Posts Tagged ‘Relatividad’

Sobre la masa negativa

agosto 6, 2015

Como buen aficionado a la ciencia ficción me gustaría que ya existiesen cosas como los agujeros de gusano, los motores de distorsión (warp drives) y, en general, el tipo de cosas que las ecuaciones de la relatividad general nos muestran que seríab posibles si existiera la “materia exótica”, entendiendo como tal aquella que viola alguna de las condiciones de energía positiva.

El caso es que los medios habituales para conseguir esa materia exótica requieren crear dispositivos como las placas paralelas del famoso ejemplo de Casimir. La idea es simple, uno junta mucho dos placas metálicas y en la zona entre ambas se produce una cancelación de modos cuánticos que hace que en medio de las placas haya una muy leve violación de esas condiciones de energía positiva, es decir, que haya “energía negativa”.  Hay muchos problemas en llevar esa idea a una realización experimental y, en todo caso, la energía negativa es tan pequeña que no sirve para gran cosa.

Eso me llevó a plantearme una cuestión. En una zona del espacio normal, dónde se verifican las condiciones de energía positiva, se crean partículas de masa positiva ¿Sería factible que en las zonas de energía negativa se crearan partículas de masa negativa?. Caso de ser así sería muy útil. Uno podría tener sus placas de Casimir creando partículas de masa negativa, que podríamos extraer y almacenar, Esas partículas estarían disponibles como materia exótica una vez retiradas las placas, Claramente, cómo la cantidad de energía negativa es muy pequeña, sólo se podrían crear partículas de masa muy pequeña. De las partículas conocidas los únicos candidatos posibles serían los neutrinos, que no pueden ser almacenados, pero bueno, si damos con otra forma de crear zonas de mayor energía negativa tal vez pudieramos crear cosas como electrones “exóticos”.

Busqué si había algo en internet al respecto de la masa negativa y sólo encontre, en ese momento, una referencia a un trabajo de Robert L. Forward, físico y famoso escritor de ciencia ficción hard. Ahi explicaban que había que tener en cuenta la masa inercial por un ladoy la gravitacional por otro, y venía un análisis detallado de la masa gravitacional usando física newtoniana. Me pareció un análisis muy insuficiente así que me puse, en  ratos libres, a intentar hacer un análisis usando teoría cuántica de campos y relatividad general, y con algunas consideraciones de teoría de cuerdas, que es lo suyo en estos tiempos.

El punto de partida sería la ecuación de Klein-Gordon

wpid-wp-1438838368659.png

Ahí se puede observar que la masa aparece en un único término, y aparece elevado al cuadrado así que curiosamente, no se distingue una masa positiva de una negativa. Uno podría pensar que esto implica que la ecuación de KG es totalmente insensible al signo de la masa, pero uno debería ser cuidadoso y examinar con cuidado mas detalles de la misma. Bien, una de las cosas que son importantes en la ecuación de KG es que debe definir una densidad de probabiliad y una corriente conservada. Sí alguien ha estudiado mecánica cuántica ordinaria habrá visto que la densidad de probabilidad es el cuadrado de la función de onda \Phi^*\Phi . En una teoría cuántica de campos eso no es automáticamente así. La densidad de probabilidad va a ser la componente 0 de una cuadricorriente de Noether asociada a simetrías externas. Para el caso del campo escalar la densidad toma la forma (ver, por ejemplo, el libro de Hatfield “Quantum field theory of point particles and strings”:

image

Uno ve inmediatamente que en esa densidad de probabilidad la masa aparece dividiendo, y sin elevar al cuadrado. Eso significa que la densidad de probabilidad de una partícula de masa negativa será la opuesta de la de una de masa positiva. A poco que uno esté familiarizado con la teoría cuántica de campos ya sabrá la historia de la ecuación de Klein-Gordón: aparecen estados de probabilidad negativa, pero estos pueden ser interpretados como antipartículas que pueden interpretarse como antipartículas que viajan hacia atrás en el tiempo. Sí nos vamos a el campo escalar complejo puede probarse que éste campo tiene una simetría interna U(1), que, vía teorema de Noether, se convierte en una corriente cuya integral en una superficie cerrada da una carga que uno podría asociar (aunque no necesariamente) con la carga eléctrica. Se puede ver que las antipartículas tienen masa negativa. Pues bien, según éste análisis uno podría extraer la conclusión de que cambiar el signo de una masa -en este contexto masa inercial- es equivalente a intercambiar partículas por antipartículas, lo cuál choca con la hipótesis, no demostrada, de que partículas y antipartículas tienen la misma masa. Todo ésto es para la ecuación de KG libre, luego ya analiamos que pasa con las interacciones entre partículas, y con eso de que las antipartículas puedan tener masa negativa.

Antes de ir con otra ecuación vamos a otro aspecto importante, el de el campo gravitatorio creado por las partículas. En las ecuaciones de Einstein la parte que describe la materia es el tensor energía momento. Ese tensor aparece en los libros de teoría clásica y cuántica de campos, para la relatividad especial. Viene a ser poner en una cantidad tensorial las cantidades conservadas que se enseñan en los cursos de mecánica lagrangiana. Recordemos, asociada a una simetría del lagrangiano bajo traslaciones espaciales hay una cantidad conservada, que es el momento lineal. Asociada a una simetría bajo rotaciones se asocia la conservación del momento angular, y asociada a una invarianza bajo traslaciones temporales se asocia la conservación de la energía. Combinando eso en un tensor se obtiene el susodicho tensor energía-momento.

image

Esa expresión es válida en relatividad especial. En relatividad general hay que sustituirla por otra, que viene a ser la variación de el lagrangiano respecto a la métrica (los detalles vienen discutidos en, por ejemplo, el libro de relatividad general de Wald, en el apéndice sobre formulación Lagrangiana de la relatividad general”. La expresión concreta es:

image

Donde Sm es la acción de la materia. Para el lagrangiano de KG, en un espacio curvo (que es el normal, pero sustituyendo las derivadas normales por derivadas covariantes) el resultado de evaluar esa expresión nos da:

image

Se puede observar que, una vez mas, la masa aparece al cuadrado y, por tanto, según eso, una masa negativa debería producir exactamente el mismo campo gravitatorio que una masa positiva, lo cuál es realmente chocante. En los libros dónde se obtiene esa expresión no he visto ninguna mención de ese hecho, aunque me consta que la gente de relatividad general ha analizado la masa negativa. Hablaré mas de ese aspecto posteriormente. De momento una observación basada en un cálculo (trivial) propio. Sí uno coge un tensor energía momento clásico el caso mas sencillo es el de un fluido perfecto (es decir, de viscosidad nula). Ese tipo de tensor se usa en los modelos cosmológicos mas sencillos, cómo el de FRW (Friedman-Robertson-Walker), o el de la ecuación de Tolman-Openheimer para modelizar una estrella (soluciones interiores de la ecuación de Schwarschild). Su expresión es:

image

En esa ecuación rho es la densidad, u la cuadrivelocidad del fluido y P la presión. La masa total es la integral de la densidad. Obviamente ahí una masa negativa significa una densidad negativa. Sí se va a usar en una ecuación cómo la de Schwarschild rho debe tener simetría radial y, por tanto, las integrales serán sólo en la coordenada radial. Un caso entretenido es el de una capa esférica de densidad negativa (y, para simplificar, presión nula). Sí uno resuelve la ecuación correspondiente se obtiene de forma muy sencilla que sí esa capa externa de densidad negativa tiene la misma masa que la masa interna positiva se obtiene en el exterir la métrica de Minkowsky en esféricas, es decir, se ha apantallado la masa interior (esto es entendible también desde el análogo para relatividad general del teorema de Gauss en electroestática, el teorema de Ostrogowsky creo que se llama). Éso podría permitir cosas muy entretenidas desde el punto de vista de la ciencia ficción. Se podría, por ejemplo, ocultar gravitatoriamente cosas cómo un planeta (o una nave cómo la estrella de la muerte). Sí eso se combina con una ocultación visual nos lleva a la posibilidad de que una raza alien pudiera colocar un planeta, o una luna, al lado de la tierra y no se lo podría detectar ;-).

