Model√°ndolo todo

enero 26, 2016

Or at least the good onesūüėČ

El caso es que el gr√°fico de arriba (que, aclaro, no lo he hecho yo) no es demasiado “pol√©mico”. En el caso del conejo se explica una reacci√≥n bioqu√≠mica relacionada con la respiraci√≥n. El r√≠o es un fluido y se representa por las ecuaciones de Navier Stokes. ¬†Dentro del sol ¬†se han expuesto las reacciones nucleares de fisi√≥n b√°sicas. Debajo de √©l aparece primero la fuerza gravitacional newtoniana, que es la que permite deducir la √≥rbita que sigue la tierra alrededor del sol. Y, justo debajo, se escriben las ecuaciones de Einstein, que generalizan la teor√≠a grabvitatoria de Newton a situaciones d√≥nde la interacci√≥n gravitatoria es mas intensa. ¬†Un poco mas a la derecha, y alrededor del sol, est√°n las ecuaciones cl√°sicas de Maxwell que describen la interacci√≥n electromagn√©tica y, en particular, la radiaci√≥n electromagn√©tica (entre ella la luz visible) que nos llega del sol.

En el cielo, arriba, a la derecha, se ve un proceso que describe la caída de un rayo cósmico energético en la atmósfera que se va desintegrando en partículas cada vez mas ligeras. Debajo de los pájaros aparece la ecuación de Bernoulli de la dinámica de fluidos. Esas ecuaciones son un caso particular de las de Navier-Stokes para situaciones estacionarias, y en las que se ejemplifica la conservación de la energía. El hecho de colocarla junto a los pájaros proviene de que la fuerza de sustentación que mantiene un objeto que vuela en el aire se puede explicar mediante esa ecuación pues la diferencia de velocidades del aire que circula por encima y debajo del ala genera una diferencia de presiones que es la que hace que impulsa el ala hacia arriba. Aclaro que si bien esa ecuación explica muy bien el ala de un avión sospecho que el vuelo de un pájaro debe tener algunos otros factores, al menos en la fase en la que baten las alas.

En los √°rboles aparece una reacci√≥n qu√≠mica que es la contraria a la respiraci√≥n del conejo ,la fotos√≠ntesis (no soy qu√≠mico, y no recuerdo los detalles, s√≠ no es exactamente as√≠ que alguien me corrija). ¬†En el fondo se ve una l√≠nea ondulante, que me imagino pretende representar un paisaje monta√Īoso. Y, ¬†siguiendo esa curva, aparece la expresi√≥n de el desarrollo en serie de Fourier de una funci√≥n. Supongo que ¬†√©so significa que se considera que la l√≠nea ¬†las monta√Īas tiene alg√ļn tipo de periodicidad (ciertamente es muy sinusoidal) y que ,por consiguiente, puede hacerse un desarrollo en serie de Fourier de la gr√°fica de esa l√≠nea.

En la base de las monta√Īas aparece la ecuaci√≥n de Schr√∂edinger dependiente del tiempo, aunque no entiendo muy bien que se supone que pinta ah√≠. Abajo, a la derecha, se√Īalando a unas plantas que parecen helechos aparecen unas funciones f1 y f2, expresadas c√≥mo un producto de unas matrices por unos vectores. no est√°n completas y no tengo del todo claro que pueden ser, aunque me imagino que la idea es que sean alg√ļn tipo de ecuaciones de ecolog√≠a matem√°tica (pero no caigo ahora mismo en cuales podr√≠an ser exactamente).

He dicho que esas ecuaciones no son demasiado pol√©micas porque b√°sicamente, representan procesos f√≠sicos y qu√≠micos, y la gente normal no tiene problema con aceptar que se puedan describir objetos inanimados, y procesos “b√°sicos” de los objetos animados con leyes matem√°ticas. Cuando les dices a la gente que eres f√≠sico/matem√°tico y les expones estos temas, s√≠ tienen afici√≥n por esas materias, normalmente a la gente les parece bien, supongo que porque de alg√ļn modo consideran que eso representa que has sido un “chico aplicado y listo” que ha aprovechado el tiempo y esas cosas de la “gente de bien”.

El problema, con alguna gente, es cuando el m√©todo cient√≠fico que se ha utilizado para obtener esas leyes, intenta aplicarse a situaciones que ellos consideran mas delicadas, normalmente cuando afectan a aspectos de las sociedades humanas que se consideran “demasiado complejos”, como podr√≠a ser la econom√≠a, el arte, la psciolog√≠a y dem√°s. Aparentemente, para alguna gente, y seg√ļn sus diversas orientaciones, s√≠ te planteas, c√≥mo es lo normal, hacer modelos matem√°ticos sobre estos temas parece c√≥mo que est√©s intentando atentar contra su individualidad, el “esp√≠ritu humano”, ¬†alg√ļn tipo de “orden divino”, la “armon√≠a de la naturaleza”, o vaya usted a saber qu√©.

El tema enlaza tambi√©n en parte con la muy manida frase ¬Ņpara que sirven las matem√°ticas s√≠ yo no las uso en la vida cotidiana? S√©, por amplia experiencia ¬†en discusiones con mucha gente, que de momento es pr√°cticamente imposible que se disipe la pol√©mica, y, en consecuencia, todo lo que voy a exponer, va a ser en buena parte tiempo perdido, pero, inevitablemente, a la larga, se ir√° imponiendo la realidad y se ver√° que s√≠ se pueden hacer todo ese tipo de cosas y que ¬°no pasa nada!, nada malo al menos, mas bien todo lo contrario. De hecho, aunque mucha gente lo ignore, ya hay mucho hecho en ese terreno (pero no remotamente lo que se podr√≠a y deber√≠a estar haciendo).

Lo primero es dejar claro que, para casi (dejo el casi por generosidad xD) cualquier actividad humana hay siempre alg√ļn tipo de modelo cognitivo. ¬†Dependiendo de la actividad el modelo cognitivo ser√° mas o menos elaborado. Cuanto menos habr√° un modelo verbal, y el lenguaje en si mismo es un modelo de la realidad. Pero mediante modelos verbales no se puede llegar muy lejos, y siempre hay que procurar ir mas all√°.

Voy a elegir, para empezar, un tema que conozco en relativa profundidad, la m√ļsica. Ah√≠ tenemos una realidad un conjunto de sonidos y silencios, que siguen una cierta pauta, hechos con diversos tipos de instrumentos musicales, incluida la voz, y que es considerada, normalmente “agradable”.

Bien, hoy d√≠a la m√ļsica se representa en una partitura. √Čso no fue siempre as√≠. De hecho hubo un largo camino hasta obtener un sistema para poder poner en un papel una representaci√≥n del hecho musical. En mi antiguo livejournal (sigue existiendo, pero ya no escribo) ¬†puse en su momento¬†una entrada sobre m√ļsica medieval¬†d√≥nde, entre otras cosas, explico un poco la historia de la notaci√≥n musical. La partitura es una construcci√≥n muy astuta pues plasmar algo tan complejo como el fen√≥meno musical no es nada trivial, pero no deja de ser un lenguaje escrito. Realmente la teor√≠a musical va mucho mas all√° del solfeo y consta de cosas c√≥mo armon√≠a, contrapunto, formas musicales, teor√≠a de la melod√≠a, teor√≠a del acompa√Īamiento, orquestaci√≥n, etc, etc. ¬†Y eso para m√ļsica cl√°sica, luego, para m√ļsica electr√≥nica hay que conocer un mont√≥n de aspectos sobre sintetizadores, samplers, secuenciadores, etc. Es curioso que la gente piense que la m√ļsica es algo de “tener o√≠do” ¬†y “tocar un instrumento” para poder hacerla ¬†y “sensibilidad musical” para apreciarla, pero la realidad es que s√≠ se quiere ser un gran m√ļsico con eso no basta. La m√ļsica cl√°sica es totalmente acad√©mica, y requiere una extens√≠sima formaci√≥n muy regulada, pero incluso la m√ļsica de jazz o el flamenco, que son mas “improvisados” requieren formaci√≥n, mas an√°rquica, pero formaci√≥n. ¬†incluso la mayor√≠a de los m√ļsicos pop que se saben “tres acordes” normalmente s√≠ han (tal vez algunos no al inicio) estudiado mucha mas m√ļsica de la que parece, y no s√≥lo clases de instrumentos (obviamente de todo hay xD).

Lo interesante es que la teor√≠a musical cl√°sica, cuya base es la armon√≠a, en particular la armon√≠a tonal, (a partir del periodo cl√°sico antes se hac√≠a m√ļsica contrapunt√≠stica, y la teor√≠a formal arm√≥nica estaba en sus inicios) es un modelo cognitivo bastante complejo, y bastante astuto. En √ļltima instancia la armon√≠a tonal est√° en ¬†buena parte en relaci√≥n con el an√°lisis de Fourier en el sentido ¬†de que los acordes que “suenan bien”, las terceras, son una nota base y otras que son arm√≥nicos de esa nota base. Y luego, una vez establecidos los acordes se crea una teor√≠a de “tensi√≥n/relajaci√≥n” (acordes en funci√≥n de dominante y t√≥nica respectivamente) y otras funciones arm√≥nicas de paso, que tambi√©n tienen una cierta correspondencia con la teor√≠a de Fourier, aunque posiblemente ah√≠ pesen mas otros elementos. ¬†En su momento recog√≠ en el livejournal un estudio de unos psic√≥logos que relacionaban las funciones arm√≥nicas de t√≥nica y dominante con estados psicol√≥gicos registrables mediante sensores, y lo relacionaban con la teor√≠a matem√°tica del caos determinista, viniendo a plantear que las funciones de dominante y t√≥nica ser√≠a lo que se conoce en matem√°ticas c√≥mo “atractores”. Pod√©is leer detalles en¬†Math, psicology & music. ¬†En esas dos entradas del livejournal abundo sobre aspectos de teor√≠a musical, as√≠ que no me extender√© mucho mas aqu√≠ con ello. Lo interesante es que un modelo art√≠stico, la teor√≠a de la armon√≠a cl√°sica, esta muy relacionada con la teor√≠a de Fourier (que es la base de la f√≠sica del sonido), y que, mas adelante, se ve que hay indicios de que esa teor√≠a m√ļsical pueda tener bases neuronales que se pueden modelizar mediante un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal. Desde luego ha habido mas intentos de hacer correspondencia entre la m√ļsica y la matem√°tica, de otra √≠ndole. El siglo XX, una vez explorados muchos aspectos de la armon√≠a tonal, llev√≥ a considerar buena idea la m√ļsica atonal, y para √©so se crearon t√©cnicas musicales espec√≠ficas. la mas sencilla fu√© el dodecafonismo (obra de Arnold Sch√∂emberg), ¬†que establec√≠a que cualquiera de las 7 notas naturales y sus correspondientes alteraciones (bemoles o sostenidos), osea, las doce notas, deb√≠an estar en pie de igualdad, y cre√≥ una t√©cnica contrapunt√≠stica que permit√≠a crear, de forma met√≥dia, m√ļsica en la que ninguna de las notas fuera mas importante que el resto. Mas adelante Boulez y otros ¬ŅStockhausen? llev√≥ esa f√≥rmula al extremo haciendo que no s√≥lo ninguna nota tuviera un papel preponderante de forma tonal sino tambi√©n a nivel r√≠tmico, llevando al serialismo integral. El caso es que en esas teor√≠as, aunque sobre el papel pautado (la partitura) eran bastante razonables obviaban toda la parte de la f√≠sica del sonido. Esa gente pensaba que el sonido se habituar√≠a a las disonancias extremas, lo mismo que se hab√≠a ido habituando a la pualatina introducci√≥n de disonancias en los acordes de dominante (que aumentaban la tensi√≥n y daban variedad), pero, en funci√≥n del muy escaso √©xito de la m√ļsica serial en el gran p√ļblico parece que no fu√© as√≠. Es posible que la causa √ļltima sea que ignoran la f√≠sica del sonido, aunque la escisi√≥n de la cultura entre pop y acad√©mica en la segunda mitad del siglo XX es un tema muy complejo, y espero que alg√ļn d√≠a se vuelvan a fusionar, y que los intentos de confluencia actuales prosperen cuanto antes, pero √©sa es otra historia.

