Pájaros de mal aguero amenazan el LHC

Un pájaro deja caer un trozo de mantequilla y causa un calentamiento de uno de los superconductores del LHC a una temperatura de casi 8 grados kelvin, unos 6 más de la temperatura usual de operación resultando en un retraso de 3 días en la operación de progresiva puesta en marcha. De haber estado plenamente operativo hubiera sido potencialmente peligroso y hubiese obligado a una suspensión de operacioines mas extensa:

http://motls.blogspot.com/2009/11/bird-baguette-bombs-and-overheats-lhc.html

http://www.theregister.co.uk/2009/11/05/lhc_bread_bomb_dump_incident/

El jefe del proyecto asegura que es completamente normal que una máquina tan grande y compleja sea propensa a este tipo de fallos:

Foto del máximo responsable técnico del CERN/LHC:

Hace aproximadamente un mes unos físicos presentaron un artículo dónde insistían en la idea presentada en otro artículo suyo de hace más de un año (anterior al fallo del anterior veranol del LHC)que afirmaba que un efecto de causalidad retrasada iba a boicotear el LHC para que no llegara a producir el bosón de Higgs, que tiene unas características físicas indeseables:

http://www.newscientist.com/blogs/shortsharpscience/2009/10/is-a-time-travelling-higgs-sab.html

Cita:

“the hypothesized Higgs boson… might be so abhorrent to nature that its creation would ripple backward through time and stop the collider before it could make one, like a time traveler who goes back in time to kill his grandfather.”

(El hipotético bosón de Higgs … podría ser tan abominable a la naturaleza que su creación crearía un rizo hacia atrás a través del tiempo y detendría la colisión antes de poder crar uno, como un viajero del tiempo que vuelve a tiempo para matar a su abuelo.)

Otra posible explicación a todos los fallos, retrasos e incidente varios del LHC podría ser lo que se comento hace unos cuantos años en una conferencia sobre el LHC a la que asistí. El ponente, que ocupaba un cargo de una cierta relevancia en el organigrama del CERN comentó que era muy probable que hubiera retrasos considerables sobre la fecha prevista para la inauguración (año 2005) debido a un relevo generacional en la plantilla del CERN. Los físicos e ingenieros que habían estado en el CERN desde su inicio, construyendo los diversos aceleradores que precedieron al LHC estaban alcanzando la edad de jubilación. Los nuevos empleados destinados a sustituirles carecían de experiencia en proyectos de este tipo, cosa comprensible pues apenas hay proyectos de este calado (el Tevatrón, situado en estados unidos es actualmente el único acelerador de características comparables). Entrenar a un técnico para ser eficiente realizando tareas tan complejas no es teoría sencilla, y requiere bastante tiempo, con lo cuál no es de extrañar que el proyecto sea proclive a tener mas errores de lo que a todos nos gustaría. El conferenciante no lo menciono pero tal vez sería interesante analizar hasta que punto el sistema de formación, basado en becas postdoctorales de corta duración, que no suelen estar asociadas a una posterior plaza laboral permanente o semipermanente son apropiadas para habilitar las condiciones adecuadas para que estos relevos generacionales se produzcan en las condiciones idóneas.

De cualquier manera, incluso sin tener en cuenta el relevo generacional conviene no menospreciar la dificultad intrínseca de los proyectos de esta magnitud. Para tener una comparación adecuada podría pensarse en las misiones espaciales no tripuladas. Quizás el caso mas llamativo sea el de las misiones a marte dónde el 75% de los proyectos de sondas automatizadas fracasaron. Incluso algo mas sencillo, como es el proyecto del transbordador espacial, tenía una tasa de error del 2%. Puede parecer poco hasta que uno piensa que eso significa que de cada 100 vuelos del transbordador dos van a terminar en una catástrofe que terminase con la vida de sus tripulantes. Esta claro que si los automóviles tuvieran unas estadísticas similares casi nadie se atrevería a usarlos.

