima ecuación de movimiento F=m.a. (fuerza igual a masa por aceleración) que es una ecuación diferencial. Ahí al igual que en cuántica, tenemos que F varía de un sistema físico a otro. Aunque útil la ec. de Newton es un poco latosa de usar en muchos casos prácticos. Por eso surgieron otros formalismos matemáticamente equivalentes. Hablaré del lagrangiano y el Hamiltoniano.

La idea del Lagrangiano es escribir una expresión que representa el sistema físico. Y a partir de esa expresión dar un “algoritmo” que permita obtener las ecuaciones de movimiento. Para sistemas clásicos este lagrangiano normalmente va a ser de la forma:

1. L= T-V

Aquí T es la energía cinética y tiene la forma T=1/2mv 2 y V es el potencial en el que se mueve la partícula. Cómo sabréis, espero, la velocidad es la derivada respecto al tiempo de la expresión que nos da la posición de la partícula en un momento dado.

Bien, este lagrangiano es clave en mecánica clásica y en teoría cuántica relativista. En teoría clásica porque se extraen de el las ecuaciones de movimiento (y otra información) En teoría cuántica relativista (a partir de ahora QFT, i.e. quantum field theory) aparte de las ecs. clásicas se obtiene a partir de el Lagrangiano muchas otras cosas (cantidades conservadas, elementos de matriz S, etc) mediante otros procedimientos. Aprovecho ya para indicar una diferencia. Hay un lagrangiano para una partícula y un lagrangiano para un campo. El lagrangiano de una partícula da, como dije, las ecuaciones de Newton. El lagrangiano para un campo da las ecuaciones de campo. Por ejemplo se puede escribir un lagrangiano cuyas ecuaciones clásicas son las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. Para ser precisos se habla de lagrangiano para una partícula y de densidad lagrangiana para un campo, pero no siempre es necesario precisar tanto. Es importante señalar que el lagrangiano de un campo no siempre tiene la estructura de la ecuación 1. Por ejemplo el del campo electromagnético no tiene esa estructura.

Bien, dije lagrangianos y hamiltonianos. Aún no he hablado del hamiltoniano. En realidad todos habéis visto, en cierto modo, el hamiltoniano. El hamiltoniano s una expresión para la energía. En el caso sencillo de una partícula moviéndose en un potencial el análogo de la expresión 1 será:

2. H= T +V

Voy rápidamente con matizaciones muy importantes. El hamiltoniano es más que la expresión de la energía. Tanto en mecánica newtonina cómo en Lagrangiana se pueden obtener expresiones para la energía que son de la forma 2. Así pues hay más truco. Primero aclaro que es la energía. En formalismo lagrangiano es “una integral primera de las ecuaciones de movimiento”. Intuitivamente puede verse que ciertos sistemas, los no disipativos, conservan una magnitud en su evolución temporal, esta magnitud conservada es la energía.

La clave que diferencia el formalismo hamiltoniano del lagrangiano y que es fundamental en LQG es que en el formalismo hamiltoniano se expresa la energía no en términos de las velocidades sino en términos de los momentos. Explico esto para la partícula libre (i.e. V=0). En este caso L= 1/2 m.v2 . Bien, todos habréis oído hablar del momento lineal, denotado p. Y recordareis que tiene la expresión P=m.v. Así pues podemos despejar v en función de p, i.e. v=v/m. Si sustituimos en el lagrangiano nos da H=(1/2m). P2.

Bien, esto tan sencillo aparentemente oculta muchísimas sutilezas que son claves tanto en teorías gauge como en LQG. Para empezar todos sabéis que es el momento he dicho. ¿Seguro? En realidad no es tan sencillo. El momento tiene una definición técnica, una derivada parcial del Lagrangiano respecto a la velocidad (con una variante adecuada para densidades lagrangianas relativistas y no relativistas).