Bien, la m√ļsica es un caso interesante porque hay un modelo cognitivo end√≥geno (la teor√≠a musical) que conecta de forma muy natural con la f√≠sica, pero ¬Ņhay mas casos? Ciertamente, pero mucho me temo que se me hace tarde y tendr√© que dejarlo para otro d√≠a, lo cu√°l, la gente que me conozca, esta al tanto de que eso es se√Īal de que a saber cuando vuelvo a escribir sobre el asunto xD.

 

¬ŅEs un p√°jaro, es un avi√≥n? ¬°No, es superbump!

diciembre 19, 2015

Este a√Īo el LHC ha funcionado de manera bastante irregular, con bastantes problemas operativos, y a consecuencia de ello ha acumulado bastantes menos datos de los esperados. Los primeros resultados, expuestos en verano, no dieron grandes titulares, y s√≥lo se vieron unas cuantas fluctuaciones estad√≠sticas no muy significativas (que no obstante han dado lugar a un buen n√ļmero de art√≠culos.

Este martes, sin embargo, se ha hecho p√ļblico el anuncio del an√°lisis mas reciente de los datos acumulados y ha surgido la evidencia experimental mas firme de nueva f√≠sica mas all√° del modelo standard que se ha visto hasta el momento en ning√ļn colisionador. La se√Īal consiste en un exceso de difotones (osea, emisi√≥n de dos fotones c√≥mo consecuencia del decay de una part√≠cula) a una energ√≠a de 750 GeV. La se√Īal se ha observado, para la misma part√≠cula, en los dos grandes detectores del LHC, atlas y CMS.

ATLAS ve un exceso de 3.6 sigmas y CMS ve otro, del mismo tipo, y para los mismos valores, de 2.6 sigmas. Combinando ambos resultados la significaci√≥n estad√≠stica sube a unos 4.4 sigmas. En esos datos hay que tener cuidado con el efecto “Look somewhere else” (y tener cuidado de no contarlo dos veces), lo cu√°l rebaja la significaci√≥n estad√≠stica total. Dado que en f√≠sica de part√≠culas se necesita una significaci√≥n estad√≠stica de 5 sigmas, por cada uno de los detectores, y sin considerar el efecto √©se de “Mirar a cualquier otro lado”, los resultados no son firmes, y sigue teniendo, por ahora, el status de una fluctuaci√≥n estad√≠stica. Eso s√≠, la mayor vista hasta el momento en un acelerador de part√≠culas que no se corresponda con una part√≠cula del modelo standard. Dado que la matem√°tica de ese modelo se cerr√≥ (al menos en lo mas fundamental) a finales de los 70, y desde entonces todo lo que se ha encontrado pertenece a ese modelo estamos hablando de la mayor evidencia de f√≠sica de part√≠culas mas all√° del modelo standard en unas 4 d√©cadas.

Tomasso Dorigo (un físico que trabaja en uno de los detectores del LHC) analiza con mucho detalle los aspectos estadísticos en esta entrada de su blog.

Un aspecto llamativo es que en el Run I del LHC, efectuado a energ√≠as de 7 TeV, no hab√≠a signo alguno de esa se√Īal. La energ√≠a extra del Run 2 (que funciona a 13 TeV) permite que exista esa part√≠cula, y que no haya evidencia a menos energ√≠a, pero eso supone bastantes restricciones. C√≥mo quiera que es la mayor evidencia experimental de nueva f√≠sica en tant√≠simo tiempo ha habido ya, desde el martes hasta aqu√≠, bastantes art√≠culos analizando la cuesti√≥n (obviamente los autores ten√≠an noticias de la se√Īal antes del anuncio oficial).

Hay propuestas desde muchos ángulos posibles. Una de las primeras cosas que parecen estar claras es que la partícula debe ser una partícula vectorial, de spin distinto de 1 (existe un teorema, de Landau-Yang, que afirma que una partícula de spin 1 no puede decaer a dos fotones). Eso, para los amigos de SUSY, lleva inmediatamente a plantearse que pueda ser uno de los 5 bosones de Higgs (en el modelo standard sólo hay 1) que hay en los modelos supersimétricos. Eso sí, al no haber sido observada previamente en el Run I se puede verificar que sí es uno de esos Higgs estaríamos en versiones del modelo standard supersimétrico distinto al mas sencillo posible (El MSSM, minimal supersymmetric standard model).

También hay buenos motivos para descartar que sea una partícula de spin 2 (osea, en la práctica, una excitación tipo kaluza-klein del gravitón en una dimensión extra).

Bien, eso es lo que, más o menos, está descartado que sea, y las características generales de lo que debe ser. Dentro de esos límites hay varias posibilidades. En supersimetría se ha propuesto que pueda ser un sgoldstino. Lubos analiza los artículos que tratan esa posibilidad en <a href="http://motls.blogspot.com/2015/12/sgoldstino-at-750-gev-prevails-in.html"<esta entrada.

Un an√°lisis, en espa√Īol, de muchas de las posibilidades extra analizadas hasta ahora puede encontrarse en el blog de Francis.

Posibles partículas responsables del exceso a 750 GeV en el LHC Run 2

Lo interesante es que, caso de ser una se√Īal aut√©ntica, est√° en un punto d√≥nde las posibilidades son relativamente escasas. La mayor√≠a de los modelos requieren que, s√≠ la se√Īal es una nueva part√≠cula, debe haber mas part√≠culas de energ√≠as similares que se ver√°n el a√Īo siguiente en el Run 2, o, incluso, que reexaminando los datos ya acumulados de √©ste a√Īo, y buscando a la luz de estos modelos, se vea evidencia de esas posibles otras part√≠culas asociadas. De √©sto nos habla Matt Strassler (pese a haber sido despedido de su puesto de profesor titular en su universidad, hay que ver que mal de fondos est√° la f√≠sica de part√≠culas en los USA, sic): So What Is It???

Debo decir que estaba un poco aburrido de hablar de fluctuaciones estad√≠sticas que ten√≠an muy pocas posibilidades de ser realmente indicios de nueva f√≠sica, y ha habido muchas estos a√Īos. √Čsta pinta bastante mejor que todas las anteriores, y conf√≠o en que, de una vez, sea algo y no se diluya, pero eso no se puede afirmar.

Aprovecho el resto de la entrada para hacer algo de publicidad. He estado haciendo estos meses un editor de ecuaciones para android. Contiene muchas mas opciones que nada de lo que hab√≠a disponible en la plataforma. Para empezar incluye el c√≥digo latex de la ecuaci√≥n. De hecho la forma de crear la ecuaci√≥n se apoya en el c√≥digo Latex, aunque hay, por supuesto, una gran cantidad de s√≠mbolos (mas que ning√ļn editor que yo conozca) que, al pulsarlo, escriben el c√≥digo correspondiente. Adem√°s, para no tener que escribir una y otra vez la misma ecuaci√≥n (hay ecuaciones de uso muy habitual) se pueden guardar las ecuaciones editadas, junto con informaci√≥n adicional, en una base de datos, para crear una “agenda de ecuaciones”. Y tienen bastantes opciones extra que facilitan mucho la vida a quien quiera publicar art√≠culos de f√≠sica, sea en una revista, sea en un blog. Os dejo los enlaces correspondientes de la google play.

√Čsta es la versi√≥n gratuita.

dbLatexLitle

Y ésta la de pago (el precio es bastante comedido dada la gran cantidad de opciones que tiene la aplicación).

dbLatex

Escribiendo latex con estilo, y con stylus

agosto 21, 2015

Edici√≥n: C√≥mo quiera que no me convence del todo lo de crear las ecuaciones en la p√°gina web que menciono en el texto he creado una peque√Īa aplicaci√≥n que permite usar el programa myscript smart note sobre el que versa esta entrada de una manera m√°s sencilla para crear ecuaciones y usar su c√≥digo l√°tex en blogs, como √©ste o los de blogspot que usen alg√ļn extra para poder usar latex.

El programa funciona de la siguiente manera. Uno hace una ecuaci√≥n en myscript smart note, la selecciona y elige exportar como archivo latex. Eso genera un fichero de texto, que se puede guardar con seg√ļn que programas. S√≠ se instala el que he hecho, y que he llamado AMyScrptClipBoard √©ste aparece en la lista de exportaci√≥n y muestra la ruta del archivo, el contenido completo del mismo y, en un cuadro de texto editable, el c√≥digo latex de la ecuaci√≥n. Adem√°s, inmediatamente, ha copiado al portapapeles el c√≥digo latex. Tiene tres botones que permiten a√Īadir las etiquetas de apertura y cierre de ecuaci√≥n t√≠picas de wordpress y blogspot con el plugin habitual. El tercer bot√≥n elimina las etiquetas y deja s√≥lo el c√≥digo latex. Cualquiera de los botones, adem√°s, manda lo que muestra en el cuadro de texto al portapapeles.

Aviso que, en el momento de escribir √©sto, el programa es muy cutre en su interfaz, y es mejorable de muchos modos. A√ļn as√≠ es √ļtil y dejo por aqu√≠ el enlace, por si alguien lo quiere probar. AMyScrpClipboard

Y, ya por el vicio de usarlo, algunas ecuaciones hechas mediante el procedimiento descrito.
\left( a+b\right) ^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab

\sigma _1=\left(  \begin{array}{cc}   0 & 1 \\   1 & 0  \end{array}  \right)

C√≥mo mencion√© en la primera entrada sobre masas negativas hab√≠a encontrado, mediante la opci√≥n de compartir de android, una forma relativamente sencillla de poner ecuaciones en las entradas desde el note. Basicamente la idea es que con el S-pen puedo recortar una imagen y compartirla con worpress, usando la apliaci√≥n para android (a√Īadi√©ndola a la librer√≠a multimedia directamente, sin usar entremedias scrpapbook c√≥mo hice entonces).

Eso est√° bien, pero tiene sus limitaciones. Por un lado blogspot no tiene en su aplicaci√≥n para android la posibilidad de a√Īadir im√°genes a una librer√≠a multimedia as√≠ que no me sirve en el otro blog. Y, claro, hay un tama√Īo de almacenamiento limitado y s√≠ me pongo a escribir im√°genes lo llenar√≠a demasiado deprisa. Tambi√©n est√° el hecho de que s√≠ se trata de ecuaciones que no tengo escritas en un libro y las escribo a mano en el tablet no quedan muy presentables. Y, adem√°s, estoy desperdiciando la capacidad nativa de wordpress de renderizar latex (y la no nativa, pero tambi√©n existente de blogspot).

El programa S-note de los dispositivos note tiene un sistema de reconocimiento de ecuaciones, pero, excepto en la versi√≥n inicial, primero escribes toda la ecuaci√≥n y luego, tras seleccionarla, la convierte en imagen, y no siempre acierta y debes reescribirla y probar de nuevo, lo cu√°l no es una buena estrategia. Y, adem√°s, no te exporta la ecuaci√≥n a latex sino que te la manda al dichoso wolphram alpha, que no me gusta nada. Hay editores de ecuaciones para android, alguno de los cuales te permite exportar a latex, y no est√°n mal, pero, le√Īe, ya que tienes el S-pen lo suyo es que se pueda usar, que es mas r√°pido e inmediato. Hab√≠a buscado en su momento, pero no d√≠ con nada, Ahora he vuelto a buscar y d√≠ con un programa que casi, casi hace lo que le pido, myscript smartnote.

El editor de ecuaciones, en cuanto trabajas con √©l un poco para que se habit√ļe a tu escritura, y le pilles el truco a algunos caraceteres rebeldes, funciona muy bien y muy r√°pido. Con eso tienes una imagen que puedes exportar a la librer√≠a multimedia, lo cu√°l est√° muy bien. Tambi√©n te exporta a texto plano una representaci√≥n de la ecuaci√≥n, usando los s√≠mbolos de las fuentes habituales, bastante aproximada, y as√≠ puedes hacer un paste desde el portapapeles. Y, por √ļltimo, tiene una opci√≥n de exportar a un archivo latex (extensi√≥n de texto con extensi√≥n .tex) el c√≥digo latexde la ecuaci√≥n, junto con un c√≥digo de apertura del documento. De hecho puedes exportar todo el documento a latex, lo cu√°l es genial si quieres hacer un archivo para publicar en arxiv. Y tambi√©n te genera el pdf. Todo ello es excelente, y muy √ļtil, pero, por desgracia, no me permite exportar al portapapeles el c√≥digo latex de una ecuaci√≥n concreta, y s√≥lo ese c√≥digo.