Nuevos links

Tengo relativamente pocos enlaces en la sección correspondiente del blog. Hay varios motivos para ello. Uno es que este blog lo escribo en español e intento que la mayoría de links sean a páginas en ese idioma. Eso es un problema porque apenas conozco la blogosfera española, y algunas cosas que conozco debo decir que, en general, no me entusiasman (alguna hay que no me ofrece mucha confianza en el rigor de sus contenidos). Hasta ahora estaban enlazadas aquellas que conozco por mi participación en la web de ciencia ficción sédice, que están llevadas por dos físicos, instan y legna, el excelente foro de migui, en el cuál llevo tiempo interviniendo, y el blog de física en la ciencia ficción, que aparte de ser de lo mejorcito encaja muy bien con este blog en el que aparte de ciencia pura dejo caer cosas de ciencia ficción

El caso es que con motivo de esta entrada, surgida con propósito de añadir dos links ingleses he hecho una exploración medianamente sistemática de dicha blogosfera. He seguido todos los enlaces de el blog de ciencia en la ciencia ficción y los de ciencia kanija, un buen blog dedicado a traducir entradas de fuentes de habla inglesa para aquellos que tengan problemas con la lengua de Shakespeare. He seguido un criterio de calidad bastante objetivo, orientado a discernir blogs principalmente de física y mates. Que hubiera un porcentaje razonable de entradas técnicas (entiéndase que contuvieran matemáticas) o que se discutieran conceptos sofisticados y tirando a recientes. El resultado ha sido bastante negativo. La mayoría de blogs no tenían nada que cumpliera esos criterios. Eso no quiere decir necesariamente que sean malos blogs. Ciertamente había noticias bastante curiosas e interesantes en algunos de ellos. Posiblemente en muchos casos sus autores prefieren hacer divulgación y colocar noticias científicas de actualidad presentadas de forma mas o menos sencilla. No hay, insisto, nada malo en ello, y desde luego yo mismo lo haré alguna vez.

Pero no es ese el tipo de cosas que buscaba. En la blogosfera inglesa, al menos la que yo sigo (principalmente la que tengo enlazada en el otro blog, algunos de cuyos enlaces tengo duplicados en este), hay unos cuantos blogs que se dedican a analizar con una cierta profundidad (a veces en absoluta profundidad) artículos y teorías recientes o muy recientes (al menos de vez en cuando). En mi otro blog, el de freelance quantum gravity, intento hacer eso en la medida de mis posibilidades. Por su misma naturaleza lo más lógico es que lo escriba en inglés pues la gente que pueda seguir ese tipo de contenidos obligatoriamente debe conocer ese idioma.

Para este blog, por contra,tenía la idea de escribir cosas técnicas a un nivel algo mas bajo, que pudieran ser útiles a estudiantes universitarios o a licenciados con ganas de que les expliquen algunos temas algo mas avanzados con un cierto rigor que no pueden hallar en los libros de divulgación.

Ciñéndome a esos criterios en la búsqueda antes citada sólo he encontrado un blog que me ha convencido plenamente, the last nomolith. Hay algunos otros que, si tengo tiempo, analizaré mas detenidamente y llegado el caso enlazaré para que los lectores de este blog tengan mas sitios (en español)a dónde ir cuando yo no escriba . También añadiré un enlace directo al blog de Migui. Se supone que la gente sabría llegar por si misma del foro al blog, pero siempre es mas cómoda una ruta directa. Eso sí, tras ese periplo creo que es mas que conveniente que haga un esfuerzo y escriba mas entradas técnicas. Ciertamente en las webs de las universidades están disponibles muchos documentos en pdf que cubren contenidos técnicos. Y también esta la wikipedia (aunque la española no siempre, casi diría que bastantes veces, esta al la altura de la inglesa). Pero no creo que eso deba ser un obstáculo para que los blogs no traten ese tipo de contenidos. Para empezar, por la misma naturaleza (limitaciones en la extensión) un blog siempre va a tender a presentar los temas de una manera mucho mas condensada y se pueden sacar muchas ideas de tales presentaciones para luego, si interesa, profundizar en ellas en libros y documentos pdf de mayor extensión.

Ya, para finalizar, voy a presentar los enlaces que originaron esta entrada.

