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Introducción a la supersimetría II: El modelo de Wess-Zumino

julio 14, 2014

Continúo con el tema de los posts de supersimetría traídos del otro blog. En realidad este se ve correctamente allí porque ya había añadido matajax, que por ahora sigue funcionando, a mi plantilla de blogspot, pero por completitud, y en previsión de que termine fallando el plugin, lo dejo por aquí también.

Continuo el tema introduciendo una realización de dicha supersimetría en términos de un lagrangiano sencillo, lo que se conoce como el modelo de Wess-Zumino. Quien no tenga muy recientes sus conocimientos de teoría cuántica de campos, y en particular los tipos posibles de spinores, puede leer sobre ello en esta entrada.

Este va a constar de dos campos, un campo escalar complejo \phi formado por dos campos reales A y B, \phi=(A+iB/\sqrt{2}) y un campo spinorial de Majorana \psi . Ambos campos van a carecer de masa. El motivo para ello es que en la naturaleza no se ha observado la supersimetría, lo cuál indica que caso de existir, la supersimetría debe estar rota. Se supone que las partículas supersimétricas de las partículas conocidas habrán adquirido masa a través de un proceso de ruptura de esta supersimetría. Con estos ingredientes el término cinético de nuestro lagrangiano será.

1.L= \partial^{\mu} \phi^*\partial_{\mu}\phi ~ + ~ 1/2i\bar\Psi\displaystyle{\not} \partial \Psi

Ese lagrangiano es invariante bajo una transformación SUSY global:

2. \delta A=\bar\epsilon\psi \delta B=i\bar \epsilon\gamma_5 \psi

\delta \psi=-i\gamma^\mu[\partial_\mu (A + i \gamma_5B)]\epsilon

Donde \epsilon es el generador infinitesimal (asumo que el lector esta familiarizado con como surgen los generadores infinitesimales de simetrías en mecánica cuántica y su relación con las simetrías globales a través de la exponenciación) de la supersimetría, un spinor infinitesimal de Majorana.

Puede verse que, como se espera de una supersimetría, esta transformación nos cambia campos bosónicos en campos fermiónicos. Para ser supersimétrica el lagrangiano debe ser invariante bajo esta transformación. Se puede verificar que bajo ese cambio la variación del lagrangiano es:

3. \delta L=\partial_\mu[1/2\bar\epsilon\gamma^\nu(\displaystyle{\not}\partial(A + i\gamma_5 B))\psi]

Este delta L es una derivada total y por tanto no contribuye a la variación total de la acción y , como anunciaba, hace que 1 sea un lagrangiano supersimétrico. En general los lagrangianos supersimétricos no pueden ser invariantes bajo supersimetría, salvo que sean constantes, y siempre debe entenderse la invarianza en el sentido de que su variación es una derivada total.

Este lagrangiano es adecuado para partículas libres. Si añadimos interacciones se encuentra que le conmutador de dos transformaciones no es cerrado fuera de la capa de masas, y por tanto no es adecuado. Para paliar eso deben añadirse dos campos bosónicos extra, normalmente designados F y G, cuyo lagrangiano es:

4. L= 1/2F^2 + 1/2 G^2

La solución de la ecuación de Euler Lagrange asociada al lagrangiano 4 es F=G=0 y por tanto estos campos no tiene estados en la capa de masas, intervienen en la teoría sólo como partículas virtuales intermedias.

Se ha descrito hasta ahora como sería el lagrangiano para partículas sin masa. Nada impide construir el lagrangiano para partículas con masa. El término de masa tendría la forma:

5. L _m= m(FA + GB -1/2\bar\psi \psi)

La forma mas general de un término de interacción -renormalizable sería.