Bien, volvamos a un terreno mas serio. Al principio había mencionado que la materia exótica era la que violaba alguna condición de energía positiva, pero no había explicado en que consiste eso. La razón es que explicar ese concepto requiere el tensor de energía momento y aún no lo había definido. La idea es que la mayoría de tensores energía-momento son de la forma 1 de la clasificación de Hawking-Ellis.

image

Se ve que es muy parecido al tensor de un fluido ideal, con una densidad y una presión. La idea es que ese tensor, contraido con cuadrivectores, debe dar un resultado positivo. Cómo en relatividad hay cuadrivectores positivos, negativos y nulos no es tan sencillo cómo el caso de formas bilineales definidas positivas y hay varias definiciones posibles para la energía positiva. Visser en su libro de referencia sobre agujeros de gusano enumera 7 tipos diferentes. En el siguiente apartado hace un análisis de las posibles violaciones. Lo primero que nos enseña es que el campo escalar de Klein-Gordon no viola ninguna de esas condiciones. Lo hace para masa positiva, pero, cómo ya hemos visto, también es válido para masa negativa.

El siguiente ejemplo que analiza es el de Casimir, que tanto he mencionado. El truco es que las placas paralelas conductoras modifican el vacío de la electrodinámica cuántica.

image

El tensor correspondiente es

image

Ahí z es la coordenada perpendicular a las placas, separadas por una distancia a. Se puede ver facilmente que ese tensor viola varias de las condiciones (un buen signo de ello es que la densidad es negativa). Es interesante señalar que la materia de las placas es ordinaria y que es un efecto cuántico, debido a la modificación de la energía del vacío en QED, debido a las placas, la que genera la energía positiva. Es decir, no se necesita materia exótica para tener energía negativa. Lo interesante sería que se pudiera crear una zona de energía negativa para crear materia exótica. Visser analiza algún ejemplo más cómo por ejemplo el entorno de un agujero negro (vacío de Hartle-Hawking) y ve que allí hay una violación considerable de las condiciones de energía positiva. También algunos campos de los que se usan en modelos de quintaesencia para explicar la expansión acelerada del universo hay violaciones de la condición de energía débil. Realmente uno podría considerar que esos campos son energía exótica, pero no tienen masa negativa, y no cubren el analisis que yo pretendía. Ya hemos visto que con un campo de Klein-Gordon no se puede lograr eso.

La siguiente opción, en orden de complejidad, dentro de las ecuaciones relativisatas es la de Dirac.

image
Aqui la masa no esta elevada al cuadrado así que esta ecuación distingue masa positiva de negativa ¡Menos mal! Pero no cantemos victoria todavía, que también nos va a dar unas cuantas sorpresas.

En fin, veo que, cómo es habitual, en cuanto intento explicar algo que considero medianamente interesante las entradas se vuelven muy largas así que lo dejo aquí de momento. Quedan muchas cosas que comentar, cómo por ejemplo las ligeras relaciones entre ésto y la correspondencia AdS/CFT de Maldacena, las ecuaciones para spin mayor que 1/2, el caso del bosón de Higgs, etc, etc.

Quien me conozca seguramente estará aterrado ante semjante afirmación porque sabe de mi tendencia a no publicar las entradas sucesivas de un tema cuando decido dividirlo en varias partes. Para intentar tranquilizarle voy a comentar un aspecto técnico sobre wordpress y el galaxy note. Escribir matemáticas en el note, con el S-pen, es fantástico, y las característicar para hacer copy/paste de fórmulas de libros para tenerlas a mano también funciona bastante bien. En contraposición escribir fórmulas con latex en wordpress es muy tedioso (aunque bienvenida sea la posibilidad). He buscado bastante tiempo una herramienta que tranforme una fórmula escrita a mano al latex correspondiente y lo copie al portapapeles, para así poderlo pegar en el wordpress, pero no he dado con ella. Tampoco veía un modo sencillo de que las imágenes copiadas al portapapeles del note pudieran ser incluidas en wordpress, hasta que he descubierto que mediante un programilla del note (scrappbook) y la opción de exportación a la aplicación de worpress para android puedo subir las imágenes recortadas al portapapeles de manera razonablemente directa. He usado esa opción en casi todas las fórmulas de esta entrada, y es mucho mas rápido que el latex. Supongo que, en cierta manera, era esa diferencia de flexibilidad a la hora de escribir fórmulas entre el note y el blog- unido a otros factores, como que la física teórica está un poco aburridilla- lo que me ha tenido tan reacio todo este tiempo a escribir por aquí. Confío que, con esta nueva facilidad, me animaré a escribir de nuevo mas menudo.

La energía Oscura I: Introducción

diciembre 30, 2013

El día de los inocentes, Francis publicaba una entrada dónde se anunciaba una señal a tres sigmas de un fotón oscuro. BaBar observa a 3 sigmas la primera señal de un fotón oscuro con 8,93 GeV. Siendo el día que es la primera respuesta se toma la entrada cómo una broma, pero el caso es que si uno va al pdf que vincula francis Search for low-mass Higgs and dark boson @BaBar,” High Energy Physics in the LHC Era, 5° International Workshop, Dec. 2013 . Leer diapositivas de una charla de experimentales es una pequeña tortura para un teórico nato cómo yo, pero me parece entender que ahí dicen que no han encontrado nada a un nivel significativo. Claro que Francis dice que han encontrado algo a 3 sigmas, lo cuál es no significativo.

En todo caso me viene de perlas esa entrada porque quería escribir hace un tiempo una entrada propia sobre el tema de la energía oscura. Para la exposición del tema voy a seguir el libro de Wang, Dark Energy.

Lo primero, por si a estas alturas hay algún despistado que lo desconozca, es aclarar que es esto de la energía oscura. A finales de los 90 en un estudio sobre la expansión del universo se comprobó que en vez de expandirse de manera cada vez mas lenta, según predecía el modelo de FRW (Friedman-Robertson-Walker), resulta que la expansión era cada vez mas rápida. Como genérico para referirse a lo que quiere que provoque esa expansión se puede usar el término de “energía oscura”, aunque otra gente prefiere reservar esa denominación para cierto tipo concreto de explicaciones.

Para explicar la energía oscura hay diversas aproximaciones. Unas pasan por suponer la presencia de algún tipo de campo cuántico, de tipo bosón escalar, cuya dinámica es la responsable de la expansión, estos son los que, estrictamente, se conocen como modelos de energía oscura. Los mas conocidos son la quintaesencia, el campo fantasma (phantom field) y el gas de Chaplyigin (todos ellos con inspiracióin en teoria de cuerdas).