Tras pillar la versi√≥n completa del programa (cuesta alrededor de 2 euros en una compra integrada) me puse en contacto con el servicio de soporte para pedir que incluyeran esa caracter√≠stica. Me respondieron r√°pido, y de manera muy amable, informando que considerar√≠anpara el futuro la posibilidad, pero no de forma inmediata, y ¬°horror!, que mientras tanto usara una aplicaci√≥n para IOS, que si tiene esa caracter√≠stica. El problema, por supuesto, es que los dispositivos IOS (Ipad y Iphone) son una casta√Īa en general (salvo para audio) y, desde luego los stylus disponibles para el Ipad son todos una birria comparados con el S-pen. Les volv√≠ a escribir y me dieron otra opci√≥n temporal, hasta que a√Īandan la caracter√≠stica al programa, una demo online del editor de ecuaciones que s√≠ tiene la opci√≥n de ver el latex (o mathml), en un cuadro de texto que hay abajo, y copiarlo al portapapeles.

image

La demo es mas lenta que el programa nativo, y posiblemente deba lidiar con muchas letras manuscritas a la vez y no se hace con la tuya. No obstante funciona de forma razonable y le puede ser √ļtil a cualquiera que tenga alg√ļn stylus wacom o ntrig (c√≥mo en las surface).

Por cierto, en windows la versi√≥n de onenote para escritorio permite a√Īadirle un plugin, microsoft math, que s√≠ tiene esa opci√≥n, y muchas m√°s. Incluso sin el plugin tienes un editor de ecuaciones muy majo, que permite reconocimiento de escritura a mano de ecuaciones. Desafortunadamente la versi√≥n para android de onenote no tiene esa opci√≥n.

Aprovecho para rese√Īar que ha salido la versi√≥n 5 del note phablet, pero es una basura infecta que no trae microSD, ni bater√≠a extraible. Algunos dicen que tampoco tiene MHL para poder conectarlo por HDMI a la televisi√≥n , e incluso que no tiene USB OTG para conectarlo a un pendrive, o cualquier otro dispositivo bluetooth. No s√© si esto √ļltimo es cierto, pero ya s√≥lo por no llevar microSD me resulta inutil (un serivico de almacenamiento en la nube, no importa el tama√Īo, nunca me servir√≠a de sustituto) as√≠ que descarto totalmente la compra de esa porquer√≠a, que es casi tan mala como un Iphone (su √ļnica ventaja es que tiene un stylus y android, y mas potencia hardware). Y de un sucesor del note 10-1 no se sabe nada (y si va a seguir los pasos de su primo phablet mejor no saberlo).

Eso me lleva a se√Īalar que el windows 10, tanto para sobremesa como para tablet (includo el modo tablet en un sobremesa) funciona muy bien. Y, aparte de las car√≠simas surface hay tablets chinas que incluyen un stylus wacom (mejor que el ntrig de la √ļltima surface) a un precio muy assequible, c√≥mo la Icube stylus. A d√≠a de hoy las aplicaciones para tablet de android son muy superiores a las que hay para windows (lo s√© porque, aparte del note 10.1, tengo un tablet dual boot windows y android chino de 8 pulgadas muy barato -unos 100 euros- el chuwi vi8, que, desafortunadamente no tiene stylus) y s√≥lo las de escritorio est√°n por encima, aunque no son demasiado c√≥modas de usar en un tablet. En fin, Android ha mejorado mucho, y hay ya excelentes aplicaciones, en constante mejora, pero si google y sus secuaces (c√≥mo Samsung ultimamente) siguen recortando opciones hardware para forzar que la gente se pase a la nube yo, y muchos, dejaremos de usar productos de Goolge (y Samsung), pero, por ahora, con el hardware android que tengo en √©ste momento, las soluciones para latex, y escribir ecuaciones matem√°ticas usando un stylus, son las que comento en el art√≠culo. S√≠ alguien conce algo mejor se agradecer√≠a que lo expusiera en los comentarios.

Early quantum electrodynamic (book review)

agosto 11, 2015

El verano es una buena √©poca para leer libros “recreativos”, y uno sobre la historia de la f√≠sica claramente entra en esa categor√≠a, aunque con un plus ¬†de inter√©s. En su momento me hab√≠a le√≠do el ¬†libro de historia de la mec√°nica cu√°ntica, parte I, de Jose Manuel Sanchez Ron, y me result√≥ muy interesante e instructivo. Desde entonces he estado esperando que saliera la segunda parte, pero la verdad es que se est√° retrasando mucho. Tambi√©n probl√© a leer otros libros sobre el tema, que siguieran desde el momento en que lo deja Sanchez Ron (ka publicaci√≥n de la ecuaci√≥n de Schroedinger y de la mec√°nica matricial de Heissenberg), pero no me terminaron de convencer (demasiado texto y demasiadas pocas f√≥rmulas), Afortnadamente el libro del que trato en esta entrada s√≠ trae todas las f√≥rmulas oportunasūüėČ.

Arthur I Miller  Early Quantum Electrodynamics: A Sourcebook

wpid-wp-1439264231130.jpeg

E libro se divide en dos partes. La primera, de unas 100 p√°ginas, es la descripci√≥n hist√≥rica de los desarrollos en electrodin√°mica cu√°ntica hechos entre 1927 y 1938, es decir, los primeros desarrollos de la misma. La electrodin√°mica cu√°ntica es la interacci√≥n de part√≠culas cargadas, principalmente el electr√≥n, con la luz, es decir, con los fotones. En la forma actual se ense√Īa c√≥mo la ecuaci√≥n de Dirac que representa a el electr√≥n, acoplada a un campo electromagn√©tico mediante un t√©rmino de interacci√≥n c√ļbico. Tambi√©n se puede escribir, y es mas convencional verlo as√≠, en t√©rminos de la derivada covariante asociada al campo gauge electromagn√©tico.

image

siendo la derivada covariante

image

El caso es que, siendo la teor√≠a cu√°ntica de campos mas sencilla realizada en la naturaleza dista mucho de ser una teor√≠a simple. En los cursos introductorios de teor√≠a cu√°ntica de campos se utiliza una teor√≠a “de juguete” ¬†para aprender el formalismo, el campo escalar interactuando consigo mismo con un t√©rmino cuadr√°tico. La QED tiene muchas mas dificultades, por un lado la ecuaci√≥n de Dirac es espinorial, por otro el eletromagnetiso es una teor√≠a con invarianza gauge que tiene dos problemas de renormalizaci√≥n, la ultravioleta, asociada a altas energ√≠as, y la infraroja, asociada al hecho de que los fotones pueden emitirse con una energ√≠a arbitrariamente baja.

Bien. esa versi√≥n de la QED que se estudia ahora debe mucho a Tomonaga, Schwinger y, sobre todo, a Feynman. Pero el libro trata de la primera generaci√≥n de f√≠sicos que se ocuparon del tema, que incluye a un mont√≥n de nombres ilustres, Heisenberg, DIrac, Pauli, Fermi, Weiskopf, y, en general, la creme de la creme de esa √©poca dorada. Lo curioso es que lo que ellos hicieron se parece muy poco a lo que se ve ahora.Para empezar casi no usaban los lagrangianos y todo se hac√≠a con Hamiltonianos. En realidad hoy, en los curos de introducci√≥n, se siguen ense√Īando m√©todos hamiltonianos para ver la cuantizaci√≥n can√≥nica, en la que se impone la tranformaci√≥n de los corchetes de POisson cl√°sicos de la teor√≠a de campos correspondientes en operadores, lo cual lleva a l aintroducci√≥n de los operadores de creaci√≥n-aniquilaci√≥n. Pero, claro, en esa √©poca acababan de crear una teor√≠a para una part√≠cula, el paso a una teor√≠acon varias part√≠culas fu√©, el primer paso, y de eso va el segundo cap√≠tulo del libro (el primero es sobre todo introductorio). Esa parte la hicieron Jordan, en 1926, DIrac, y Pauli.

Lo siguiente es la ecuaci√≥n de Dirac, y su interpretaci√≥n en t√©rminos de huecos, y la descripci√≥n del campo electromagn√©tico, y ese es el tercer cap√≠tulo del libro. Ya aviso que lo que ah√≠ viene no es lo que se hace hoy d√≠a en QED. Se ocupan m√°s de cosas como la masa del electr√≥n, y el problema que supone un “mar de DIrac”, es decir, un conjunto infinito de electrones, con energ√≠a negativa. El problema viene cuando se considera el hecho de que ese n√ļmero infinito de electrones dber√≠a generar un campo el√©ctrico infinito, y hay que ver c√≥mo se lidia con eso.

El cuarto capítulo abunda en esos problemas, y se va viendo como restar cantidades infinitas (preludio de lo que luego sería la teoría de renormalización), la a ecuación de Klein-gordon (el electron bosónico, cómo lo llamban), la conexión spin estadística, tema que se ve de forma distinta a la actual, debida a Schwinger, basada en causalidad. Pauli, responsable de esa primera versión, observó una analogíia entre las relaciones de los operadores de creación y aniquilación y las matrices de Dirac, y elaborando de aquí y allá llego a convencerse, correctamente, de que en relatividad especial el espín determina la estaadística.

El quinto, y √ļltimo tema, trata las fuerza nuclear. A priori puede parecer un poco fuera de sitio en un libro sobre QED, pero en realidad es vital. Es importante, y sorprendente, darse cuenta de que cosas quedamos por sentadas no fueron nada obvias. Hasta 1932 se cre√≠a que el nucleo constaba de protones y electrones. Fue descubrimiento de un nucleo, el N^{14} que experimentalmente se ve que tiene spin entero, pero deber√≠a tenerlo semientero (14 protones y 7 electrones). Eso justific√≥ la introducci√≥n del neutr√≥n. Mas conocida es la introducci√≥n porparte de Pauli del neutrino para explicar que en el decaimiento beta el electr√≥n pudier atener cualquier momento (y as√≠ salvar la conservaci√≥n del momento). Aparte de eso lo mas relevante para la QED, y para las teor√≠as de campos en general, es que de ah√≠ surgieron las ideas de part√≠culas intermediadoras de las fuerzas. EN realidad la primera idea surge del i√≥n del helio, en el que se puede ver queel electr√≥n compartido entre los dos protones, puede considerarse como un mediador.Pero eso no es muy convincente. Heisenber consider√≥, antes de la teor√≠a del neutron, un mecanismo en que el intercambio de un electr√≥n jugaba un papel en la teor√≠a nuclear. Como es bien sabido no fu√© hasta que Yukawa present√≥ su teor√≠a del pi√≥n que eso se consolid√≥, pero eso no ocurri√≥ hasta 1935, y a√ļn pas√≥ un tiempo hasta que el aporte de Yukawa paso a ser reconocido. Eso signifca que la visi√≥n actual de las fuerzas mediadas por part√≠culas bos√≥nicas vino mas tarde, sobre todo con Feynman, y sus diagramas, y que todo el trabajo de esa primera √©poca no tiene ninguna relaci√≥n con ese punto de vista.

La segunda parte del libro, hasta llegar a unas 250 páginas, consta de algunos artículos selectos de la época, algunos de ellos traducidos del Alemán, y, aunque se les menciona en la otra parte, pueden leerse de forma independiente.

En definitiva, un libro muy interesante en su contendio y bastante bien esccrito, muy recomendble en definitiva.

Cómo el libro se queda en 1938, y eso deja fuera muchos aportes, tengo intención de leer otro libro sobre historia de la teoría de campos, clásica y cuántica, que cubre la relatividad general y la teoría cuántica de campos, incluyendo los campos gauge. Aunque uno conozca la presentación actual de esos temas es muy interesante saber el desarrollo histórico. La relativdad general es algo de lo que hay bastante material, pero de teoría cuántica de campos no tanto, y es bueno hacer publicidad del material existente.