6. L_i= g/\sqrt{2}[FA^2 - FB^2 + 2GAB - \bar\psi(A - i\gamma_5B)\psi]

Este sería el modelo elemental de Wess-Zumino. Si uno pretende hacer teorías de campos supersimétricas realistas debería trabajar con fermiones quirales zurdos. No es especialmente complicado hacerlo, y repitiendo los pasos uno llegaría a una expresión de los lagrangianos anteriores en términos de esos fermiones quirales. El aspecto más interesante de ese desarrollo es que uno termina con un lagrangiano que puede expresarse de la forma:

7.L = L_K - |\partial W/\partial \phi|^2 ~ - ~ 1/2(\partial^2 W/\partial \phi^2\psi^T_L C \psi_L + herm.conj)

Aquí L_k sería el término cinético para los campos correspondientes y W sería lo que se conoce como el superpotencial. Este juega un papel importante en muchas discusiones sobre supersimetría y será tratado con mas detalle en ulteriores entradas. Por ahora decir que para el modelo sencillo que estamos considerando aquí su expresión más general sería:

8.W= 1/2m\phi^2 ~ + ~ 1/3 g\phi^3

En esta entrada se ha presentado el que posiblemente sea el tratamiento mas sencillo posible de la supersimetría. Actualmente es muy común usar el formalismo de supercampos. Este se basa en la noción de superespacio. El superespacio es el resultado de añadir a las componentes geométricas normales unas componentes “fermiónicas” representadas como variables de Grassman. Un supercampo dependería de ambos tipos de variables. Dadas las peculiares propiedades de las variables de grassman es muy sencillo ver que un desarrollo en serie en términos de las mismas es finito y que, por tanto, se puede dar una expresión general para un supercampo. Cuando se hace eso para campos que solamente tengan spin 1/2 y y 0 se puede ver que el modelo de supercampos obtenido es equivalente a el modelo de Wess-Zumino presentado aquí. Si además se impone que los campos fermiónicos sean quirales se obtiene la versión quiral del modelo de Wess-Zumino. El supercampo que cumple esas características es conocido cómo “supercampo quiral”. Por supuesto se pueden hacer construcciones supersimétricas para campos gauge y, de ese modo, teorías gauge supersimétricas y análogos supersimétricos del modelo standard. La extensión supersimétrica mas sencilla de el modelo standard se conoce como MSSSM (minimal supersymetric stadard modell).

Aquí hemos tratado la supersimetría global. Cuando esta se hace local aparece de manera natural la gravitación y tendríamos teorías de supergravedad. Dado que la supersimétria no esta realizada en el modelo standard se asume que si el universo presenta supersimetría debe hacerlo en una versión con supersimetría rota. La ruptura de supersimetría es un tópico complejo, y juega un papel fundamental en la mayoría de modelos fenomenológicos que se postulan para extender el modelo standard de partículas. Indirectamente eso significa que también juegan un papel en las teorías de cuerdas, en sus diversas variantes. Por ejemplo la teoría F, la mas desarrollada a nivel fenomenológico utiliza una variante del mecanismo de supersimetría conocido como modelo de guidicce-massiero.

Se irán tratando esos tópicos en posteriores entradas.

Finalizo diciendo que estos posts siguen principalmente el libro de texto de P.D. B. Collins, A.D. Martin y E.J Squires “Particle physics and cosmology”. A eso he añadido información adicional de los libros de M. Dine “Supersymmetry and superstrings” y el volumen III de el libro de teoría cuántica de campos de Steven Weinberg.

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Introducción a la supersimetría

julio 14, 2014

Continúo con la tarea de rescate de entradas del otro blog que han quedado inoperantes por aquello de que en blogspot no hay soporte nativo para latex, ahora toca un par de entradas sobre supersimetría.

Mucho se ha hablado de supercuerdas. Esta palabra consta de dos partes. La parte de “cuerdas” más o menos es algo que todo el mundo puede entender en el sentido de que todo el mundo tiene la idea intuitiva de lo que es una cuerda. La parte “rara” es la de super.