Técnicamente el Hamiltoniano surge de una “transformada de Legenddre” del lagrangiano, pero a efectos prácticos puede verse cómo una expresión obtenible del hamiltoniano mediante una operación matemática sencilla (que en el caso de la partícula clásica se traduce en el cambio de la expresión 1 por la expresión 2) y la sustitución de las “velocidades” por “los momentos”.

El primer paso puede implementarse sin (excesivos) problemas en cualquier teoría. El segundo ya no. ¿Por qué? Pues porque la sustitución de las velocidades por los momentos puede no estar definida de manera única. Aparecen lo que se llaman ligaduras. Aclaro, algunos habrán estudiado ya lagrangianos y hamiltonianos en mecánica clásica (y a estas alturas estarán aburridos cómo una ostra). Allí hablan de ligaduras y de que el lagrangiano permite escribir las ecs de Newton en “coordenadas generalizadas”. Bien, esas ligaduras no son las mismas conceptualmente a las que acabo de introducir.

Vamos un poco más con las ligaduras. En mecánica clásica casi no hay sistemas con ligaduras. En cuántica relativista las hay siempre en los casos más interesantes. Y esto es porque las famosas (espero) teorías gauge son teorías con ligaduras. El electromagnetismo clásico es una teoría gauge. Y tiene una ligadura. Esta ligadura os sonará, se suele conocer cómo la ley de Gauss y se conocía mucho antes de que Dirac introdujera el concepto de ligadura para sistemas cuánticos (con intención, precisamente, de tratar la gravedad).

Volveremos más tarde con las ligaduras, pero retomemos la cuántica. Ahí deje pendiente ver que era la ecuación de Schröedinger. Pues bien, la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo es lo que se conoce cómo una ecuación de auto-valores si se expresa en términos del Hamiltoniano, en concreto:

3 .Hφ = λ.φ ( φ denota la función de onda)

Por supuesto ahora el hamiltoniano es el hamiltoniano cuántico. Este se obtiene del clásico sustituyendo el momento clásico p por el operador momento (básicamente la derivada con respecto a la posición) y la coordenada de la partícula (que suele aparecer en el potencial) por el operador momento (en realidad ahí casi no hay cambio en la notación, aunque sí en el concepto, ahora la coordenada multiplica a la función de onda).

Esta es la ec. independiente del tiempo. La dependiente del tiempo nos dice que la derivada (parcial) de la función de onda respecto al tiempo es igual al hamiltoniano actuando sobre la función de onda.

Dije al principio que esto es para cuántica no relativista. ¿Que pasa con la cuántica no relativista? Ya anticipe algo, pero voy ahora con ello.

Por culpa del famoso E=m.c2 tenemos que si hay suficiente energía se pueden formar partículas. De hecho como existen partículas sin masa en reposo, por ejemplo los fotones, siempre pueden formarse partículas. Es decir, no hay un número fijo de partículas en el sistema. La cuántica “ordinaria” esta bien para tratar con un número fijo de partículas (en muchos casos con una sola) pero no con un número indeterminado. Por esto, y por otros motivos que no trataré, en cuántica relativsta uno ya no se ocupa de calcular funciones de onda. Ahí lo que se busca es calcular probabilidades de transición (elementos de matriz S). Es decir, la probabilidad de que si en un instante de tiempo (formalmente t en el infinito pasado) hay una serie de partículas incidentes que chocan (interaccionan) en un tiempo posterior (formalmente en infinito futuro) dan por resultado una serie de posibles partículas resultantes. Hay, normalmente, varios resultados posibles para las partículas resultantes, cada uno con su probabilidad. También hay que considerar las distribuciones angulares en que salen despedidas esas partículas. Estrictamente el estudio de choques no es exclusivamente relativista. Existe matriz S para cuántica no relativista. Pero el caso es que el formalismo matriz S es mucho mas importante en QFT. Por cierto, experimentalmente no se obtiene la matriz S sino una magnitud relacionada llamada sección eficaz de dispersión.