Sobre la masa negativa

agosto 6, 2015

Como buen aficionado a la ciencia ficci√≥n me gustar√≠a que ya existiesen cosas como los agujeros de gusano, los motores de distorsi√≥n (warp drives) y, en general, el tipo de cosas que las ecuaciones de la relatividad general nos muestran que ser√≠ab posibles si existiera la “materia ex√≥tica”, entendiendo como tal aquella que viola alguna de las condiciones de energ√≠a positiva.

El caso es que los medios habituales para conseguir esa materia ex√≥tica requieren crear dispositivos como las placas paralelas del famoso ejemplo de Casimir. La idea es simple, uno junta mucho dos placas met√°licas y en la zona entre ambas se produce una cancelaci√≥n de modos cu√°nticos que hace que en medio de las placas haya una muy leve violaci√≥n de esas condiciones de energ√≠a positiva, es decir, que haya “energ√≠a negativa”. ¬†Hay muchos problemas en llevar esa idea a una realizaci√≥n experimental y, en todo caso, la energ√≠a negativa es tan peque√Īa que no sirve para gran cosa.

Eso me llev√≥ a plantearme una cuesti√≥n. En una zona del espacio normal, d√≥nde se verifican las condiciones de energ√≠a positiva, se crean part√≠culas de masa positiva ¬ŅSer√≠a factible que en las zonas de energ√≠a negativa se crearan part√≠culas de masa negativa?. Caso de ser as√≠ ser√≠a muy √ļtil. Uno podr√≠a tener sus placas de Casimir creando part√≠culas de masa negativa, que podr√≠amos extraer y almacenar, Esas part√≠culas estar√≠an disponibles como materia ex√≥tica una vez retiradas las placas, Claramente, c√≥mo la cantidad de energ√≠a negativa es muy peque√Īa, s√≥lo se podr√≠an crear part√≠culas de masa muy peque√Īa. De las part√≠culas conocidas los √ļnicos candidatos posibles ser√≠an los neutrinos, que no pueden ser almacenados, pero bueno, si damos con otra forma de crear zonas de mayor energ√≠a negativa tal vez pudieramos crear cosas como electrones “ex√≥ticos”.

Busqué si había algo en internet al respecto de la masa negativa y sólo encontre, en ese momento, una referencia a un trabajo de Robert L. Forward, físico y famoso escritor de ciencia ficción hard. Ahi explicaban que había que tener en cuenta la masa inercial por un ladoy la gravitacional por otro, y venía un análisis detallado de la masa gravitacional usando física newtoniana. Me pareció un análisis muy insuficiente así que me puse, en  ratos libres, a intentar hacer un análisis usando teoría cuántica de campos y relatividad general, y con algunas consideraciones de teoría de cuerdas, que es lo suyo en estos tiempos.

El punto de partida sería la ecuación de Klein-Gordon

wpid-wp-1438838368659.png

Ah√≠ se puede observar que la masa aparece en un √ļnico t√©rmino, y aparece elevado al cuadrado as√≠ que curiosamente, no se distingue una masa positiva de una negativa. Uno podr√≠a pensar que esto implica que la ecuaci√≥n de KG es totalmente insensible al signo de la masa, pero uno deber√≠a ser cuidadoso y examinar con cuidado mas detalles de la misma. Bien, una de las cosas que son importantes en la ecuaci√≥n de KG es que debe definir una densidad de probabiliad y una corriente conservada. S√≠ alguien ha estudiado mec√°nica cu√°ntica ordinaria habr√° visto que la densidad de probabilidad es el cuadrado de la funci√≥n de onda \Phi^*\Phi . En una teor√≠a cu√°ntica de campos eso no es autom√°ticamente as√≠. La densidad de probabilidad va a ser la componente 0 de una cuadricorriente de Noether asociada a simetr√≠as externas. Para el caso del campo escalar la densidad toma la forma (ver, por ejemplo, el libro de Hatfield “Quantum field theory of point particles and strings”:

image

Uno ve inmediatamente que en esa densidad de probabilidad la masa aparece dividiendo, y sin elevar al cuadrado. Eso significa que la densidad de probabilidad de una part√≠cula de masa negativa ser√° la opuesta de la de una de masa positiva. A poco que uno est√© familiarizado con la teor√≠a cu√°ntica de campos ya sabr√° la historia de la ecuaci√≥n de Klein-Gord√≥n: aparecen estados de probabilidad negativa, pero estos pueden ser interpretados como antipart√≠culas que pueden interpretarse como antipart√≠culas que viajan hacia atr√°s en el tiempo. S√≠ nos vamos a el campo escalar complejo puede probarse que √©ste campo tiene una simetr√≠a interna U(1), que, v√≠a teorema de Noether, se convierte en una corriente cuya integral en una superficie cerrada da una carga que uno podr√≠a asociar (aunque no necesariamente) con la carga el√©ctrica. Se puede ver que las antipart√≠culas tienen masa negativa. Pues bien, seg√ļn √©ste an√°lisis uno podr√≠a extraer la conclusi√≥n de que cambiar el signo de una masa -en este contexto masa inercial- es equivalente a intercambiar part√≠culas por antipart√≠culas, lo cu√°l choca con la hip√≥tesis, no demostrada, de que part√≠culas y antipart√≠culas tienen la misma masa. Todo √©sto es para la ecuaci√≥n de KG libre, luego ya analiamos que pasa con las interacciones entre part√≠culas, y con eso de que las antipart√≠culas puedan tener masa negativa.

Antes de ir con otra ecuaci√≥n vamos a otro aspecto importante, el de el campo gravitatorio creado por las part√≠culas. En las ecuaciones de Einstein la parte que describe la materia es el tensor energ√≠a momento. Ese tensor aparece en los libros de teor√≠a cl√°sica y cu√°ntica de campos, para la relatividad especial. Viene a ser poner en una cantidad tensorial las cantidades conservadas que se ense√Īan en los cursos de mec√°nica lagrangiana. Recordemos, asociada a una simetr√≠a del lagrangiano bajo traslaciones espaciales hay una cantidad conservada, que es el momento lineal. Asociada a una simetr√≠a bajo rotaciones se asocia la conservaci√≥n del momento angular, y asociada a una invarianza bajo traslaciones temporales se asocia la conservaci√≥n de la energ√≠a. Combinando eso en un tensor se obtiene el susodicho tensor energ√≠a-momento.

image

Esa expresi√≥n es v√°lida en relatividad especial. En relatividad general hay que sustituirla por otra, que viene a ser la variaci√≥n de el lagrangiano respecto a la m√©trica (los detalles vienen discutidos en, por ejemplo, el libro de relatividad general de Wald, en el ap√©ndice sobre formulaci√≥n Lagrangiana de la relatividad general”. La expresi√≥n concreta es:

image

Donde Sm es la acción de la materia. Para el lagrangiano de KG, en un espacio curvo (que es el normal, pero sustituyendo las derivadas normales por derivadas covariantes) el resultado de evaluar esa expresión nos da:

image

Se puede observar que, una vez mas, la masa aparece al cuadrado y, por tanto, seg√ļn eso, una masa negativa deber√≠a producir exactamente el mismo campo gravitatorio que una masa positiva, lo cu√°l es realmente chocante. En los libros d√≥nde se obtiene esa expresi√≥n no he visto ninguna menci√≥n de ese hecho, aunque me consta que la gente de relatividad general ha analizado la masa negativa. Hablar√© mas de ese aspecto posteriormente. De momento una observaci√≥n basada en un c√°lculo (trivial) propio. S√≠ uno coge un tensor energ√≠a momento cl√°sico el caso mas sencillo es el de un fluido perfecto (es decir, de viscosidad nula). Ese tipo de tensor se usa en los modelos cosmol√≥gicos mas sencillos, c√≥mo el de FRW (Friedman-Robertson-Walker), o el de la ecuaci√≥n de Tolman-Openheimer para modelizar una estrella (soluciones interiores de la ecuaci√≥n de Schwarschild). Su expresi√≥n es:

image

En esa ecuaci√≥n rho es la densidad, u la cuadrivelocidad del fluido y P la presi√≥n. La masa total es la integral de la densidad. Obviamente ah√≠ una masa negativa significa una densidad negativa. S√≠ se va a usar en una ecuaci√≥n c√≥mo la de Schwarschild rho debe tener simetr√≠a radial y, por tanto, las integrales ser√°n s√≥lo en la coordenada radial. Un caso entretenido es el de una capa esf√©rica de densidad negativa (y, para simplificar, presi√≥n nula). S√≠ uno resuelve la ecuaci√≥n correspondiente se obtiene de forma muy sencilla que s√≠ esa capa externa de densidad negativa tiene la misma masa que la masa interna positiva se obtiene en el exterir la m√©trica de Minkowsky en esf√©ricas, es decir, se ha apantallado la masa interior (esto es entendible tambi√©n desde el an√°logo para relatividad general del teorema de Gauss en electroest√°tica, el teorema de Ostrogowsky creo que se llama). √Čso podr√≠a permitir cosas muy entretenidas desde el punto de vista de la ciencia ficci√≥n. Se podr√≠a, por ejemplo, ocultar gravitatoriamente cosas c√≥mo un planeta (o una nave c√≥mo la estrella de la muerte). S√≠ eso se combina con una ocultaci√≥n visual nos lleva a la posibilidad de que una raza alien pudiera colocar un planeta, o una luna, al lado de la tierra y no se lo podr√≠a detectarūüėČ.

Bien, volvamos a un terreno mas serio. Al principio hab√≠a mencionado que la materia ex√≥tica era la que violaba alguna condici√≥n de energ√≠a positiva, pero no hab√≠a explicado en que consiste eso. La raz√≥n es que explicar ese concepto requiere el tensor de energ√≠a momento y a√ļn no lo hab√≠a definido. La idea es que la mayor√≠a de tensores energ√≠a-momento son de la forma 1 de la clasificaci√≥n de Hawking-Ellis.

image

Se ve que es muy parecido al tensor de un fluido ideal, con una densidad y una presi√≥n. La idea es que ese tensor, contraido con cuadrivectores, debe dar un resultado positivo. C√≥mo en relatividad hay cuadrivectores positivos, negativos y nulos no es tan sencillo c√≥mo el caso de formas bilineales definidas positivas y hay varias definiciones posibles para la energ√≠a positiva. Visser en su libro de referencia sobre agujeros de gusano enumera 7 tipos diferentes. En el siguiente apartado hace un an√°lisis de las posibles violaciones. Lo primero que nos ense√Īa es que el campo escalar de Klein-Gordon no viola ninguna de esas condiciones. Lo hace para masa positiva, pero, c√≥mo ya hemos visto, tambi√©n es v√°lido para masa negativa.

El siguiente ejemplo que analiza es el de Casimir, que tanto he mencionado. El truco es que las placas paralelas conductoras modifican el vacío de la electrodinámica cuántica.

image

El tensor correspondiente es

image

Ah√≠ z es la coordenada perpendicular a las placas, separadas por una distancia a. Se puede ver facilmente que ese tensor viola varias de las condiciones (un buen signo de ello es que la densidad es negativa). Es interesante se√Īalar que la materia de las placas es ordinaria y que es un efecto cu√°ntico, debido a la modificaci√≥n de la energ√≠a del vac√≠o en QED, debido a las placas, la que genera la energ√≠a positiva. Es decir, no se necesita materia ex√≥tica para tener energ√≠a negativa. Lo interesante ser√≠a que se pudiera crear una zona de energ√≠a negativa para crear materia ex√≥tica. Visser analiza alg√ļn ejemplo m√°s c√≥mo por ejemplo el entorno de un agujero negro (vac√≠o de Hartle-Hawking) y ve que all√≠ hay una violaci√≥n considerable de las condiciones de energ√≠a positiva. Tambi√©n algunos campos de los que se usan en modelos de quintaesencia para explicar la expansi√≥n acelerada del universo hay violaciones de la condici√≥n de energ√≠a d√©bil. Realmente uno podr√≠a considerar que esos campos son energ√≠a ex√≥tica, pero no tienen masa negativa, y no cubren el analisis que yo pretend√≠a. Ya hemos visto que con un campo de Klein-Gordon no se puede lograr eso.