Otras consisten en modificaciones de la gravedad, entre estas tenemos las gravedades f(R), en las que al término básico del lagrangiano de Einstein se le añaden potencias del tensor de Ricci R, términos que surgen de manera natural en teoria de cuerdas cómo perturbaciones al término sencillo. Luego tenemos el modelo de DGP (Dvalli, Gabadanze y Porrati), que parte de un escenario de cuerdas tipo Braneworld. Otra opción es el modelo de Cardassian, que modifica las ecuaciones de Friedman. Estos son los modelos que aparecen mencionados en el libro de Wang, aparte tenemos los modelos de f(T) dónde se modifica la gravedad añadiendo términos que dependen de la torsión.

Y luego, por supuesto, el modelo mas aceptado, el de la constante cosmológica, la energía del vacío. Voy a hacer una breve exposición que no sigue las líneas del texto de Wang sino que está sacada de algunos artículos de review sobre el tema. Es el mas aceptado por varios motivos. Uno de ellos es que ese es un problema que ya existía antes del descubrimiento experimental de la expansión acelerada del universo. Sí uno calcula la energía del vacío de una teoría cuántica se encuentra con que el valor que sale es muy alto, cincuenta y tantas veces mayor que el que tendría la constante cosmológica si lo usamos para explicar esta expansión. Antes de la observación del universo acelerado la idea mas habitual al respecto es que debería haber algo que ajustase a 0 esa constante, algún tipo de simetría. Las teorías supersimeétricas, por ejemplo, tienen constante cosmológica 0 pues los modos fermiónicos se cancelan con los bosónicos. El problema es que cuando se rompe la supersimetría se genera una constante cosmológica. Si la supersimetria es local (e incluye la gravedad, es decir, tenemos una teoria de supergravedad) la consante cosmológica puede tomar un valor negativo aparte de uno positivo. En todo caso, lo normal, es que tome un valor grande. Para evitar eso Weinberg ideó un mecanismo que permitía, vía la existencia de multiples universos, cada uno saliendo del otro por saltos cuánticos en la energía de vacío, una constante cosmológica pequeña. Nosotros vivíríamos en uno de esos universos porque sólo en esos universos puede haber vida. Ese es el principio antrópico y la teoría del multiverso (bueno, parte de ella). La verdad es que antes del descubrimiento experimental de la expansión del universo no había una preocupación muy seria (o al menos urgente) sobre el tema de esta energía del vacío y si bien chocaba bastante el tema se pensaba que sencillamente no se entendía bien el asunto de la energía del vacío, o que había una simetría rara que dejaba el valor en 0. Sólo a raíz de esta “dark energy” se tomó el asunto en serio, y de ahí surgieron diversos trabajos que llevaron al landscape de la teoria de cuerdas.

Según vaya teniendo tiempo iré poniendo detalles matemáticos de estas diversas teorías, pero por ahora lo dejo aquí.

Construyendo una máquina de viajes en el tiempo a destiempo

mayo 19, 2012

Hoy en documaniatv.com han dejado el link a un documental de discovery Channel sobre el intento de construir una máquina del tiempo. No voy a dejar el vínculo por aquello de los derechos de autor y tal, aunque supongo que cualquiera sabrá como encontrarlo con los datos que doy ;).


De momento esta es la única máquina del tiempo plenamente funcional.

El caso es que ese documental habla sobre la teoría de un físico americano, Ronald Mallett, que tiene unos papers publicados sobre el tema, lo cuál no es algo nuevo, hay bastante gente que publica sobre esas posibilidades. Lo sorprendente es que realmente está intentando llevar a la práctica la teoría y construir una máquina que pueda transportar en el tiempo partículas subatómicas. En el documental explica bastante bien los aspectos de la relatividad especial y general en que se sustentan las posibilidades de viajar en el tiempo. También comenta sobre la historia del viaje del tiempo en la ciencia ficción. Para esa parte cuenta con la colaboración del nieto de H.G. Wells. Recordemos que HG Wells escribió la famosa novela del viaje en el tiempo (de la que hace unos años se publicó una continuación autorizada, altamente recomendable, escrita por Stephen Baxter). El nieto, director de cine, dirigió una adaptación de la novela de su abuelo, no tan recomendable cómo el libro de Baxter, pero al menos aceptable. Con tan ilustre linaje inevitablemente se usa a estos dos señores para ilustrar la famosa paradoja del viajero en el tiempo que intenta asesinar a su abuelo, y sus soluciones dentro del marco de la física clásica.

También se comenta una solución a la paradoja del abuelo dentro de la teoría del multiverso que comenta el físico David Deutsch. Esta idea se incluye dentro de la interpretación de Everet de la mecánica cuántica. Por lo que tengo entendido Deutsch está considerado una autoridad dentro de la computación cuántica. Y sé que sus ideas han sido usadas en al menos dos novelas de ciencia ficción. Una de ellas es del desparecido Michael Crichton, “rescate en el tiempo” (de la que hay la correspondiente película) y usa la interpretación de Deutsch de los viajes en el tiempo, Otra es la trilogía “el paralaje Neanderthal” de Robert J, Sawyer en la que si bien no usa viajes en el tiempo si usa la idea de los multiversos y, en particular, del contacto con un multiverso alternativo dónde sobrevivieron los neanderthaales y no los cromagnon. A mi, la verdad, no me gustan nada estas versiones desde el punto de vista de la física teórica, y luego comentaré más sobre ello.

El caso es que aunque el documental es bueno explicando lo ya conocido no se explaya tanto en la idea central de Mallet. Las CTC (closed timeline curves, o lineas de tiempo cerradas en castellano) aparecen en varias soluciones de la relatividad general. He visto en artículos varias de esas soluciones, pero no he visto con detalle la que usa como inspiración Mallet, en la wiki lo explican por encima, aunque desde luego par ami no es suficiente: Agujero negro de Kerr

La idea, tal cómo la explica Mallet, es que un agujero negro de Kerr, es decir, un agujero negro giratorio, arrastra el espacio-tiempo a su alrededor mas inmediato. Eso es lo que se conoce cómo la ergosfera y es una zona en la que no se puede permanecer parado respecto al infinito por muy rápido que uno intente moverse en dirección contraria al giro del agujero. Lo que afirma Mallet es que, de algún modo, ese arrastre hace que, respecto a un observador externo, el objeto arrastrado por la ergosfera pueda llegar a viajar a una velocidad superior a la de la luz. Esto no es contrario a la relatividad porque esta dice que ninguna velocidad local puede ser mayor que la de la luz. Aquí estaríamos comparando velocidades en puntos distintos y estas si pueden ser mayores que la de la luz. Eso pasa también, por ejemplo, con la métrica de Friedman-Robertson-Walker que describe un universo en expansión: dos puntos suficientemente alejados pueden llegar a alejarse con una velocidad mayor que la de la luz. Me quedan dudas respecto a si el viajero del tiempo que use un agujero de Kerr puede hacer ese viaje sin llegar a cruzar el horizonte de sucesos, pero bueno, ya lo miraré.

El caso es que como, obviamente, Mallet no tiene un agujero negro debe usar otra cosa que lo simule. Su idea es usar pulsos de Laser de mucha potencia. Cómo la energía curva el espacio lo mismo que la masa se supone que con una estructura cilíndrica hecha con muchos de esos laser puede crear un efecto de arrastre del espacio-tiempo similar a la del agujero negro, y con eso crear la máquina del tiempo. El problema es que según comentan en la entrada de la wiki sobre Mallet hay unos autores que encontraron fallos en sus artículos teóricos que Mallet no ha subsanado satisfactoriamente. Eso no ha impedido que obtenga subvención para su proyecto. Y, claro, en momentos dónde el dinero para la ciencia es mas bien escaso (si, también en los USA) me parece algo inadecuado que se dejen de lado, con presupuestos muy reducidos, proyectos de ciencia muy importantes y con una base sólida y se apueste por otros no ya arriesgados sino de los que casi, casi se ha demostrado que son incorrectos en principio. Este de Mallet parece ser uno. Otro, del que se ha hablado más es uno de un autor, Hogan, que intenta probar una versión muy sui géneris del principio holográfico. Cómo ya se ha hablado de ello en otros blogs no daré detalles.