Bien, vamos con un aspecto muy importante. Las partículas incidentes y resultantes se corresponden con estados descritos por sistemas de partículas libres (en el infinito pasado e infinito futuro las partículas no interaccionan). En la región de transición “reina” el término de interacción. Los cálculos de las interacciones son complicados. Feynman, para ayudar a entenderlos, y también efectuar los cálculos, introdujo el concepto de partícula virtual. Este es muy importante. La idea es que un fotón y un positrón (por ejemplo) interactúan intercambiando un “fotón virtual” que es la partícula mediadora.

Bueno. un largo post y aún no he dicho nada de LQG. Muchos ya conocéis lo que he expuesto (supongo). Pero necesitaba introducir en un contexto mas sencillo una serie de conceptos que os permitirán entender mejor la LQG. Vamos ya con ello, que ya es hora.

La relatividad general, que describe la gravitación, es una teoría clásica, i.e. no cuántica. De hecho es la unica interacción que hay que no es cuántica. Eso es raro. Uno podría pensar que “el universo es así”. Y además los fenomenos cuanticos que involucren a la gravitacion son muy irreleantes a efectos prácitos (bueno, eso dicen xD). Pero tratar a la vez fenomenos cuánticos y fenomenos gravitatorios de forma clásica es inconsistente. Así que definitivamente hay que buscar una gravitación cuántica (o alguna alternativa, la que sea).

Aquí ya vamos a hacer una importante escisión. De un lado hay físicos expertos en QFT. De otro expertos en RG (relatividad general), y cada uno “barre para casa”. Los QFT, empezando por Feynman, intentaron plantear la gravedad cómo una QFT. Al igual que le fotón media la interaccion lelectromagnética (y los diversos bosones intermedios las otras interacciones) debía haber un mediador de la gravedad. El famoso gravitón. ¿Cómo obtener el gravitón?

Hay dos caminos. Por consideraciones técnicas se sabe que debe ser una partícula de spin 2 (los bosones de las otras interacciones, fotón, gluones bosones W+- y Z) son de spin 1. Si se parte de un Lagrangiano para una partícula de spin 2 en un espacio plano (sin gravedad) y se aplican ciertas condiciones de consistencia se llega a una recursión que termina llevando a las ecuaciones de Einstein (hay ahí muchas sutilezas, claro).

Otro camino es partir de las ecuaciones de Einstein. Voy a tratar este con calma porque es clave para la LQG. La relatividad especial se describe (en el formalismo de Minkowsky) por una métrica en un espacio de 4 dimensiones (la cuarta es c.t, dónde c es la velocidad de la luz yt el tiempo). Esta métrica es “plana”. Para entendernos, constante. Siempre puede reducirse (mediante un cambio de coordenadas), para cualquier punto a la forma de una matriz diagonal (-1,1,1,1). El campo gravitatorio modifica esa métrica y aunque localmente siempre puede reducirse a esa forma globalmente no. Digamos que vamos a tener una métrica dónde cada elemento de matriz es una función de las coordenadas y el tiempo.

Aclaro que es una métrica. es un objeto matemático (matriz, tensor, forma diferencial, depende del formalismo, pero para entendernos matriz nos vale) que permite medir longitudes de vectores. La longitud de un vector ordinario es |v|=sqrt(vx2 + vy 2 +vz2). Pués bien, si el vector tiene cuatro dimensiones su métrica será algo que generalizará esa expresión. y nos permite calcular su longitud. A partir de la longitud de dos vectores podemos calcular el ángulo que forman. Y midiendo ángulos podemos comprobar si vivismo en un espacio plano o en uno curvo. Vale, hasta aquí una minidivulgación de relatividad. Seguimos.