La siguiente opción, en orden de complejidad, dentro de las ecuaciones relativisatas es la de Dirac.

image
Aqui la masa no esta elevada al cuadrado así que esta ecuación distingue masa positiva de negativa ¡Menos mal! Pero no cantemos victoria todavía, que también nos va a dar unas cuantas sorpresas.

En fin, veo que, cómo es habitual, en cuanto intento explicar algo que considero medianamente interesante las entradas se vuelven muy largas así que lo dejo aquí de momento. Quedan muchas cosas que comentar, cómo por ejemplo las ligeras relaciones entre ésto y la correspondencia AdS/CFT de Maldacena, las ecuaciones para spin mayor que 1/2, el caso del bosón de Higgs, etc, etc.

Quien me conozca seguramente estará aterrado ante semjante afirmación porque sabe de mi tendencia a no publicar las entradas sucesivas de un tema cuando decido dividirlo en varias partes. Para intentar tranquilizarle voy a comentar un aspecto técnico sobre wordpress y el galaxy note. Escribir matemáticas en el note, con el S-pen, es fantástico, y las característicar para hacer copy/paste de fórmulas de libros para tenerlas a mano también funciona bastante bien. En contraposición escribir fórmulas con latex en wordpress es muy tedioso (aunque bienvenida sea la posibilidad). He buscado bastante tiempo una herramienta que tranforme una fórmula escrita a mano al latex correspondiente y lo copie al portapapeles, para así poderlo pegar en el wordpress, pero no he dado con ella. Tampoco veía un modo sencillo de que las imágenes copiadas al portapapeles del note pudieran ser incluidas en wordpress, hasta que he descubierto que mediante un programilla del note (scrappbook) y la opción de exportación a la aplicación de worpress para android puedo subir las imágenes recortadas al portapapeles de manera razonablemente directa. He usado esa opción en casi todas las fórmulas de esta entrada, y es mucho mas rápido que el latex. Supongo que, en cierta manera, era esa diferencia de flexibilidad a la hora de escribir fórmulas entre el note y el blog- unido a otros factores, como que la física teórica está un poco aburridilla- lo que me ha tenido tan reacio todo este tiempo a escribir por aquí. Confío que, con esta nueva facilidad, me animaré a escribir de nuevo mas menudo.

¬ŅEst√° la f√≠sica te√≥rica erosionando la confianza del p√ļblico en la ciencia?

junio 23, 2015

Con excepci√≥n de una entrada que escrib√≠ para aclarar dudas sobre la pseudociencia de la consciencia cu√°ntica y la teor√≠a de la inmortalidad cu√°ntica de Robert Lanza, que se perdi√≥ por aquello de las sesiones de wordpress, no he escrito nada en casi un a√Īo.

El motivo no es falta de tiempo, tengo m√°s o menos el mismo tiempo libre que antes, o que me haya desconectado de la f√≠sica o las matem√°ticas (De hecho posiblemente haya dedicado mas tiempo a estos temas √©ste a√Īo que otros anteriores).

La causa es que no ha habido temas novedosos que me hayan invitado a escribir de ellos. Una cosa es que, para estar al d√≠a, yo me tenga que leer lo que se hace y otra informar a un p√ļblico general sobre una sucesi√≥n indefinida de temas que no llevan a una verificaci√≥n experimental o a un avance te√≥rico rompedor que de perspectivas serias de que eso pueda suceder.

El caso es que recientemente se ha publicado un artículo con el tema que planteo en el título.

Could the evolution of theoretical physics harm public trust in science?

La cuesti√≥n que plantea lleva en el aire mas de una d√©cada, y de dos, la incapacidad de la teor√≠a de cuerdas para hacer predicciones claras, complicadas con los modelos inflacionarios, que lo mismo que la propia teor√≠a de cuerdas, abren la ventana al tema del multiverso. Por supuesto, c√≥mo ya he explicado en este blog, y como est√° explicado en otros sitios, la teor√≠a de cuerdas s√≠ impone serias ligaduras a los universos posibles, m√°s de lo que hacen ¬†las teor√≠as cu√°nticas de campos. Pero el problema es que, seg√ļn pasa el tiempo, cada vez los desarrollos te√≥ricos se basan en otros desarrollos previos, y, de ese modo, la conexi√≥n con los datos probados experimentalmente se hace mas difusa.

Se puede argumentar que esos progresos son de tipo matem√°tico, y que, por tanto, son tan ciertos c√≥mo los postulados inicales. Pero, c√≥mo nos ha ense√Īado una y otra vez la historia, la ¬†interpretaci√≥n f√≠sica de unos resultados matem√°ticos no es un tema neutral en absoluto. Y sin una gu√≠a experimental una gente puede creer que unos resultados matem√°ticos signifcan una cosa, y que existe tal o cu√°l objeto, y que los sistemas se comportan de tal o cu√°l forma, y otros no estar de acuerdo. Un claro ejemplo de eso es la pol√©mica sobre la p√©rdida de informaci√≥n en agujeros negros, que ha pasado por el principio de complementariedad, ¬†el hologr√°fico, la correspondencia de Maldacena ¬†(un tema para darle de comer aparte), la propuesta de Polchinsky y Cia de los firewalls detr√°s de un horizonte de sucesos (o la teor√≠a de fuzballs de Mazur unos a√Īos antes), la correspondencia ER-EPR surgida a ra√≠z del debate de los firewalls, o c√≥mo ese ER-EPR veta la existencia de agujeros de gusano atravesables (soluciones de la relatividad general perfectamente v√°lidas, que ahora alguna gente descarta con unos argumentos muy difusos, sin entrar en ning√ļn tipo de detalle, pero con mucha rotundidad).

En definitiva, mucha superestructura, cada día más, y cada vez menos cerca de lo actualmente establecido de forma experimental. Eso deja cada vez mas espacio para que se hayan ido colando muchos errores que tal vez, analizando de forma teórica, se puedan detectar en el futuro, pero que rebajan la credibilidad.

Afortunadamente no todo es así, y hay mucha gente que sigue preocupada de hacer predicciones verificables en el LHC, o en medidas cosmológicas. Ciertamente para hacer esas predicciones eligen, de entre las posibilidades de la teoría de cuerdas, un subconjunto de opciones, de forma algo arbitraria, pero está bien que haya quien no pierda de vista la opción de tener resultados experimentales.

Por supuesto ahora que el LHC esta activo de nuevo, y funcionando a mas energía, es posible que en cualquier momento encuentre algo nuevo, y deje obsoleta esta entrada ¡Ojalá se así!.

Aprovecho también para dejar constancia de que esta semana se esta celebrando en india la conferencia Strings 2015. Lo mismo ahí anuncian alguna idea nueva realmente interesante (no es algo que haya que descartar).

Strings 2015

String technology: brane bombs, rayos desintegradores, escudos ultrarresistentes…

octubre 26, 2014

Cómo ya he dicho mas veces hace unas décadas la ciencia ficción imaginaba nuevas tecnologías, muchas de las cuales se han visto realizadas, y muchas otras, posiblemente algunas de las más interesantes, no.

Hoy en día la mayoría de los autores de ciencia ficción están muy por detrás de la ciencia actual y son incapaces de concebir cosas que sean medianamente basadas en física seria y sean novedosas. En vista de ello voy a dedicar esta entrada a explicar algunas ideas para posibles nuevas tecnologías basadas en la teoría de cuerdas. El nivel va a ser a nivel de ciencia ficción hard, con conceptos más o menos firmes, y alguna fórmula. Son todo ideas propias aunque supongo que cualquiera que domine la teoría de cuerdas podría tener ideas similares o mejores.

Por supuesto antes de exponer las ideas necesito explicar bastante cosas de ciencia. Muchas de estas ideas ya han sido expuestas en este blog, pero en mor de intentar la mayor autocompletitud posible se volver√°n a exponer.

El concepto de brane bomb (ser√≠a mejor hablar de bombs, porque habr√≠a varios tipos) no s√© si ha sido considerado con anterioridad. Se me ha ocurrido a m√≠, y no he consultado a√ļn si hay algo hecho en esa l√≠nea. Est√°, como su nombre sugiere, basado en el concepto de branas (sobre todo Dn-branas) de la teor√≠a de cuerdas.

Una Dn-brana viene a ser un objeto de n dimensiones (hay varios valores, entre 1 y 9 posibles para n). Esas branas serían zonas en las que se pueden mover los extremos de una cuerda abierta. Eso llevó al concepto de braneworld, consistente en que el universo de 3+1 dimensiones sería una D3-brana en el que se moverían las partículas del modelo standard, que serían cuerdas abiertas, y sólo el gravitón, que es una cuerda cerrada, podría moverse en las dimensiones extra (recordar que las cuerdas requieren un universo de 9+1 dimensiones.

El concepto m√°s sencillo de braneworld admite muchas generalizaciones. En todo caso los elementos gen√©ricos que necesitan conocerse para entender lo que ser√≠a una brane bomb necesitan que explique alguna cosa m√°s recordemos que la forma m√°s simple de reconciliar las dimensiones extra de la teor√≠a de cuerdas con el universo de 3+1 dimensiones es hacer que esas dimensiones sobrantes sean de un tama√Īo inapreciable (del orden de la longitud de Planck en el caso m√°s t√≠pico). Se dice que esas dimensiones est√°n compactificadas. Las propiedades de la f√≠sica del modelo standard (que es una teor√≠a cu√°ntica de toda la f√≠sica observada experimentalmente, excepto la gravedad, la materia oscura y la energ√≠a oscura) depende de las propiedades de esa compactificaci√≥n: por ejemplo, el n√ļmero de familias de part√≠culas ser√≠a el n√ļmero de Euler de la variedad en que se compactifican las dimensiones.

En torno a esas dimensiones dobladas sobre si mismas podr√≠a haber Dn-branas que se enrollasen en ellas total o parcialmente. En De ese modo se conjugan los modelos m√°s sencillos con los de d-branas. Es importante notar que el tama√Īo de esas dimensiones extra debe mantenerse bajo control. Ese tama√Īo y forma est√° asociado a unos campos escalares llamados moduli, en referencia a los moduli de geometr√≠a algebraica. Un moduli ser√≠a un par√°metro que nos dar√≠a informaci√≥n sobre la forma de una familia de superficies. El caso mas sencillo posible seguramente sea el moduli de un toro. En este caso el m√≥duli ser√≠a un cociente entre los dos radios del toro. En teor√≠a de cuerdas ese moduli matem√°tico ser√≠a un campo escalar cuyo valor fijar√≠a las proporciones y tama√Īos de la compatificaci√≥n.