Había comentado antes que iba a hablar más sobre la cuántica del viaje en el tiempo. El caso es que la entrada ya me ha quedado un poco larga, y ando apurado en este momento, así que lo dejaré para ulterior ocasión ;).

Minicurso de Relatividad General

mayo 13, 2009

Este es un minicurso de relatividad general para gente con una buena base en física general. No se asume que sepa previamente geometría diferencial, pero se asume que sí sabe que es una matriz, la notación de subíndices, ecuaciones diferenciales y cosas así.

Antes de ir con la RG una breve introducción a un aspecto de la relatividad especial:

Se pueden obtener las transformaciones de Lorentz en RE sin usar métricas, Einstein lo hizo así. Sin embargo usando métricas la cosa queda más elegante y susceptible de generalizar.

Primero aclarar que los físicos teóricos tendemos a trabajar en unidades naturales en que (cuando no en unidades “sobrenaturales” en que todo lo que molesta es mientras no sea imprescindible mostrarlo explícitamente).

Recordemos primero el concepto de métrica (por si no se tienen claros los conceptos de álgebra de primero).

La distancia usual entre dos puntos es:

d= \sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a-y_b)^2 +  (z_a-z_b)^2}

Podemos pensar que esa distancia la caracterizamos por el módulo del vector \mathbf{v}=(x_a-x_b,y_a-y_b,z_a-z_b) .

Así que tenemos que el módulo del vector se puede caracterizar por una matriz g que cumpla que ||\mathbf{v}||=\mathbf{v} g \mathbf{v}^T aquí g sería una matriz que en su diagonal tendría todos los elementos igual a 1 y el resto 0. ( \mathbf{v}^T denota el vector transpuesto).

Esta matriz caracteriza totalmente como medir distancias entre puntos. Si tomamos otras matrices tendremos otras métricas.

El espacio de Minkowski, el de la relatividad especial, consta de las 3 coordenadas habituales, x,y,z, y una extra, el tiempo, pero para tener las magnitudes correctas en vez de t se coge ct.

La esencia de la RE es que la máxima velocidad posible es c, equivalentemente a que c es constante para todos los observadores inerciales.

Considera dos puntos a=(x_a,y_a,z_a), b=(x_b,y_b,z_b) y que se emite un rayo de luz en t_a que llega a b en t_b.

Ese rayo cumple:

c^2 (t_a-t_b)^2 =(x_b-x_a)^2  +(y_b-y_a)^2  + (z_b-z_a)^2

(la distancia que recorre la luz es ct, si ha llegado a b en t_b-t_a habrá recorrido la distancia que separa esos puntos, elevando esa identidad al cuadrado obtienes la fórmula anterior)

Esa fórmula se puede poner:

ds^2 = dx^2 + dy^2  + dz^2 -c^2 dt^2 =0 (dx=x_b-x_a , etc).

Y eso ya tiene la forma del elemento métrico, decir que la luz se mueve a v=c en todos los sistemas inerciales equivale a decir que el elemento métrico es nulo para las trayectorias de los rayos de luz en cualquier sistema. Ahí se ve muy claro de dónde surge el signo negativo para la coordenada temporal.

Las leyes de Newton, en especial F=ma tienen la misma forma en distintos sistemas de referencia que se relacionen por las transformaciones de Galileo (si sólo consideramos desplazamientos en x :

x\prime = x -  VT
t\prime=t

Estas transformaciones son incompatibles con el principio de RE, ya que tenemos un métrica nos gustaría perseguir la analogía geométrica, las transformaciones en \mathbb{R}^2 que dejan invariante la longitud de los vectores son los giros, las inversiones y las traslaciones. Un giro es de la forma:

x\prime=x cos (\alpha ) + y sen(\alpha)
y\prime=-x sen (\alpha) + y cos(\alpha)

Se puede ver que si se define ds^2 =dx^2 + dy^2 esta trasformación da ds\prime^2 =ds^2), en el caso Lorentziano se puede mantener la misma interpretación pero cambiando las funciones trigonométricas por las hiperbólicas.

Recordemos que las funciones trigonométricas cumplen, en virtud a la fórmula de Euler, e^{ix}=cos(x) + isen(x) la siguiente relación:

cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

sen(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

Por analogía se definen las funciones hiperbólicas:

cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}

senh(x)=\frac{e^{ix}-e^{-x}}{2}

Se puede ver entonces que las funciones hiperbólicas corresponden a las funciones trignométricas haciendo la sustitución x->ix. Por tanto se puede ver que un giro de ángulo α respecto al plano x, c.t tendrá la fórmula:

x\prime=x cosh( \alpha ) - c t senh(\alpha )
ct\prime=-y senh( \alpha) + ct cosh(\alpha )

(Aquí \alpha es real y por eso aparecen funciones hiperbólicas, pero si pusiéramos las ecuaciones del giro convencionales, con funciones trigonométricas, tendríamos que poner un ángulo imaginario)

Es fácil ver, sustituyendo, que con esa elección se tienes:

ds\prime^2 =ds^2
(Aquí ds^2 =-c^2 dt^2 +  dx^2).

Es decir lo que pedíamos, que el elemento de longitud sea invariante invarianza de c. Desarrollando esto implica:

cosh( \alpha )=\frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{ c^2}}}
senh(\alpha )=\frac{\frac{V}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

lo que sustituyendo da las ecs. de transformación de Lorentz. Eso es lo bueno del formalismo con métricas, la similitud de tratamiento con la geometría euclidea

Pasamos ahora a la relatividad general. Es decir, la teoría einsteniana de la gravitación:

Recordemos que la esencia de la teoría de Einstein, que la masa curva el espacio, queda muy bien reflejada en su ecuación:

R_{ab} -\frac{1}{2}R g_{ab}=8 \pi T_{ab}

No he incluido el término opcional para la constante cosmológica. Ya iremos viendo que significa cada término en detalle. Anticipar que la parte de la izquierda indica la curvatura del espacio-tiempo mediante el tensor de Ricci R_{ab} y el escalar de Ricci R. Esta curvatura es debida a la materia, que esta representada por la parte derecha de la ecuación mediante el tensor de energía momento T_{ab}.

Aquí g es la métrica, básicamente una matriz cuadrada 4×4 (asumimos que estamos en 3 + 1 dimensiones) en dónde cada una las posiciones depende de la posición y el tiempo.

Recordemos. Si estamos en un espacio plano y euclídeo de tres dimensiones g sería diag(1,1,1), diag quiere decir matriz diagonal, si estamos en un espacio plano minkowskiano, el de la relatividad espacial sería diag( -1, 1, 1 ,1), el signo (-) corresponde a la coordenada temporal, con esto la métrica no seria definida positiva y aparte de vectores de longitud positiva habría vectores con longitud negativa y con longitud 0 (distintos del (0,0,0), en general este tipo de métricas se llaman Lorentzianas.