Las ecuaciones de Einstein son unas ecuaciones para la métrica. unas ecuaciones diferenciales. nos relacionan unas derivadas de la métrica, que representan la curvatura del espacio-tiempo con un término que representa la energía (y por tanto masa) de la materia. Formalmente:

4. Curvatura= Tensor energía momento.

Einstein llegó a esta ecuación mediante algo llamado “desviación geotética”, pero no nos ocupamos ahora de eso. Son, las ecuaciones de Einstein, unas ecuaciones no lineales complicadas, que implican muchos conceptos resbaladizos y etc. Pero si recordáis el principio de este post recordareis que os dije que la ec de Schröedinger vista sólo como ec perdía. Se ganaba mucho viéndola como proveniente de un hamiltoniano. Y este hamiltoniano proviene a su vez de un lagrangaino. ¿Existen lagrangianos y hamiltonianos para las ecs. de Einstein? Ahí quería yo llegar (de hecho podría haber empezado el post por aquí).

Lagrangianos si hay. Es fácil llegar a ellos. De hecho a mi me explicaron la RG partiendo de un Lagrangiano cuya expresión se obtenía por consideraciones de simetría (y “un poquito” de geometría diferencial xD). A partir de ese Laggrangiano por las ecs de Euler-Lagrange se llegaba a las ecuaciones de Einstein. Vale, lagrangianos sí, ¿y el hamiltoniano? Uff, eso es otra historia, y el corazón de parte de la LQG. Pero antes otro inciso.

Os dije que los QFT querían gravedad a partir de partículas virtuales, el gravitón. Bien, el gravitón ellos lo identificaban, en el formalismo geométrico, cómo una perturbación de la métrica. Formalmente gμν=nsub>μν + hsub>μν (g es la métrica general, n la de minkowski y h la perturbación o gravitón. La idea es expresar el lagrangiano de la RG en términos de esta división de la métrica y considerar la v cómo un campo. Este es un campo que se corresponde a una partícula de spin 2. En realidad se puede usar este formalismo considerando perturbaciones respecto a métricas curvas. El primero en introducir esta idea fué Feynman y el primero en desarrollarla formalmente fué Bryce de Witt con el método del campo de fondo.. En QFT se pueden usar tanto el lagrangiano como el hamiltoniano para obtener matriz S. De Witt obtuvo mediante esta descomposición elementos de matriz S para el campo gravitatorio, eso sí de un modo muy lioso. Mas adelante t´hoof y Veltman (y luego otros) usaron los métodos de las por entonces triunfantes teorías gauge para expresar lo mismo en formas ligeramente mas sencillas.

Un momento, ¿he dicho que de Witt obtuvo expresiones para la matriz S? Entonces ¿no acaba ahí la historia? Pues no, claro. El problema es que esas expresiones llevaban a resultados infinitos. En realidad nada nuevo, las QFT siempre llevan a resultados infinitos. Lo que pasa es que algunas QFT permiten que se eliminen esos infinitos (son renormalizables) otras no. Las no renormalizables se consideran inútiles. Y la RG cuantizada de este modo salió no renormlalizable. La gente de QFT se encontraron, trabajando con la cromodinámica cuantica, con la necesidad (o mas bien conveniencia) de cuantizar objetos unidimensinonales, digamos cuerdas. Tras una serie de vueltas rocambolescas se vió que esas cuerdas tenían por ahí un graviton y ya se lió. Treinta años de teoría de cuerdas sin ningún resultado práctico, pero eso es otra historia, que díria el cronista de Conán el bárbaro.