Para que el tama√Īo est√© fijado debe generarse un potencial para esos moduli. Caso de no ser as√≠ habr√≠a una inestabilidad potencial y cualquier peque√Īa perturbaci√≥n podr√≠a hacer que alguna, o todas de esas dimensiones extras creciera o decreciera sin control. En una versi√≥n mas refinada se tendr√≠a lo que se conoce c√≥mo el problema de polony. Los moduli, por argumentos relacionados con la supersimetr√≠a, y en concreto la energ√≠a en la que se rompe la supersimetr√≠a Msusy. En concreto tendr√≠an una masa del orden de m=c.M_{susy} d√≥nde c es un par√°metro del orden de M_{susy}/M_{planck}. Con esa masa los modelos cosmol√≥gicos indican que los moduli aportarian demasiada energ√≠a en el inicio del universo conduciendo a una sobreclausura. Para evitar ese problema se debe general alg√ļn potencial para los moduli Ese potencial lo generar√≠a el flujo, una generalizaci√≥n del concepto del flujo magn√©tico, de unos campos antisim√©tricos que tendr√≠an su fuente en las Dn-branas. Entrar en mas detalles har√≠a que el post se volviese demasiado t√©cnico. Un buen review, relativamente sencillo, de la teor√≠a de compactificaciones de flujo es Pyhsics of String Flux compactifications

Es importante entender que las constantes de acoplo del modelo standard (las que deciden la intensidad de las interacciones) depender√≠an del tama√Īo de esas dimensiones extra. Por ejemplo, en el caso mas trivial posible, el modelo de Kaluza-klein del electromagnetismo, muy anterior a la teor√≠a de cuerdas (1919) la constante de estructura fina est√° relacionada con el radio R de compactificaci√≥n por la expresi√≥n \alpha=\frac{4l_p^4}{\Phi R^2}  Aqu√≠ \Phi es el dilat√≥n, el campo que fija el tama√Īo de la compactificaci√≥n, y ser√≠a, por tanto, un moduli, aunque uno muy especial. Aclaro que las cosas no son tan sencillas en un escenario realista. Sabemos por el modelo standard (verificado al haberse descubierto el bos√≥n de Higgs) que el fot√≥n est√° asociado a una simetr√≠a gauge que proviene de la ruptura de simetr√≠a de un grupo SU(2)xU(1) electrod√©bil. El U(1) de antes de la simetr√≠a no es el mismo U(1) del electromagnetismo. El fot√≥n es una combinaci√≥n del campo Z (bos√≥n electrod√©bil neutro) sin masa antes de la ruptura de la simetria, y el bos√≥n del U(1) original. Podr√≠amos irnos a alguna realizaci√≥n”stringy” del modelo standard SU(3)xSU(2)xU(1) que, en principio, nos dar√≠a las constante de acoplo de los diversos grupos gauge directamente a partir de los tama√Īos de compactificaci√≥n y luego, echando para atr√°s, a partir de los √°ngulos de Weinberg y de los valores observados de las constantes deducir el tama√Īo de cada una de esas compactificaciones. Por supuesto los detalles matem√°ticos ser√≠an horribles, y, adem√°s, nada nos garantiza que ese modo de obtener el modelo standard a partir de la teor√≠a de cuerdas es el que ha seguido la naturaleza. El problema del landscape nos dice que podr√≠a haber una cantidad enorme, el n√ļmero que se suele dar es 10^500, formas de obtener el modelo standard a partir de las cuerdas. Pero eso, para los prop√≥sitos de lo que quiero discutir aqu√≠ no es tan importante.

La idea que nos interesa es que, s√≠ de alg√ļn modo pudi√©ramos controlar los flujos que regulan el potencial de los moduli podr√≠amos cambiar el valor de las constantes de acoplo. Claro, el valor observado de las constantes depende de elementos circunstanciales (a que escala se rompi√≥ la supersimetr√≠a, el valor de vac√≠o que tom√≥ el bos√≥n de Higgs, etc), y no es nada sencillo imaginar que pasar√≠a exactamente s√≠ se lograra cambiar alg√ļn m√≥duli concreto, entre otras cosas porque no sabemos experimentalmente nada m√°s all√° del modelo standard, que ni siquiera tiene supersimetr√≠a. Pero, en principio, una f√≠sica m√°s avanzada que conociese esas cosas (suponiendo que la supersimetr√≠a y la teor√≠a de cuerdas son la descripci√≥n correcta de esa f√≠sica) podr√≠a predecir ese tipo de cosas.

Para m√°s dificultad, y ya a modo de explicar mas cosas sobre cuerdas, se√Īalar que los escenarios concretos que se pueden dar en teor√≠a de cuerdas son muy variados. Puede haber varias Dn-branas, de diferentes dimensiones, enrolladas sobre diferentes “agujeros” de las dimensiones compactificadas, y que unos campos gauge vivan en membranas diferentes, con los fermiones viviendo en las intersecciones de dichas branas, claro. Es complica a√ļn m√°s los c√°lculos, pero bueno, a los f√≠sicos se nos paga (o deber√≠a pagar) por ese tipo de cosas.

Vamos ahora con los conceptos pertinentes de las bombas. Una bomba siempre est√° asociada a una reacci√≥n exoenerg√©tica espont√°nea. Esto se da cuando se tiene un estado estable, que deja de serlo al cambiar las condiciones por ejemplo, al a√Īadir un nuevo reactivo) o uno metastable es decir, qu√© puede llegar a otro estado de menos energ√≠a, pero para ello se requiere un aporte de energ√≠a para superar un gap que impide alcanzar el nuevo vac√≠o. Es importante, adem√°s, que la diferencia de energ√≠a entre ambos vac√≠os sea menor que la del gap. De ese modo se puede dar una “reacci√≥n en cadena” en la que parte de la energ√≠a liberada cuando una zona concreta de la sustancia alcanza el nuevo vac√≠o se usa para que otra parte de la sustancia supere a su vez el gap. Los detalles cambian, pero cualquier bomba (o ya puestos, fuente de energ√≠a, al f√≠n y al cabo la diferencia entre una bomba y una fuente de energ√≠a es b√°sicamente la velocidad de la reacci√≥n) se basa en esos principios.

Un caso muy t√≠pico es el de las reacciones nucleares. Hay una f√≥rmula, la f√≥rmula semiemp√≠rica de masas, que nos da las masas (relacionadas con las energ√≠as de ligadura) de los n√ļcleos en funci√≥n de su n√ļmero Z. Esta es la gr√°fica de esa relaci√≥n.

He sacado la imagen de una p√°gina que explica los detalles de esa f√≥rmula. NIELS BOHR Y LA FISI√ďN NUCLEAR

La idea es que hay un m√°ximo de la energ√≠a de ligadura para un cierto Zc (un valor relativamente peque√Īo). Para √°tomos con un Z menor que Zc es favorable una fusi√≥n de los mismos para tener una ligadura mas fuerte (valor mas estable) y para √°tomos con Z mayor que Zc es favorable que se dividan en otros mas peque√Īos.

Bien, entonces tenemos ya los ingredientes para los rayos desintegradores, brane bombs y dem√°s. Vamos a ir con ello.

Imaginemos que logramos modificar, en una zona concreta del espacio, el valor de una constante fundamental, por ejemplo la constante de fermi G_F (el modelo de fermi es un modelo fenomenol√≥gico que describe muchos de los procesos de desintegraci√≥n nuclear d√©bil, y puede ponerse en t√©rminos de las constantes del modelo de Weinberg-Salan SU(2)xU(1)). Eso podr√≠a hacer que las desintegraciones nucleares ocurriesen a un ritmo much√≠simo mas veloz que el actual. La mayor√≠a de los n√ļcleos son inestables, aunque su ritmo de desintegraci√≥n es totalmente despreciable. Pero s√≠ se hace que G_F sea lo bastante grande cualquier cosa se podr√≠a desintegrar en un tiempo arbitrariamente peque√Īo.

Y ah√≠ ya entramos un poco en imponderables. Lo normal ser√≠a que para crear esa zona con G_F enorme tuvi√©ramos que aportar much√≠sima mas energ√≠a de la que producir√≠an los n√ļcleos al desintegrarse. En ese caso habr√≠amos creado una zona del espacio que desintegrar√≠a la materia. S√≠ esa zona la podemos expandir en forma de rayo, pues s√≠, tendr√≠amos un rayo desintegrador. No tengo claro c√≥mo ser√≠a de energ√©tico el proceso de desintegraci√≥n en s√≠. Una bomba de fisi√≥n nuclear genera mucha energ√≠a en poco tiempo porque es una reacci√≥n autocatalizada, y que ocurre en un tiempo infinit√©simal. S√≠ ajustamos los valores para que, en promedio, los √°tomos de un cuerpo macrosc√≥pico t√≠pico se desintegren en, digamos 5 segundos, y teniendo en cuenta que los n√ļcleos normalmente estables lo son porque est√°n relativamente cerca de el m√°ximo de energ√≠a de ligadrua, y que, por tanto, el gap de energ√≠a al desintegrarse ser√≠a peque√Īo, supongo que el cuerpo se desintegrar√≠a “limpiamente” y no en una explosi√≥n que aniquilar√≠a todo lo de alrededor, pero tampoco estoy muy seguro. Ser√≠a un ejercicio interesante para un examen de un curso introductorio de f√≠sica nuclearūüėČ.

Vamos ahora a ver un modelo posible de “bomba brana”. Imaginemos que vivimos en un mundo d√≥nde las branas est√°n enrolladas sobre una de las dimensiones extra. S√≠ en un punto hacemos crecer el valor del flujo lo suficiente podr√≠amos plantearnos la posibilidad de “pinchar la brana” en ese punto. Aclaro que ese concepto no tengo claro que est√© contemplado en detalle (o incluso si est√° contemplado) en la ortodoxia. En principio creo que ser√≠a posible, y que podr√≠a intentar calcular la energ√≠a necesaria usando la acci√≥n de Bron-Infield que describe el comportamiento de la brana, pero ni me planteo ahora meterme a analizar los detalles. Bien, s√≠ eso es posible se generar√≠a, imagino, una onda de Shock en la brana. Esa onda se transmitir√≠a por la brana desde le punto de “pinzamiento”. La brana, dentro de la cu√°l vivimos, responder√≠a a esa onda calent√°ndose a grandes temperaturas. Eso es al menos lo que se propone en el modelo cosmol√≥gico conocido como modelo ekpir√≥tico en el que el “big bang” se deber√≠a a una colisi√≥n de la brana que vivimos con una paralela. El modelo en s√≠ est√° bastante desacreditado, pero los c√°lculos de lo que ocurrir√≠a s√≠ una brana choca con otra deber√≠a ser similar a lo que producir√≠a la onda generada por un pinzamiento, imagino.

Los efectos de esa hipot√©tica “bomba brana” ser√≠a que en una zona del espacio-tiempo, expandi√©ndose c√≥mo una onda desde el punto de pinzamiento (punto de la “explosi√≥n”) la temperatura alcanzar√≠a un valor elevad√≠simo (cuanto depende de los detalles). Ese calor, al estar en la brana, y est√° en el propio espacio-tiempo, actuar√≠a desde dentro de los cuerpos s√≥lidos, no desde fuera. Sin meterme a calcular se puede estimar que las energ√≠as y temperaturas deber√≠an ser mucho mas elevadas que las de cualquier bomba nuclear. Adem√°s, la “explosi√≥n” ir√≠a por “dentro del espacio-tiempo” y no servir√≠a de nada ning√ļn tipo de barrera o escudo.

Y vamos con el √ļltimo punto, los escudos ultrarresistentes (pero in√ļtiles contra bombas brana xD). La idea seria crear una zona d√≥nde la constante electromagn√©tica alpha fuese mas grande (sin tocar el resto de constantes de acoplo). Eso, en principio, dejar√≠a la materia estable, pero permitir√≠a que los √°tomos se pudieran agrupar mucho mas cerca unos de otros. Para hacernos una idea de los √≥rdenes de magnitud con los que podr√≠amos jugar esta bien esta visualizaci√≥n. S√≠ hici√©ramos crecer un n√ļcleo at√≥mico al tama√Īo de un bal√≥n de f√ļtbol el √°tomo tendr√≠a el tama√Īo de la provincia de Madrid. C√≥mo no se pueden agrupar √°tomos mas cerca de su tama√Īo at√≥mico, y la masa del √°tomo est√° casi toda en el n√ļcleo, tenemos que la materia s√≥lida es, en cierto modo, incre√≠blemente porosa y muy poco empaquetada. Si hacemos crecer alpha lo bastante tendr√≠amos que podr√≠amos empaquetar la materia much√≠simo m√°s. Y no s√≥lo eso, los enlaces electromagn√©ticos, de los que dependen las propiedades de consistencia de la materia ordinaria, ser√≠an mucho mas fuertes, y tendr√≠amos por tanto una materia muy densa y muy resistente, ideal para construir materiales que sirvieran de escudos, bien contra bombas nucleares, bien contra rayos c√≥smicos. Esto √ļltimo servir√≠a para evitar que los astronautas recibieran demasiada radiaci√≥n en largos viajes espaciales. Bueno, y tambi√©n, supongo, se podr√≠a hacer escudos capaces de resistir el impacto contra micrometeor√≠tos (aunque no s√© yo s√≠ con eso bastar√≠a para asegurar la supervivencia del astronauta pues aunque no se rompiera el escudo la deceleraci√≥n podr√≠a ser lo bastante como para pulverizar al astronauta contra el caso de la nave, ser√≠a cuesti√≥n de hacer los c√°lculos).