El prefijo “super” se usó mucho en física en una época. Los casos más destacados probablemente sean los superconductores y la supersimetría. Pese a la coincidencia en el nombre no tiene nada que ver uno con otro. Vamos a ver, inevitablemente muy por encima, cómo avanza el tópico, qué es la supersimetría, SUSY para los amigos.

La motivación inicial para esta teoría provino del problema de la jerarquía. ¿Cuál es este problema? En el marco de las teorías de gran unificación, hay una gran diferencia de energía entre la escala de la ruptura de la simetría electrodébil y la de la de la ruptura de la teoría unificada(SU(5) o la que fuera). Si uno se mete en los tecnicismos del mecanismo de Highs esto requiere un ajuste muy fino de parámetros. Y esto es algo que siempre desagrada.

Una forma de solventarlo es la existencia de cierto tipo de campos escalares de masa 0. Pero no hay ninguna buena razón para esto. Lo que si hay es una buena razón para la existencia de fermiones quirales (o quasiquirales), el hecho de que se hayan observado (son los neutrinos). Estos fermiones quirales tiene masa 0. Si hubiera de algún modo una partícula de spin 0 ligada a ellos tendríamos resuelto el problema pués esa partícula debería tener masa 0.

Para esto uno busca que pueda existir una simetría que transforme bosones en fermiones, y viceversa. denotémosla por Q, i.e.

1.  Q|F>=|B>  Q|B>=|F>

Para ilustrar algunas propiedades clave de la supersimetría cojamos un ejemplo muy sencillo basado en un oscilador armónico cuántico que incluya bosones a y fermiones b, que satisfacen las relaciones de conmutación (y anticonmutación):

2.  [a, a^+]=1, [a,a]=[a^+,a^+]=0

\{b, b^+\}=1, \{b,b\}=\{b^+,b^+\}=0

Dónde, por si alguien no lo conoce {x,y}=x.y +y.x.

El hamiltoniano para este sistema es:

3. H=1/2w_B\{a^+,a\} + 1/2w_F[b^+,b]

Siendo un oscilador armónico sabemos cuál va a ser su energía:

4. E=w_B(n_B + 1/2) + w_F(n_F - 1/2)= w(n_F + n_F)

Dónde en el último paso hemos asumido que las w fermiónica y bosónica sean iguales.

Se puede ver fácilmente que que cada estado tiene una degeneración con el mismo número de grados de libertad bosónicos y fermiónicos.

Edto indica que debe haber algún tipo de (super)simetría en el hamiltoniano. Y en efecto, uno puede comprobar que los operadores:

5. Q=\sqrt{2w}a^+b,   Q^+=\sqrt{2w}b^+a

conmutan con el hamiltoniano, es decir:

6. [Q,H]=[Q+,H]=0

Obviamente los operadores Q y Q+ claramente intercambian un fermión por un bosón y viceversa.

Además tenemos que:

7. {Q,Q+}=2H

Pués bien, esta es la esencia de los operadores de SUSY expresados para un caso sencillo de mecánica cuántica no relativista. Pero claramente estamos interesados en mecánica cuántica relativista, i.e. teoría de campos.

Dejaré para otra ocasión cómo se realiza el álgebra SUSY en teoria de campos. Señalar solamente una característica específica de la SUSY no mencionada hasta ahora que tiene un cierto interés.

Desde que empezó a surgir el interés por las teorías gauge, puede que incluso antes, se planteó la cuestión de si había alguna forma de tener un grupo que mezclara las simetrías internas con la simetría del grupo de Poincaré. Coleman y Mandula en 1967 demostraron que bajo supuestos muy generales esto era imposible.

Pués bien, la superismetría escapa este teorema “no-go” pués aparte del los generadores P_{\nu} (momento lineal) y M_{\mu\nu} (momento angular) y Ta (generadores del grupo gauge) incluye los generadores de la supersimetría.

De hecho estos estarán relacionados con el operador momento por la relación:

8. 