Los puristas de RG vieron que esa cuantización de perturbaciones a la métrica desde su perspectiva era muy poco fiel al espíritu de la RG. Así que no les sorprendía que diera una teoría inconsistente. Así pues buscaron una teoría no perturbativa. Pero antes, mucho antes, buscaron un hamiltoniano. Ahí una vez mas tenemos a Bryce de Witt (el mismo que dirigió la tesis a Everet de la que surgió la interpretación de los muchos mundos de la mecánica cuántica). Sin embargo este formalismo se conoce como formalismo ADM (Arnowitz, Desser Misner). Ellos trabajaron en este tema motivados por un aspecto interesante de la RG. Enel resto de teorías la energía es un concepto bien definido. En RG sin embargo no lo es. Una definición tentativa usa lo que se conocen como “pseudotensores” (expresiones que son tensoriales únicamente bajo un grupo restringido de transformaciones) como por ejemplo el de Landau-lipshitz, pero no son aplicables en general, y además no son nada elegantes. Se supone que el hamiltoniano debería dar una definición correcta de la energía aplicable en cualquier caso. En realidad no tuviern un éxito total, pero para casos asintóticamente minkowskianos funciono y dió lugar a lo que se llama masa ADM de un espacio-tiempo

Bien, obtener un hamiltoniano es muy compilado para la RG. Se tiene que seguir una serie de pasos un tanto sorprendentes. Lo primero es descomponer el espacio-tiempo en un producto (foliación) de espacio y tiempo (no entraré en conceptos de topología), formalmente pondré T=ExR.

Bien, lo siguiente es introducir una métrica para el espacio tridimensional curvo E (o más bien una familia de espacios, uno para cada valor de la coordenada “temporal”). Aparte hay una función de paso entre el espacio en un “instante” t1 y uno t2 que se descompone en:

5. T= N +uS

Aquí T ya no es la energía cinética. Y hay subíndices varios de por medio que omito poner. Indico simplemente que N es la función de lapso y que S es el vector de desplazamiento (de una hipersuperficie a otra).

Bien, el truco consiste introducir una métrica intrínseca y una curvatura intrínseca (referente al espacio tridimensional E) y expresar la métrica y curvatura en 4 dimensiones en términos de esta métrica y esta curvatura. La curvatura intrínseca se expresará en términos de las funciones lapso y vector desplazamiento indicados anteriormente. Pues bien, una vez hecho esto podeos plantear un lagrangiano en términos de estas nuevas variables. El lagrangiano “normal” no tiene nada claramente identificable con “velocidades” o “momentos” que nos guíen a buscar un hamiltoniano. El lagrangiano expresado en estas variables sí (no puedo entrar en detalles de que es cada cosa por motivos de las limitaciones para escribir fórmulas, y además tampoco aportaría mucho teniendo en cuanta que lo que estoy viendo ahora es un paso intermedio hacia la LQG)

Pero claro, no todo iba a ser tan fácil (cómo si hasta aquí hubiera sido fácil xD). Este lagrangiano es singular. Es decir, que los momentos no pueden despejarse a partir de las velocidades. Hay ligaduras. Pero con ligaduras o sin ellas puede haber un hamiltoniano. el hamiltoniano contienen ligaduras.

Ahora cuento una cosa que no conté en su momento. Un hamiltoniano con ligaduras tiene dos tipos de ecuaciones. Las normales hamilton y las de ligadura. Como, eso sí, dije las ecuaciones de ligadura para el campo electromagnético es la ley de gauss. Esas ecuaciones de ligadura relacionan estados físicos equivalentes. La otra parte del hamiltoninao que no es ligadura, dicta la evolución temporal de los estados físicos.

Pues bien, en RG tenemos un “pequeño problemilla”. Resulta que el hamiltoniano no tiene ni una sola parte que no sea de ligadura. Por tanto no hay evolución temporal.

Bien, ya casi tenemos planteado el quid de la cuestión. El hamiltoniano este tiene dos ecuaciones de ligadura. una viene a representar la invariancia bajo cambio de coordenadas de la RG (invariancia bajo difeomorfismos dicho de otro modo).Es una ecuación relativamente sencilla. La otra ec. de ligadura es mucho mas compleja, es no polinomial. Y tiene nombre propio. Se llama ecuación de Wheeler de Whitt. Viene a representar la “física” del sistema.

Esta ecuación es dificilísima de resolver. Sólo en casos muy sencillos hay soluciones aproximadas. Son lo que se conocen como modelos de “miniespacio” o “minisuperespacio” (nada que ver con la supersimetría pese al nombre).