Esto para las coordenadas cartesianas usuales, si por ejemplo usamos coordenadas esféricas el espacio euclideo 3d tendría métrica diag(1,r^2,r^2 sin^2 (\theta ))

Este cálculo de la métrica en esféricas se obtiene mediante la matriz jacobiana del cambio a coordenadas esféricas J. En concreto g_{esfericas}=J ^{-1}. g_{cartesianas}J (J^{-1} denota la inversa), Si tenéis ganas podéis hacerlo, o más fácil para \mathbb{R}^2 ver que g en polares es diag (1,r^2) .

Recordemos. Esta métrica sirve para medir la longitud de vectores, mediante las fórmulas comunes de multiplicación de matrices por vectores. Si usamos notación de índices esto se escribiría g_{ab}v^av^b (se asume que se suman los índices repetidos, esto se conoce como convenio de Einstein)

Esta noción de longitud de vectores sirve para medir longitudes en una superficie curva, veamos cómo.

Empezamos por una curva, o sea una región de \mathbb{R}^n que se puede escribir de la forma X(a)=f(a)(t), dónde f(a) son funciones que para cada valor de t dan el valor de la coordenada X_a) de la curva(podría pensarse que es la trayectoria de una partícula que va variando con el tiempo, la velocidad de esta curva \mathbf{v} (t) será el vector tangente a esa curva en cada punto, la noción intuitiva de longitud de una curva sería \int_a^b \mathbf{v}(t) dt dónde \dot{c} denota la longitud de un vector osea g_{ab} v^a v^b, pero aquí el vector sería una función de t (y para espacios curvos, o espacios planos en coordenadas no cartesianas, también g sería función de las coordenadas que a su vez serían función de t).

El hecho de usar la derivada proviene de que estamos midiendo la distancia entre dos puntos consecutivos de la curva cómo si fueran rectos, lo que en el límite, cómo siempre, lleva a la derivada. La dirección tangente es la de la recta que más se parece a la curva en ese punto y la longitud de esos vectores tangentes nos dan así la longitud de la curva

Una superficie 2d es hablando vagamente, una subzona del espacio 3d que se puede parametrizar por dos variables, por ejemplo la esfera unidad, conjunto de puntos de \mathbb{R}^3 que cumplen x^2 +   y^2 +   z^2  = 1 podría parametrizarse mediante coordenadas esféricas y sería:

x=sin(\phi ) cos(\theta )
y=sin( \phi ) sin( \theta)
z=cos(\phi )

Bien, ya sabemos medir longitudes en curvas, ahora pasamos a superficies.

Intuitivamente tenemos la idea de lo que es el plano tangente a una superficie, podemos formalizarlo de varias formas, una de ellas es considerar curvas inscritas en esas superficies, el plano tangente a la superficie estaría generado por los vectores tangentes a todas las curvas que pasan por ese punto. (una curva sería un subconjunto unidimensional de la esfera que se parametrizaría haciendo que \phi y \theta fueran funciones de t, i.e. x=sin ( \phi (t)) cos( \theta (t)). Fijarse que el plano tangente es bidimensional, y generalizando si tratáramos de hiperusperfices de dimensión n (que podríamos pensar cómo subconjuntos de \mathbb{R}^{n+1}, aunque eso tiene sutilezas) su plano tangente tendría dimensión n.

Entonces tenemos en cada punto de una superficie vectores que expanden un plano tangente, especificar una forma de medir la longitud de esos vectores es dar una métrica a la superficie, en este caso de 2d la métrica sería una matriz 2×2 (pués los vectores son de dos componentes) dónde los valores de g serían función del punto p de la superficie en que nos hallamos. Hay varias formas de calcular esa métrica, introducimos una notación para ver cómo se calcula por ejemplo la métrica de una esfera.

Podemos pensar que tenemos vectores “infinitesimales” dx, dy, dz, que indican desplazamientos “infinitesimales” en esas direcciones, (en concreto dx quiere decir (dx, 0,0), osea un vector de longitud infinitesimal en la dirección x y 0 en las otras ), estos vectores serían una base del espacio vectorial \mathbb{R}^3.

Un vector infinitesimal genérico será de la forma (dx , dy , dz), y su longitud al cuadrado sería dl^2 =dx^2 +dy^2 +dz^2. (porque la métrica es diag(1,1,1)), en esféricas, usando la misma notación dl^2 =dr^2 + r^2 (d \theta^2+  sen^2 (\theta )d\phi^2).

Esas notaciones son equivalentes, es decir podemos expresar g_{ab} cómo una matriz o mediante “la longitud de un vector infinitesimal genérico”, en RG se suele usar esta segunda notación.

Bueno, vamos a por la métrica de la esfera de radio R, una esfera indica puntos con R constante, es decir que no consideramos variaciones en r, es decir dr=0, por tanto dl^2 =R^2 (d \theta^2  +sen^2(\theta )d \phi^2).

Aquí estamos suponiendo que la esfera pertenece a \mathbb{R}^3 y que estamos midiendo sus vectores tangentes con la métrica usual de \mathbb{R}^3 lo cuál parece muy lógico. Pero en realidad esto no es obligatorio.

Podríamos elegir cualquier matriz 2×2 simétrica y nos daría una métrica para los vectores de la esfera, que claro, no sería equivalente en general a la heredada de \mathbb{R}^3. Podríamos considerar, p.ej, que estuviéramos en el espacio de Minkowski en 3d, es decir con métrica diag (-1,1,1).

Con esta notación es muy fácil entender cómo se calculan métricas, consideramos dl^2 =\sum dy_i^2 y un cambio de coordenadas y_i=y(u_a), entonces dy_i ={\partial y_i}{\partial u_a} du sustituyendo dl^2=\frac{\partial y_i}{\partial u_a}\frac{\partial y_i}{\partial u_b} du_a du_b.

Bien, hemos visto cómo medir longitudes de los vectores tangentes, nos falta ver cómo medir la longitud entre dos puntos p, q de una superficie, la manera es considerar las curvas que perteneciendo a la superficie unen esos puntos, decimos que la longitud entre p,q=min(longitud de curvas que unen p y q), el problema con esta definición es que el cálculo explicito no parece sencillo. Ahí intervendrán las geodésicas

Ya tenemos la métrica, ahora necesitamos pensar en cuando un espacio esta curvado, la idea es considera un vector y transportarlo paralelamente a lo largo de una línea cerrada. Si consideramos el círculo unidad en \mathbb{R}^2 y cogemos un vector cualquiera en un punto, por ejemplo el vector que “empieza” en (-1,0) y acaba en (0,0) tenemos claro que si lo trasportamos por el círculo unidad “paralelamente” 45º en dirección contraria a las agujas del reloj tendremos el vector que “empieza” en (1,0) y “acaba” en (1,1), si giramos una vuelta completa obtendremos el vector original, es decir transportando un vector paralelamente alrededor de un círculo obtenemos el mismo vector, esto es así porque \mathbb{R}^2 es plano.

En realidad he hecho trampa, he hablado de vectores que empiezan en un sitio, hacer esto supone que estamos hablando de espacios afines, me explico, \mathbb{R}^n es un espacio vectorial, el de los vectores que empiezan en el origen, luego tenemos un sistema de coordenadas cartesianas, que dan la noción intuitiva de un espacio geométrico euclideo, llamémoslo \mathbb{E}^n, y podemos asociar a cada vector de \mathbb{R}^n un vector en un punto p cualquiera de \mathbb{E}^n que es el vector paralelo al inicial y que comienza en p, este espacio euclideo con una copia de \mathbb{R}^n en cada uno de sus puntos se conoce cómo espacio afín y se denota \mathbb{A}^n .