Por cierto, para los posibles lectores de exactas decir que en términos matemáticos la supersimetría tiene la estructura de una álgebra de Lie graduada.

Bien, este ha sido un primer contacto con la supersimetría. En la siguiente entrada hablaré del modelo supersimétrico más sencillo, el de Wess-Zumino.

Posible evidencia a 3 sigmas de un Higgs supersimétrico.. o no.

diciembre 13, 2010

Una nota muy rápida para salir del abandono en que esta el blog.

Esta semana, y en la siguiente, se anuncian en diversos congresos los resultados del análisis de los datos, al menos una parte de ellos, almacenados hasta ahora en el LHC.

Bien, como está impaciente y esta deseando verificar si hay o no indicios de la supersimetría Lubos ha hecho por su cuenta un análisis combinado de los datos del Tevatron y datos anteriores del LHC y ha encontrado evidencia a 3 sigmas de un bosón de Higgs supersimétrico. Podeis leer los detalles aquí:

Michigan: combined Tevatron sees 3-sigma MSSM Higgs bbb excess

Os rec uerdo que Lubos fué durante unos años profesor asistente de física teórica en Harward y que durante su vida académica publicó un considerable número de artículos, principalmente en teoría de supercuerdas. Hace unos años salió de Harward por motivos no completamente esclarecidos, pero que posiblemente sean una combinación de los excesos dialécticos en su blog y de una beligerancia por su parte contra algunas prácticas en Harward que él considera excesivamente plegadas a una ultracorrección política.

Sea como sea desde que salió de Harward ya no publica en revistas (ni en el arxiv) y se limita a exponer las ideas en su blog. Él argumenta que su blog tiene mas repercusión que el arxiv y las revistas, y que no le merece la pena publicar. Sea como sea su competencia como físico está fuera de toda duda, y por tanto lo que afirma es algo que debe ser tenido en consideración, aunque, desde luego, no es un resultado firme (ni el mismo pretende que lo sea).

Como quiera que sea la posibilidad de que se descubrieran a la vez el Higgs y la supersimetría sería algo espectacular. De momento mucha cautela, y, sobre todo, a estar atentos a lo que nos vayan diciendo en las conferencias la gente del LHC.

Por cierto, desde el día 6 el LHC está cerrado para mantenimiento, según lo previsto. Si quereis leer los planes sobre su futuro podéis hacerlo en el blog de vixra:

LHC Plans for 2011

ACTUALIZACIÖN

Ya se han producido unas cuantas conferencias y hay nuevos datos. De un lado en el artículo

Search for Microscopic Black Hole Signatures at the Large Hadron Collider publicado por la colaboración del CMS se ha analizado, con resultados negativos, la posible creación de agujeros negros en el LHC que era una posibilidad que había surgió en los escenarios fenomenológicos tipo Randall-Sumdrum de dimensiones wrapped (algo así como enroscadas). Por lo visto ese análisis se basa en buscar cierto tipo de señales y no todos los teóricos creen que esas señales sean las que verdaderamente cabría esperar para ese tipo de agujeros negros.

El otro resultado hace referencia a la supersimetría y lo que se ha obtenido es un nuevo límite de exclusión bastante amplio para partículas con masa de hasta casi 650 GeV, con excepción de una pequeña región que Lubos ha bautizado como “isla índia de supervivencia supersimétrica” por aquello de que los autores del artículo en donde se propne el modelo en cuestión esta escrito por físicos indios. Podeis leer su análisis en su entrada de blog: SUSY: CMS exclusion limits way beyond Tevatron but lower than expected

Un pdf con los slides de una de las conferencias podéis encontrarlo aquí.

Es de suponer que sobre ambos temas habrá en el futuro bastantes artículos profundizando en las consecuencias de esos datos. Yo intentaré durante estas inminentes vacaciones señalar unos cuantos aspectos sobre ellos.