Obviamente todo lo que he dicho es muy, muy hipot√©tico, empezando porque la propia teor√≠a de cuerdas es hipot√©tica en si misma. Pero incluso dentro de la teor√≠a de cuerdas hago muchas suposiciones. Adem√°s, no explico, porque no tengo ni idea, c√≥mo podr√≠amos controlar el campo de flujo que nos permitir√≠a cambiar el valor de los moduli, y por tanto de las constante de acoplo. Incluso s√≠ esto estuviera bien tampoco analizo los detalles exactos que s√≠ se podr√≠an calcular usando la f√≠sica conocida. Todo eso llevar√≠a much√≠simo tiempo, y no tengo claro que fuese algo que se pudiera incluir en ning√ļn programa de investigaci√≥n “vendible” a una universidad.

Con todo creo que puede ser interesante para estimular un poco la imaginaci√≥n de que tipo de tecnolog√≠as se podr√≠an crear basadas en la teor√≠a de cuerdas (s√≠ esta resulta ser cierta) y que son imposibles en el marco de otras teor√≠as. Y, adem√°s, me ha servido de excusa para divulgar un mont√≥n de conceptos interesantes en si mismos. Espero que una cantidad suficiente de lectores hayan entendido lo suficiente, porque admito que no es un asunto para nada sencillo, pero, hey, es ciencia ficci√≥n basada en el cutting-edge de la f√≠sica act√ļal, algo que hecho much√≠simo en falta en la literatura de g√©nero actual. Dejo total libertad a que cualquier escritor de CF use estas ideas (aunque caso de hacerlo agradecer√≠a que dejase referencia). Por supuesto si cualquiera usa estas ideas para construir una bomba brana y destruir el planeta tierra yo declino toda responsabilidadūüėČ.

Los resultados de BICEP2 casi desmentidos por los datos de Planck

septiembre 22, 2014

Hace unos meses el experimento BICEP2 proclam√≥ haber encontrado evidencias de ondas gravitacionales primordiales, producidas por la inflaci√≥n, siendo pues una evidencia tambi√©n de la existencia de la inflaci√≥n. Esto se hab√≠a logrado al encontrar modos B en el fondo c√≥smico de microondas. Este tipo de ondas significan que un ratio, llamado r, ten√≠a un valor 0.2, mucho mayor que lo esperado seg√ļn los modelos considerados hasta ese momento.

Desde la publicación de ese anuncio el arxiv ha visto una media de tres artículos diarios sobre inflación (eso he leído, habiendo seguido el arxiv casi a diario yo diría que más). Yo, en su momento, no puse nada sobre la noticia por un sencillo motivo: en el pasado he dejado constancia de muchos posibles descubrimientos, y, excepto el Higgs, todos han resutltado quedar en nada (vale, también es que para cuando había entendido bien que eran los dichosos modos B, el índice r, y el resto de detalles la noticia ya había dejado de serlo xD).

El caso es que cuando se publicó el resultado ya se avisó que era necesario que otros experimentos relacionados, y en particular el satélite Planck, contrastaran la observación. Hoy el experimento Planck se ha pronunciado, y lo que ha dicho es que el resultado de BICEP2 podría ser debido exclusivamente a polarización del fondo de microondas provocado por polvo interestelar en la zona de cielo observada y no debido a ondas primordiales. El problema es que BICEP2 medía la polarización exclusivamente en una frecuencia, y dependía de modelos teóricos para estimar el fondo. Planck usa medidas en 5 frecuencias, y mira una zona mas amplia del cielo, y no tiene ese problema.

El artículo de Planck en cuestión es éste: Planck intermediate results. XXX. The angular power spectrum of polarized dust emission at intermediate and high Galactic latitudes.

Se puede leer m√°s sobre el tema en el blog de Sean Carrol, preprosperous universe: Planck Speaks: Bad News for Primordial Gravitational Waves? o, tambi√©n, en un blog que no conoc√≠a de nada, cuyo link ha dado Peter Woit ‚ÄėBig Bang Signal‚Äô Could All Be Dust. Este √ļltimo blog da muchos detalles, y no me cabe duda de que la mayor√≠a de los blogs famosos tendr√°n entrada al respecto, as√≠ que recomiendo ojearlos.

De haberse confirmado este experimento habr√≠a significado un premio nobel te√≥rico para los proponentes de la inflacci√≥n (Allan Guth y Andre Linde), y otro para el grupo experimental, bien por la medida de la inflaci√≥n o bien por las ondas gravitacionales (al f√≠n y al cabo ser√≠a la primera evidencia casi directa de la existencia de las mismas), o incluso uno nobel por cada uno de los descubrimientos, vaya. Pero, en vista de lo que ha publicado hoy Planck parece que va a quedarse en nada, lo cu√°l, con la escasez de descubrimientos positivos en f√≠sica y cosmolog√≠a fundamental, es siempre algo antip√°tico. De hecho esta contumaz costumbre de resultados experimentales a medias, que siempre terminan siendo desmentidos, que tenemos en la √ļltima d√©cada es lo que hace que cada vez me de mas pereza publicar sobre lo que se est√° haciendo hoy d√≠a y me divierta m√°s escribir sobre ideas propias, que aunque no sean tan importantes c√≥mo lo que pueda hacerse por ah√≠, me resulta mas entretendio exponer. A√ļn as√≠ seguir√© poniendo de vez en cuando noticias sobre temas que me resulten llamativos y tambi√©n seguir√© con otras entradas did√°cticas sobre temas ya establecidos.

Juegos formales: Masas tensoriales I (planteamiento).

septiembre 13, 2014

Debo decir que las cosas que se est√°n haciendo √ļltimamente en f√≠sica te√≥rica, a nivel mas innovativo, no me entusiasman terriblemente, as√≠ que por eso estoy esforz√°ndome en reflejar lo que se est√° haciendo. Adem√°s, ya est√° el blog de Lubos y otra gente. Uno de los art√≠culos m√°s interesantes en bastante tiempo, que no puedo dejar de recomendar, es √©ste:
Vafa: supergroups, non-unitary cousins of CFT, and black hole puzzles en el que comenta este artículo de el famoso Cumrum Vafa (posiblemente el físico de cuerdas mas prestigioso después de Ed Witten, con permiso de Juan Maldacena) Non-Unitary Holography.

Hay alguna cosa m√°s, que ya ir√© mencionando seg√ļn vaya leyendo y analizando, pero hoy me voy a centrar en algo que estuve haciendo hace un tiempo, y que creo puede resultar entretenido, y que ayuda a replantearse cosas, pasar de una f√≠sica en la que la masa es una constante a ser una magnitud tensorial.

Lo primero es indicar las motivaciones iniciales para considerar esa posiblidad. La primera idea la tuve a raíz de un polémico experimento de PODKLETNOV y su presunta máquina de antigravedad . La verdad es que el experimento y la polémica quedaron en nada, al menos hasta dónde sé. Pero la idea que me planteé es la siguiente. Sí uno piensa en que en una zona de la tierra hay una máquina de antigravedad eso significaría que el campo gravitatorio resultante perdería su simetría esférica. En el límite en que se hace que la masa que provoca el campo sea puntual tendríamos que en vez de un punto sin estructura en la que estuviera toda la masa tendríamos algo que tendría una distribución angular, bien en forma de vector, o de tensor de segundo orden (o alguna forma mas complicada como un desarrollo en serie de términos tensoriales de orden creciente, pero vamos, mejor empezar por las generalizaciones mas sencillas.

Bien, esa es la primera idea. La segunda ser√≠a ¬ŅY c√≥mo ser√≠a el comportamiento inercial de esa masas vectoriales o tensoriales? Por supuesto sabemos que, al menos en promedio, la masa no tiene estructura. Ahora bien, pensemos en un electr√≥n (o cualquier otra part√≠cula subat√≥mica). Imaginemos que moverlo en una direcci√≥n sea ligeramente mas dif√≠cil que moverlo en alguna otra, pero que la orientaci√≥n de ese vector, o tensor masa, var√≠e de un electr√≥n a otro. As√≠, en promedio, para una cantidad macrosc√≥pica de electrones, no habr√° ninguna direcci√≥n privilegiada. Luego, si vamos a el caso del an√°lisis de un electr√≥n aislado, al ser cu√°ntico y no seguir una trayectoria, pues ya no tiene mucho sentido el estudio cl√°sico y habr√≠a que ir a el caso cu√°ntico. La verdad es que imagino que habr√° l√≠mites experimentales que, desde ya, se pueden hacer a la posible asimetr√≠a vectorial/tensorial de la masa de las subpart√≠culas, aunque siempre se podr√≠a argumentar que s√≠ son muy peque√Īos no ser√≠an observables si no se busca espec√≠ficamente.

Una consecuencia pr√°ctica de este posible car√°cter vectorial/tensorial de la materia ser√≠a la siguiente. S√≠ se pudiera “polarizar” la materia de tal forma que todas las subpart√≠culas, orientadas de manera aleatoria, alinearan sus masas en una direcci√≥n concreta tendr√≠amos una situaci√≥n interesante. La “masa total” (el m√≥dulo del vector, o s√≠ es un tensor, alguna norma matricial adecuada) se mantendr√≠a, pero resultar√≠a que mover un objeto en la direcci√≥n del menor valor de la masa ser√≠a mas sencillo que en las otras. As√≠, si realmente la materia tuviera esa naturaleza, y supi√©ramos c√≥mo polarizarla, podr√≠amos, dependiendo del grado de asimetr√≠a, hacer que mover un cuerpo en una direcci√≥n requiriese muy poca fuerza (y por consiguiente gasto energ√©tico) a costa de que fuese mas dif√≠cil de maniobrar, debido a la mayor masa en las otras direcciones. S√≠, por ejemplo, la asimetria pudiera ser de un 30% eso significar√≠a que ahorrar√≠amos un 30% de gasto en transporte.

Ok, hasta ahí consideraciones muy mundanas. Vamos a ir a algo mas abstracto. En relatividad general el campo gravitatorio newtoniano pasa a ser la geometria del espacio-tiempo, y en concreto su métrica, un tensor de orden 2 (una matriz, para entendernos). A partir de la métrica (que generaliza el potencial, la componente 00 de la métrica está relacionada con el potencial newtoniano clásico) se obtiene el tensor de curvatura de Ricci, otro tensor de orden 2. Cómo ya mencioné en la entrada anterior, comentando el libro sobre Riemman, la parte de geometría diferencial estaba hecha en 1902 o así, y la idea de que el espacio podría ser curvo llega hasta, cuanto menos, Gauss, y ya un físico formuló una idea de que la materia curvaba el espacio a mediados del siglo XIX. El éxito de Einstein fué pasar de esas consideraciones etéreas a algo mas concreto. En concreto, sospecho, la gran dificultad de la RG, que pasa desapercibida, y no se hace suficiente énfasis, es
c√≥mo relacionar esas ideas geom√©tricas con la materia. La soluci√≥n, desde el punto de vista actual, es el tensor de energ√≠a momento. Una introducci√≥n muy detallada a las ideas b√°sicas de ese tensor la pod√©is encontrar en el estupendo blog sobre la teor√≠a de la relatividad, en concreto esta entrada. En f√≠sica te√≥rica se suele definir una f√≥rmula general para obtener ese tensor a partir del lagrangiano de un campo. Ese campo puede ser el campo electromagn√©tico, o un campo cu√°ntico gen√©rico, c√≥mo el campo de klein-gordon o el de Dirac. Estos √ļltimos surgen de la idea de tomar la “funci√≥n de onda” de una part√≠cula que cumpla las respectivas ecuaciones c√≥mo un campo “cl√°sico” cuyo valor se interpreta c√≥mo la probabilidad de crear una part√≠cula que cumpla esas ecuaciones (el bos√≥n de Higgs seguir√≠a la ecuaci√≥n de Klein-Gordon, el electr√≥n la de Dirac). Lo interesante es que esos lagrangianos, cuando tienen una masa en el t√©rmino cin√©tico, es una masa “escalar”. Uno se podr√≠a plantear que tal vez sea mas “natural” que ya de principio la masa sea un tensor, c√≥mo el lado derecho de la ecuaci√≥n, el tensor de Ricci. Desde luego no es esta la idea mas habitual. Lo que la gente ha buscado es que la materia sea en si misma algo con estructura geom√©trica. En esa l√≠nea lo √ļltimo que he visto es un trabajo del famoso matem√°tico (galardonado con la medalla fields), Michael Atiya Geometric Models of Matter que, la verdad, no ha tenido una gran repercusi√≥n.