Ahora consideremos que dibujamos un círculo en la 2-esfera, y tratamos de girar un vector paralelamente por ese círculo, el vector resultante no coincidirá con el vector original y eso nos indicará que la esfera es una superficie curvada.

El problema es que en una superficie curva no tenemos cómo en
\mathbb{A}^n una noción natural de decidir cómo hacer transporte paralelo, la idea es que el vector a transportar formará un ángulo, el que sea, con el vector tangente a esa curva la idea es que queremos que el vector transportado paralelamente forme el mismo ángulo con el vector tangente a esa curva en cualquier punto de la curva. En superficies 2-d hay un sólo vector que cumpla esto.

Consideremos el caso más sencillo de la curvatura de una curva, aquí hay una definición muy fácil, la curvatura de una curva indica cómo varia su vector velocidad, este es su vector aceleración, la variación de la velocidad será en dirección perpendicular a su vector tangente. No entraré en detalles pero esto permite definir cuál de todos los vectores tangentes es que cumplen la condición correcta del ángulo es el bueno.

En realidad esto se ha sistematizado y se usa un punto de ataque complementario, en general la derivada de una función en una curva es un vector, es decir cuando se cambian las coordenadas con que se describe la superficie se trasforma de acorde al jacobiano, sin embargo su derivada en general no se transforma cómo la métrica (se dice que no es un tensor), buscamos una generalización de la derivada que aplicada a un vector de un tensor.

Se puede ver, y ya no entro en detalles, que la condición de transporte paralelo es equivalente a decir que la derivada covariante del vector a lo largo de la curva se anule.

Esta derivada covariante de un vector A se puede indicar con Nabla, el signo del laplaciano o con una d mayúscula.

Es \nabla_j A=\frac{ \partial A^i}{\partial x^j} +   \Gamma ^i{}_{aj} A^a

\Gamma es el símbolo de Cristoffel de segunda especie. Es una cantidad muy importante..

Existen los símbolos de Cristoffel de 1ª especie [ij,b]=g_{kb} \Gamma^k {}_{ij}, que tiene una expresión natural en función de la métrica:

[ij,k]=1/2(\partial g_{ik} / \partial x^k + \partial g_{ik} / \partial x^i- \partial g_{ij} / \partial x^k)

Y aunque el significado intuitivo de la curvatura es el que he dicho en realidad lo que suele hacerse es introducir el tensor de curvatura de Riemman que viene a informar de la falta de conmutatividad de la derivada covariante y que puede escribirse por tanto en función de los símbolos de Cristoffel y sus derivadas.

R^a_{ijk}=\partial \Gamma^a_{ik}/ \partial x^j -\partial \Gamma^a_{ij}/ \partial x^k  \Gamma^b_{ik} \Gamma^a_{bj} -\Gamma^b_{ij}\Gamma^a_{bk}

He hablado de tensores y no he dicho que son. Intentaré remediarlo. La idea es expresar las leyes de la físca de tal modo que sean independientes del sistema de coordenadas. Sin embargo sabemos que las magnitudes físicas dependen de las coordenadas. Por ejemplo un vector en un sistema de coordenadas tiene unas componentes. Ese mismo vector respectro de otro sistema de coordenadas tiene
otras componentes. Sin embargo hay una relación entre las componente en los dos sistemas de coordenadas. Tenemos que:

v’=B.v

donde B es la matriz de cambio de base que nos pasa de unas coordenadas a otras.

Esto es válido para los vectores. Sin embargo la propia base del nuevo sistema coordenado cambia con la inversa de la matriz B, denotada B-1, es decir, tenemos:

e'=B^{-1}e

Aquí e es cualquiera de los vectores base. Por ejemplo en \mathbb{R} ^3 tendríamos que la base canónica tiene \Vec{e_1}=(1,0,0), \Vec{e_2}=(0,1,0)  \Vec{e_3}=(0,0,1) (En esta notación la e no tienen nada que ver con el número e=2.16 )

Un vector arbitrario v tendrá en esa base unas coordenadas (a,b,c), es decir \Vec{v}=a\Vec{e_1} + b\Vec{e_2} + c\Vec{e_3}.

Si denoto la coordenada i del vector v por vi tendré que v1=a, etc.

Igualmente para la base canonica denotaría que el vector base e1 tiene coordenadas e11=1.

Fijaros bien que para indicar las coordenadas de los vectores v he usado superíndices mientras que para los del vector e_1 he usado subíndices.

Esto deviene en una convención. Se dice que los vectores que se tranforman cómo los vectores base son vecotres covariantes, y sus componentes se denotan con subíndices. Sin embargo los vectores “no base” se dice que son contravariantes y sus coordenadas se denotan con superíndices.

Bien,en física existen cantidades que respecto a unos índices son covariantes y respecto a otras son covariantes. Estas magnitudes se llaman tensores. Lógicamente sus componentes contravariantes se denotan con superíndices y sus componentes covariantes respectoa índices. Las ecuaciones físicas siempre vamos a querer expresarlas mediante magnitudes tensoriales para que tengan un significado que sea independiente de la base elegida.

He intentado exponer los tensores de la manera más sencilla posible, espero que se entienda lo suficiente. Una vez hecha esta pausa continuo con la geometría. recordemos que nos habíamos quedado con el tensor de Riemman. A partir de él vamos a definir el tensor de Ricci.

El tensor de Riemman R^a_{ijk} (una vez contravariante, tres veces covariante) permite definir el tensor de Ricci R_{ij} =R^a_{ija}, es decir se obtiene contrayendo (sumando) el tensor de Riemman entre su índice contravariante y su tercer índice covariante. Es este tensor el que aparecía en la ec. de Einstein, (R se define con estos pasos R^a_b =g^{ab} R_{ab} , es decir, cómo siempre, se usa g^{ab}, la inversa de g_{ab} para subir los índices, y g_{ab} para bajarlos, entonces R=R^a_a .

Tras toda esta matemática que le será difícil de asimilar a quien no este habituado a la notación tensorial de índices, algo de física al fin.

En RG todas las entidades matemáticas que hemos ido introduciendo tienen un significado físico a parte del matemático.

Por ejemplo tendríamos g_{00} \approx 1 2.1/r (\approx indica aproximadamente) osea 1 /2 Φ, dónde Φ es el potencial newtoniano para una partícula puntual.

Cómo por la ecuación de Poisson Δ Φ =4.. π G. ρ (ρ densidad de masa) podemos hacer una correspondencia R_{00} Δ (=laplaciano) y en general podemos pensar que los símbolos de Cristoffel están asociados a los potenciales gravitatorios, ya que su derivada, el tensor de Ricci esta asociado a la derivada del potencial gravitatorio.

Estas aproximaciones que dan significado físico a estas cantidades geométricas son lo que se llama el límite newtoniano de las ecs de Einstein linealizadas

Se obtiene considerando que g_{ab} =\eta_{ab}+ h_{ab} dónde η es la métrica de Minkowski y estamos interesados en variaciones respecto a esa métrica, denotadas por h. Si se hace esta substitución en las ecs. de Einstein y nos quedaos sólo con términos lineales en h tenemos una expresión sencilla, que si hacemos el cambio h|_{ab} =h |_{ab} -1/2 \eta|_{ab} h dónde h=h_{aa} .

\partial ^c \partial _c h|_{ab}=-16\phi.T_{ab} (Nota, esta forma tan sencilla de las ecuaciones sólo se da en cierto tipo de sistemas de coordenadas, estos sistemas de coordenadas cumplen una condición, que no indicaré aquí, y cuando trabajamos en estos sistemas coordenados exclusivamente decimos que estamos en el gauge de Lorentz).