Bien, antes de exponer mas cosas voy con el Lagrangiano. Para ser exactos con el lagrangiano “normal”. No he dicho nada pero el tratamiento de la QFT basado en lagrangianos parte de la integral de caminos de Feynman. La idea intuitiva es que una partícula cuántica recorre todas las trayectorias entre un punto y otro. Cada trayectoria contribuye a la integral de camino con un factor de exponencial imaginaria, e-iS dónde S es la acción (la integral del lagrangiano a lo largo de la trayectoria). De ese modo los estados que cumplen las ecuaciones clásicas son los que más contribuyen-los siguientes que mas contribuyen, si los hay, son los instantones-). Bien, esto para partículas puntuales. Un campo pasa por todas sus configuraciones posibles y etc. Los detalles son terribles, claro. Aunque conceptualmente delicada y matemáticamente no muy bien definida la integral de caminos es muy potente para generar elementos de matriz S. Las teorías de campos gauge se cuantizan normalmente en formalismo lagrangiano (aunque también pueden cuantizarse con hamiltonianos) + integral de caminos.

Bien ¿puede aplicarse la integral de caminos a la RG? Ya dije que en forma perturbativa es lo que se había hecho. Pero Hawking usó una pequeña variante, lo que se conoce como euclidean quantum gravity en que rota a un tiempo imaginario. La integral de caminos es casi incalculable para la RG, pero para ciertas configuraciones sencillas puede calcularse en una aproximación conocida cómo aproximación WKB (wenzel krammers brillouin). Y, curiosamente, esta aproximación nos lleva a una ecuación que, “curiosamente”, es la ecuación de Wheller de Witt.

Nota, hasta ahora no he dado ninguna bibliografía, creo que es hora de recomendar algo. Para el tema de la euclidean quantum gravity hay libros enteros, pero no me parece que merezca la pena leerlos pués no parece tener un gran futuro. Pero hay un librito que recoge unas conferencias de Hawking y Penrose que tratan en parte estos temas y que es fino, i.e. no muy extenso, y muy agradable de leer. Se llama “la naturaleza del espacio y el tiempo”. La formulación ADM de la gravedad viene explicad en los apéndices del famoso Wald De relatividad general.

Bien, pués hasta aquí por ahora. He introducido una serie de conceptos que sitúan el origen de la LQG, plantean las dificultades que había en un momento dado. En otro futuro post indicaré cómo desde la via hamiltoniana se introducen unas nuevas variables (en vez de la métrica la conexión) que dan un hamiltoninao de una estructura de ligaduras más sencilla que puede resolverse en términos de funciones cilíndricas la primera y de spin networks la segunda (y explicaré como los lazos, willson loops, también resolvían esas ligaduras en versiones mas antiguas de la LQG). Explicaré cómo ese formalismo permite deducir que el área esta cuantizada. Explicaré que esa cuantizacion permite calcular la entropía de un agujero negro.

También comentaré que en casos sencillos (simetrías) hay variantes mas simples de la LQG que se aplican a la cosmología (loop quantum cosmology) y a las singularidades de los agujeros negros. Explicaré el problema del tiempo en LQG canónica. Y explicaré que ese problema, entre otros motivos, lleva a otro punto de partida, las spin foams, que son una especie de versión lagrangian y de integral de caminos de la LQG canónica (basada en hamiltonianos). Pero comentaré que los lagrangianos allí usados no son exactamente el de Einstein sino “más o menos equivalentes” y que hay varias aproximaciones.

También explicaré que hay el problema del límite clásico. No se puede a partir del hamiltoninao llegar a un gravitón a un espacio de Minkowsky,y por tanto conectar con la RG clásica. En spin foams hay un cálculo de un propagador de un gravitón, que sí daría esa conexión.

Y por supuesto explicaré las críticas que les hacen los de cuerdas a la LQG.