Aparte de estas justificaciones “abstractas” otra motivaci√≥n mas pragm√°tica y fenomenol√≥gica vendr√≠a de la posibilidad de que s√≠ vivimos en un “braneworld” en el que la materia est√° restringida a moverse en una brana tal vez haya alguna asimetr√≠a en la brana, que var√≠e de un punto a otro, y que esa asimetr√≠a cause esa “masa tensorial”. O, tal vez, podr√≠amos pensar en un mecanismo de Higgs alterado, con un Higgs que no sea escalar sino vectorial, y que no represente una simetr√≠a interna sino externa. La verdad es que esto est√° muy tra√≠do por los pelos y, en √ļltima instancia, es casi mas interesante el juego conceptual, y lo que se puede aprender sigui√©ndolo, que la parte pr√°ctica, aunque nunca se sabeūüėČ.

Bien, entonces tras esta exposición de las motivaciones pasaré, en la siguiente entrada, a exponer cómo implementar la idea, y lo que se aprende en el intento.

RIEMANN: UNA VISION NUEVA DE LA GEOMETRIA

agosto 12, 2014

De vez en cuando me gusta leer biograf√≠as de cient√≠ficos famosos (preferentemente f√≠sicos y matem√°ticos).Este verano he le√≠do de la de Riemann, escrita por Jose Lu√≠s Mu√Īoz.

El libro mantiene un muy buen equilibrio entre los aspectos biográficos (especialmente los pertinentes a la parte académica, lógicamente), y los de la matemática.

Empieza por los primeros trabajos en variable compleja (ecuaciones de Cauchy-Rieman para determinar si una función es analítica, superficies de Riemann para funciones complejas multivaluadas, y su utilidad), y en teoría de la integral (integral de Riemann, claro xD) haciendo hincapié no tanto en la definición en sí (se supone que el lector debería tener cuanto menos una base de bachillerato y conocerla) cómo en las implicaciones de esta par aformalizar y poner en base firme muchos resultados anteriores, y posreriores (hasta la llegada de la integral de Lebesgue, y la teoría genera de la medida e integral, que serían necesarias mas adelante, pero eso no quita que la definición de Riman siga siendo muy válida en muchos casos).

Luego pasa a la parte que da al libro su subt√≠tulo. Ah√≠ habla de c√≥mo para obtener una plaza de profesor debe hacer una lectura para conseguir una plaza de profesor permanente. Seg√ļn la tradici√≥n propone 3 temas el √ļltimo de los cuales era la geometr√≠a. Entre el jurado est√° Gauss, del cu√°l Riemann hab√≠a sido alumno. C√≥mo quiera que Gauss hab√≠a publicado muy recientemente su trabajo en geometr√≠a. Este versaba principalmente geometr√≠a intr√≠nseca de superficies, de gran importancia, culminado por su “teorema egregio” que vincula la integral de su curvatura intr√≠nseca -no depende del “embeding” de la superficie en \mathbb{R} ^3 con una propiedad topol√≥gica de la superficie, el g√©nero, que hab√≠a aparecido en el trabajo de Riemann en superficies de Riemann compactas. El caso es que bien sea por mala uva (algo siempre posible en Gauss) o porque ten√≠a curiosidad de ver que aportaba alguien tan brillante c√≥mo Riemann al tema decidi√≥ que el trabajo versara sobre la tercera opci√≥n (cuando siempre se hab√≠a mantenido la tradici√≥n de que versase sobre la primera).

El caso es que, con gran estr√©s, Riemann prepar√≥ una lectura magistral d√≥nde generaliz√≥ los resultados de gauss a un n√ļmero arbitrario de dimensiones. Para ello introdujo el concepto de variedad. Eso s√≠, c√≥mo el trabajo deb√≠a leerse ante un p√ļblico amplio que, aparte de matem√°ticos, inclu√≠a f√≠sicos, bi√≥logos, ge√≥logos, etc, no entraba en muchos detalles. Sea por eso, o por que el autor del libro as√≠ lo decidi√≥, la verdad es que apenas comenta ning√ļn punto t√©cnico al respecto.

No obstante, pese a esa falta de detalles t√©cnicos, si hay dos punto muy curiosos. Por un lado menciona a Kingdon Clifford, muy conocido por las √°lgebras que llevan su nombre, pero mucho menos (yo desde luego lo ignoraba) por su teor√≠a de la gravitaci√≥n basada en la geometr√≠a. Cierto es que ya Gauss hab√≠a comentado que determinar en que geometr√≠a vivimos deber√≠a ser algo emp√≠rico, y basado en medidas locales (de ah√≠ su geometr√≠a intr√≠nseca, inspirada por su trabajo c√≥mo cart√≥grafo). Pero Clifford va mas all√° y afirma que es la materia la que curva el espacio. Esto lo publica en 1870, 45 a√Īos antes de que Einstein desarrollase la relatividad general. Por supuesto su teor√≠a es mas una idea filos√≥fica que algo bien desarrollado f√≠sica y matem√°ticamente. Y a√ļn estaba lejos el concepto de espacio-tiempo, en el que el tiempo y el espacio es algo que depende del espectador (manteni√©ndose invariante la velocidad de la luz, o la m√©trica de minkowsky).

Tambi√©n habla de dos disc√≠pulos Italianos (en el final de su vida Riemann fu√© a dar clase a Italia, por motivos de salud) de Riemmann, Cristoffel y Levi-Civitta. Estos continuar√≠an su trabajo en geometr√≠a y construir√≠an el c√°lculo tensorial que luego usar√≠a Einstein en su relatividad general. Lo curioso es que ese trabajo ya estaba hecho en 1901. Con eso nos quedamos con que el 1870 ya se hab√≠a sugerido que la materia curvaba el espacio. Muy poco tiempo despu√©s, 1907, de publicar su relatividad especial Herman Minkowsky pondr√≠a esa teor√≠a en un formalismo geom√©trico, creando el concepto de espacio tiempo con una m√©trica constante. En conclusi√≥n, Einstein ya ten√≠a en 1907 todos los ingredientes para cocinar su relatividad general. De hecho en la presentaci√≥n actual el paso de un espacio-tiempo plano a uno curvo es algo tan “autoevidente” que resulta hasta extra√Īo creer que le llevase tanto tiempo dar el salto. Admitamos que Einstein no conociera esa matem√°tica. Pero el c√°lculo tensorial tampoco es tan complicado de entender (al menos s√≠ lo explica alguien que sepa). Se puede tardar, en la forma en que se presentaba en esa √©poca, unos 4 meses, c√≥mo mucho. Realmente con clases privadas de un experto (c√≥mo fu√© le caso de Einstein) yo creo que se podr√≠a reducir el tiempo a un mes o menos (realmente no s√© l oque tard√≥, a lo mejor visto desde la perspectiva actual parece mas sencillo de lo que era en la √©poca).

Entonces s√≠ todo parec√≠a tan predeterminado ,y estaban todos los ingredientes, y Einstein era tan listo, una vez m√°s ¬ŅPor qu√© tard√≥ tanto? Bueno, supongo que por un lado porque las cosas parecen mas sencillas despu√©s. Y, por otro, porque estaba listo todo el aparato matem√°tico de la geometr√≠a. Lo que no estaba nada, nada claro, sospecho, es c√≥mo relacionar la materia con esa geometr√≠a. Adem√°s, Einstein trabajaba con observadores. Desde un punto de vista geom√©trico las cosas se ven de una forma, y desde los observadores de otra. Supongo que uno podr√≠a plantearse que pasa con observadores con aceleraci√≥n lineal constante primero, y luego con una aceleraci√≥n centr√≠peta constante (he le√≠do varias biograf√≠as de Einstien, y me parece recordar que en parte si hizo eso). De hecho es pensando en observadores c√≥mo sale el famoso experimento mental del ascensor, y de ah√≠ la idea de la geometr√≠a c√≥mo campo gravitatorio (en realidad hay mas factores hist√≥ricos, pero eso es otro asunto). Pero, insisto, yo creo que la parte que fu√© mas dif√≠cil es la de la inclusi√≥n de la materia. Realmente uno puede saltarse toda esa b√ļsqueda de Einstien y tener una forma de trabajo “operativa”. Aprende a calcular el tensor de Einstein y luego sabe que al otro lado est√° el tensor energ√≠a-momento. Se puede quedar con que para un fluido (algo importante en cosmolog√≠a) tiene la forma que tiene (s√≠ le apetece se lee los detalles de porque eso est√° relacionado con la teor√≠a de fluidos standard). Y, luego para cuando se empieza de un lagrangiano, uno se queda con que del lagrangiano se saca el tensor energ√≠a momento mediante variaciones. Es algo realmente latoso el c√°lculo de ese tensor, no confundir con el tensor de energ√≠a-momento de n√≥ether, con aquello de calcular las variaciones respecto a la m√©trica, y hay que usar varias formulilas para poner eso en forma tratable y etc, etc (yo hice hace poco el c√°lculo del tensor energ√≠a-momento de una cuerda bos√≥nica, para ver si era capaz de reproducir los resultados de libro, y me cost√≥ lo suyo aunque la final lo saqu√©). Per ovamos, eso, que si a uno le plantan el lagrangiano del sector geom√©trico ya sabe que de ah√≠ salen, mediante variaciones, el tensor de Einstein. Y si le plantan el lagrangiano de la la materia pues entonces puede “aplicar la receta”. Realmente son tareas precisas, y met√≥dicas, y pueden hacerse con un ordenador. Para mathem√°tica hay mcushos scripts de c√°lculo tensorial. m√°xima lo trae incorporado. no s√© si hay scripts que calculen el tensor energ√≠a-momento a partir de un lagrangiano pero no se me ocurre motivos para que no pueda haberlos.
En definitiva, que puede ser enga√Īosamente f√°cil la inclusi√≥n de la materia, pero sospecho, puede haber ah√≠ mucha sutileza oculta.

Pero dejemos la relativdad y sigamos con Riemann. Tras eso el libro se pone a hablar de su trabajo en funciones el√≠pticas. Ah√≠ el libro entra en muchos detalles. Hace una introducci√≥n al tema desde el principio, definiendo las integrales el√≠piticas, y otras similares mas sencillas. Luego hace un repaso de los trabajos previos de los Benouilli, euler, Legendre, Abel y Jacobbi (y c√≥mo Gauss ya ten√≠a estos √ļltimos trabajos antes que esos dos, pero sin publicar). Y luego, claro, explica el trabajo de Riemann. Realmente no puede usarse c√≥mo libro de texto sobre funciones el√≠pticas (una introducci√≥n a las ideas mas habituales y de mas uso viene en libros de f√≠sica matem√°tica, c√≥mo , por ejemplo. El Mathews Walker). Es curioso eso de las funciones el√≠pticas. Aunque he le√≠do sobre ellas, por completitud, la verdad es que no me las pusieron nunca en un plan de estudios ni en f√≠sica ni en matem√°ticas (y eso que en matem√°ticas cog√≠, mala elecci√≥n a la postre ya que de las partes que me interesaban del temario no se di√≥ nada, variable compleja II). La verdead es que no tengo claro s√≠ siguen siendo importantes en alguna rama de las matem√°ticas hoy d√≠a o si son algo as√≠ como una “abandonamath”. S√© que existen las funciones autom√≥rficas y modulares, y me parece que, de alg√ļn modo, tiene algo que ver con las funciones el√≠pticas. Pero el caso es que asist√≠ en la complutense a un curso (abierto a todo el p√ļblico) de funciones automorfas y modulares y si hay alguna relaci√≥n no se mencion√≥.

La √ļltima parte del libro, c√≥mo podr√≠a esperarse, trata de la famosa hip√≥tesis de Riemann, Ah√≠ se trata las propiedades de la funci√≥n z de Rieman y de las partes pertinentes de la teor√≠a de n√ļmeros (dsitribuci√≥n de los n√ļmeros primos basicamente)

Hay alg√ļn aspecto m√°s en el libro que no he mencionado (funciones hipergeom√©tricas, por ejemplo). Y poco he dicho de los aspectos biogr√°ficos. Quien quiera los detalles que lea el libro, que merece mucho la penaūüėČ.


Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.

√önete a otros 35 seguidores