Ya hemos visto que el T_{ab} esta relacionado con \rho , pero poco más hemos dicho de el, en general Tab representa a la materia/energía), por tanto en el vacio sería 0, dependiendo de lo que queramos describir representará materia “clásica” o materia “cuántica”, para la primera se suelen usar modelos hidrodinámicos de la materia, el caso más sencillo, llamada aproximación newtoniana es T_{ab}\sim \rho.t_at_b

Aquí t_a es el vector de desplazamiento en la dirección temporal (la del signo (-) en la métrica)
Bueno, ya sabemos las ecs, reflexionemos sobre ellas, son no lineales y para saber la curvatura necesitamos saber la métrica y para saber la métrica necesitamos saber la distribución de la materia, pero claro, al evolucionar la distribución de la materia cambia y necesitamos recalcular g y R, así que es un poco lioso.

Por eso se trabaja con situaciones simplificadas, por ejemplo la solución de Schwarschild se obtiene por consideraciones de simetría. Esta solución describe un campo con simetría esférica, que estaría producido, lógicamente, por una carga puntual en el origen. Formalmente sin embargo no necesitaremos en esta situación el tensor T_{ab}, tensor energía momento (tensor e-m de aquí en adelante), así que resolveremos las ecs. de Einstein para el vacío, considerando que las soluciones deben tener simetría esférica.

Las consideraciones de simetía reducen los 10 componentes de la métrica (una matriz tiene 16 componentes, pero si ha de ser simétrica, cómo es el caso para cualquier matriz métrica, lorentziana o riemaniana, sólo 10 son distintos) a 2 funciones independientes f(r) y h(r):

dl^2=f(r)dt^2+   h(r)dr^2 +  r^2 (d \theta^2  sin^2 (\theta)d \varphi ^2) (fijarse que el última término es la métrica de la 2-esfera).

Ahora que tenemos una “plantilla” para la forma de la métrica podemos tomar las derivadas que indica el tensor de Ricci y obtenemos unas ecs diferenciales para f(r) y h(r), su solución es la métrica de Schwarschild.

dl^2=-(1   2M/r)dt^2 +  (1-2M/r)^{-1} +dr^2 (parte esférica)

Importante notar que esta métrica toma valores infinitos para r=0 y para r= 2GM/c^2 (la c aparecería en la métrica si no usáramos unidades naturales dónde c=1) .

Esta solución sólo vale fuera de la materia que produce la masa M, dentro habría que hacer una suposición sobre la forma de T_{ab}.

He mencionado brevemente las geodésicas, es hora de hacer más hincapié sobre ellas, hasta ahora hemos visto cómo calcular la métrica, pero no sabemos cómo calcular cómo se mueve la materia en esa métrica, todo el que ha leído divulgación sabe que la materia se mueve en geodésicas del espacio tiempo.

Sin embargo las ecs. de Einstein no tienen ninguna geodésica,¿que falla?, bien, en realidad cómo ya he dicho una vez dada la métrica en un instante hará evolucionar la materia según las ecs de Einstein y así tendremos que recalcular la métrica otra vez, afortunadamente en caso de interés se pueden hacer simplificaciones y considerar que hay una materia inamovible, p.ej. el sol que produce la métrica y una materia móvil que no interviene en la configuración de la métrica, los planetas, se puede probar que la ec de Einstein implica que estas partículas “test” se mueven en geodésicas, esta demostración no la dió Einstein, es bastante posterior, así que Einstein se vio forzado a postular ese movimiento geodésico, aunque tenía la intuición de que estaba implícito en su ecuación, cómo de hecho acabo de decir que llegó a demostrarse, este postulado no era “antinatural” pues en relatividad especial se puede ve que la partículas se mueven en líneas que minimizan la longitud.

Esto es para partículas con masa, para partículas sin masa se usa una generalización del principio de la aproximación de “rayos” de la óptica geométrica, en realidad, para luz clásica, habría que considerar el tensor energía-momento del campo electromagnético..

Dejo para terminar la ec. de una geodésica tipo espacio es :

\cfrac{d^2 x^\mu}{ds^2} + \sum_{\sigma,\nu} \Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \cfrac{dx^\sigma}{ds}\cfrac{dx^\nu}{ds} = 0

Fijarse que m, la masa, no parece en la ec de las geodésicas, eso significa que todas la partículas “test” siguen la misma trayectoria independientemente de su masa. El tema de los rayos de luz, y las trayectorias que siguen, es ligeramente distinto. El tratamiento usual es usar la ecuación eikonal. En cualquier caso no lo trataré aquí.

ste post queda pues como una referencia que usaré cuando tenga que explicar a la gente a que me estoy refiriendo cuando hablo de diversos aspectos de la RG.

He usado una aproximación a la matemática implicada a mitad de camino entre la geometçia diferencial clásica, tal cómo se expone en p.ej los libros de Manfredo do Carmo o de D.J.Struick y el calculo tensorial de Levi-Civitta, tal cómo se expone en el Lichnerovic o en el Sokolnikov (esta última es la que usó el mismo Einstein).

Hay formas más rigurosas, e incluso claras pese a ese rigor, de exponer esta geometría, quizás la mas adecuada sea la que aparece en “tensor anaysis on manififolds” de Richard L. Bishop y Samuel I.Goldberg de la editrial dover (muy barato). Introduce todos los conceptos de topología necesarios asíq eu cualquier físco puede entenderlo.

El mejor, con diferencia, libro de geometría en variedades, que es lo que trata el Bishop-Goldberg es el Bpotby “Riemannian Geometry on diferenciable manifolds” de academic press, no es sin embargo autocontenido, es un libro escrito para matemáticos con base previa en topología y geometría diferencial clásica, y además, al menos en la 1ª edición no trata tópicos cómo vectores de Killing y el caso Lorentziano para la métrica, pero a cambio te da una gran seguridad con los temas tratados.

Hay incluso más maneras, una introduce las tétradas (o vielvein) que son imprescindibles para incorporar fermiones en RG, y otras usan la teoría de fibrados principales, pero para entender los principios básicos en mi opinión no son las más adecuadas.

Wormholes (agujeros de gusano)

junio 1, 2008

Imagino que muchos habeis oido hablar del concepto de agujero de gusano. La idea “ilustrativa” es muy simplona. Imaginaros que el universo es cómo la superficie de una manzana. Si vais de un punto A a un punto B de la misma a través de la superficie hay una cierta distancia. Sin embargo si pudierais “perforar” la manzana, cuál gusano, podriais ir por un “camino mas recto” y la distancia sería menor. Incidentalmente esos “agujeros” servirían de máquina del tiempo si las bocas del agujero se separan a velocidades cercanas a la de la luz. No explicaré los detalles, sólo decir que en todo caso nunca podrias volver en el pasado a una época anterior a la de la formación del agujero.

Pero dejemos las ideas mas sencillas y vamos un poco más a los detalles. Cómo esto va de relatividad general si quereis refrescar conceptos podeis probar con mi “minicurso” ahora parcialmente traducido a LaTeX por cortesía de la gente del foro de Migui aquí. La primera idea que se puede considerar para un wormhole (palabra inglesa para aguero de gusano) proviene de la extensión de Kruskal de la solucion de Schwarschild para un campo gravitatorio central y estacionario.

dl2=-(1 -2M/r)dt2 + (1-2M/r) -1.dr2+ r2 (dθ2 sin2 (θ) )dφ2

Esta solucion de Schwarschild (véase aquí para mas detalles) prevee que para objetos muy densos, que cumplan que su radio es Rs< 2GM/c2 se tendrá que se ha formado un aguero negro. En la solucion de Schwarschild se cumple que una vez atravesado el radio de Schwarschild, Rs se cae inevitblemente a la singularidad central. Bien, en la extension de Kruskal esto no es así. En el interior del agujero negro se pueden ubicar zonas que conectan a otras partes del universo. Una de esas zonas sería un “agujero blanco”. Un agujero blanco sería lo contrario que el negro, uno podría salir, pero no entrar. bien, eso dicen las mates. Pero la verdad es que cuesta imaginar una situación física que produzca una solución de ese estilo. Pero además incluso si la hubiera no valdria mucho como wormhole. El motivo es que la materia que saliera del white hole sufriria lo que se conce como un “blue shift” (desplazamiento al azul), es decir, su energía se veria incrementada hasta el infinito. De este modo incluso un fotón de baja energía que cayera por el black hole e intentara salir por el white hole vería incrementada su energía al infinito. Como la energia curva el espacio esto provocaría que el white hole se plegara sobre si mismo y terminara colapsando. Es decir, que sería inestable y no valdria para nada. Por cierto, es posible que algunos hayan oidio hablar de los puentes de Einstein-Rosen (Einstein-Rosen bridges). Estos son una versión matematicamente más sencilla de la idea de la extension de kruskal. Incluso antes que Einstein y Rosen un tal Flamm especulo con estas ideas.

Bueno, en realidad a veces la literatura es algo confusa al respecto. Por ejemplo el libro de Feyman de gravitacion menciona la idea de simplemente eliminar la zona interior de un aguero negro y “empalmar” solucones asintoticas. Esto implicaría un cambio de la topologia del espacio tiempo. Como quiera que las ecuaciones de Einstein describen la métrica y son, hasta cierto punto, insensibles a su topologia ne principio puede hacerse. Es posible que esto sea lo que en algunos sitios llaman agujeros de gusano de Schwarschild, pero no estoy seguro.

Esto es para la solución de Schwarschild. Sin embargo un agujero negro “realista” se supone que debería rotar sobre si mismo (pués las estrellas de los que proviene rotan y se conserva el momento angular. Bien, eso se describo mediante la solucion de Kerr

(véase http://es.wikipedia.org/wiki/Agujero_negro_de_Kerr para una pequeña introducción a la métrica de Kerr y los agujeros negros rotatorios).

Bien, la solucion de Kerr es mas compleja que la de Schwarschild. En la zona exterior al agujero negro el teorema de “no hair” afirma que esta solucion es única. Es decir, que el agujero negro, sin carga eléctrica, de Kerr es la única solucion posible a las ecs. de Einstein para esas condiciones de simetria. Eso implica uqe de toda la materia “tragada” por el agujero negro la única informacion que queda es su momento angular. Bien, eso por fuera, por dentro no hay tal teorema de unicidad.

Pero imaginemos que lo hubiera. En ese caso por dentro habria lo que se concoe como “horizontes de Cauchy”. Estos también conectarían con zonas diferentes del universo (el diagram de Penrose que describe un agujero de Kerr es una verdadera pesadilla, pero si alguien quiere buscar eso en google verá más dtalles). Lo malo es que esos horizontes de cauchy sufren del mismo problema de blue-shift que el agujero blanco. Así pués aunque en teoria un agujero negro rotatorio podria impedir la caida a la singularidad mediante estos horizontes en la práctica no prece que vaya a ser así. Así que nada, olvidemos los agujeros negros como puertas intelestelares.

¿Nos quedan mas cosas?. Pués sí. Por ejemplo puede demostrarse que la siguiente métrica vale, en principio, como wormhole

Esta solución (creo que se llama de Morris-Thorne) cumple una serie de propiedades “majas”, como que las fuerzas de marea son arbitrariametne pequeñas (si no se va muy rápido). Pero hay una diferencia esencial con los whormholes basados en agujeros negros. Las soluciones de aguero negro son solucioes de vacio de las ecuaciones de Einstein, es decir, soluciones en ausencia de materia (toda la materia se supone que esta en un sólo punto, el “centro”). Esta solución requiere que hay materia para que pueda existir. El problema es que no se trata de materia ordinaria. Debe ser materia que tenga “presión negativa” (o densidad de energía negativa), un nombre técnico para ello es decir que violan las condiciones de energía nucla, NEC, de sus siglas en Inglés. Y claro, se supone que no existe tal materia.

O se suponía. A raiz de unas observaciones de finales de los ochenta ahora prece establecido experimentalmente que vivimos en un universo en expansión acelerada y que la causa de tal expansión podria ser una constante cosmológica. Es decir, que vivimos en un universo con “presion negativa” después de todo. ¿Cómo afecta eso a los wormholes?

Una manera de verlo es la siguiente. Las métricas que he presentado tienen en el infinito “space-like” la forma de la métrica de Minkowsky (métrica en ausencia de materia y constante cosmológica). Pués podemos modificar esto para hacer un “embeding” del wormhole en una métrica tipo de sitter, con lo cuál asintoticamente no será minkowsky. Pués bien, estos agujeros de gusano no requieren para su construcción uso de materia exótica (más alla de la que proporciona la constante cosmológica, vaya). Y además posiblemente estos wormholes serían estables y todo. Realmente a dia de hoy haya mucha literatura sobre wormholes. Un magnífico comienzo para empezar a investigar es un libro de Vissier “lorentzian wormholes” (el tipo que he discutido en ete post). Ese libro es de finale de los 90 y desde entnces se han segido haciendo cosas, así que no esta actualizado, pero sigue siendo muy recomendable. Si alguien opina que leer un libro es mucho trabajo (cosa comprensible) otra opción es que intente hacerse con una coia del artículo que hizo Wheller (creo que fué el , pero podrian ser thorne o Misner) a petición de Carl Sagan cuando en su novela de CF “contact” decidió buscar un modo compatible ocn la ciencia conocida para que la protagnista pudiese viajar a las estrellas. Realmente puede decirse que en cierto modo la escritura de esa novela de CF, y la petición de ese artículo impulsó en parte la teoria de agujeros de gusano. Un curioso caso de interaccion entre ciencia y ciencia ficción. Pero, cóm decia, se ha escrito basatante ultimamente sobre agujeros de gusano. Iré poniendo en este blog mas entradas sobre este tema. Y antes aún pondré una entrada en el otro blog (de hecho la tengo ahora a medio escribir) sobre la posibilidad de producir miniagujeros de gusano en el LCH. De hecho si he escrito esta entrada es par que sirva de apoyo a la otra, para evitar hacer una única entrada demasiado extensa. Aclarar que esta entrada trata sobre gravedad clásica, la otra, va sobre gravedad cuántica, y, por consiguiente, su lugar natural es el otro blog.

Por cierto, el tema de los agujeros de gusano es muy habitual en la ciencia ficción. Aparte de en la mencionada “contact” aparece en numerosas novelas y películas. Por ejemplo este viernes ví “la niebla”, pelicula basada en un relato de Stephen King. Se trata de una película de terror donde en un pueblo de Maine (cómo no) se ve cubierto por una niebla. Y dentro de esa niebla hay “cosas peligrosas”. No es mi intencion analizar la película. Simplemnte decir que en un momento del film se da a entender que es niebla llega a paartir de un experimento militar, llamado “punta de flecha”, que buscaba crear “una ventana a otros lugares”. Claramente un agujero de gusano sería el candidato ideal para ser el objeto de estudi de dicho experimento.