El primero es la web the big blog theory. Imagino que a estas alturas la mayoría de los lectores de este blog conocerán la serie cómica de televisión “the big bang theory”, protagonizada por un grupo de amigos científicos (un físico de cuerdas, un físico experimental de altas energías, un ingeniero de la NASA y un astrofísico) y su vecina, una camarera que responde al arquetipo de belleza femenina americana (que no comparto especialmente). Aparte de científicos son “frikis” (cuanto mal ha hecho esa palabra) aficionados a los comics de superheroes DC (yo soy mucho mas de Marvel) al cine y las series de CF, en especial Star Trek (odio esa serie en particular, pero en general si soy aficionado a ese tipo de cosas y a los videojuegos (de eso casi no uso). La verdad es que hecho de menos que sean aficionados a las novelas de CF, pero quitando eso me parecen bastante representativos. En la serie se hace mucho hincapié en exagerar su torpeza social, en especial a la hora de su relación con las mujeres, y de ahí surgen muchos (afortunadamente no todos) de los momentos de comedia. El caso es que la ciencia de esa serie es muy rigurosa. Los guionistas son físicos ellos mismos, y tiene como asesor un asesor un profesor universitario (y yo diría que ocasionalmente les asesora Lubos Motl, de quien se dice que ha servido en parte como modelo para el personaje de Sheldon, rumor que el propio Motl alienta). El caso es que el asesor oficial de la serie es el que ha abierto ese blog para comentar la parte científica de la serie. Sé que hay algo similar para la serie “numbers”, que posiblemente pueda ser interesante, pero de momento me conformo con dejar el enlace a TBBT.

El otro enlace es de naturaleza muy diferente. Se trata de vixra . Esta es una web que ha surgido en parte como respuesta al archiconocido arxiv. Arsiv es actualmente el lugar dónde se publican los preprints de todas las revistas científicas relevante sen física y matemáticas. De hecho alguna gente publica exclusivamente en arxiv sin luego enviar el artículo a alguna revista (el caso mas señalado de esa conducta es Pierelman). Dado que las revistas tiene una cola de revisión de unos cuantos meses (con lo cuál en la práctica están desfasadas)y que es mucho mas sencillo leerse el arxiv que la revista en sí (bien sea en papel por motivos obvios, u online por aquello de las subscripciones) se llega a que lo qu ela gente lee en la práctica es el arxiv y que si no estas en el arxiv no existes (salvo que hagas “campaña” usando un blog, como es el caso de Matti Pitkannen y su TGD).

El problema con rxiv es que las condiciones de publicación (excepto para el ph_gen, que apenas se lee) son un tanto leoninas en algunos aspectos. Y se comenta que hay gente que esta en una “lista negra”. Sea como sea hace unos meses surgió vixra (arxiv escrito al revés, por si alguien no ha caído en ello) para que aquellos que por el motivo que fuese no pudieran o no quisieran publicar en arxiv tuvieran dónde enviar sus artículos para que estos quedaran reflejados de una manera oficial. He seguido ocasionalmente lo que ahí se ha publicado y debo decir que hay cosas de muy diverso pelaje. Algunas me parece que son obviamente falsas y sin mucho sentido. Otras, por contra, parecen bastante correctas y no podría pronunciarme sobre el particular sin una lectura mas detenida (asumiendo que versen sobre temas en los que tengo el nivel para hacerlo). Con todo, en general, el nivel me parece bastante mas bajo que el de arxiv, y su presunta originalidad me parece en muchos casos muy ingenua (o no originales en absoluto). Con todo a veces si comentan cosas que en arxiv posiblemente serían vetadas (principalmente la mención de experimentos-posiblemente muy discutibles- que parecen contradecir datos dados por cierto). En cualquier caso me parece bien que exista algo así, por si acaso, y lo dejo vinculado, con el anuncio correspondiente en este blog. Ya lo había anunciado en el otro blog, pero he preferido esperar un tiempo antes de ponerlo aquí, mientras tenía en estudio su evolución.

Ya, lo último, es hacer una invitación a que quien conozca algún blog/web en español que crea se ajusta a los criterios que he expuesto antes me deje la url si esta interesado en que lo añada a la sección de enlaces. También me voy a plantear la posibilidad de añadir mas enlaces a webs de ciencia ficción, aparte de sédice, en especial si son “cariñosas” con la CF hard. Y, por supuesto, también invito a que quien no este de acuerdo con mis impresiones sobre la blogosfera hispana no dude en comentarlo. Mientras se argumente y no se caiga en ataques ad hominen no voy a censurar ningún comentario

El LHC, el cambio climático y los beneficios de la invetigación fundamental

Hay una leyenda urbana, no sé hasta que punto veraz, que afirma que si alguien quiere financiación para un proyecto científico debe intentar relacionarlo con el cambio climático. Algo así como que cuando uno presenta un proyecto titulado digamos “Los hábitos de cría de la morsa de lomo moteado” es muy posible que no obtenga dinero para el mismo. Sin embargo si presentas exactamente el mismo proyecto pero en cambio lo titulara “los efectos del cambio climático sobre los hábitos de cría de la morsa de lomo plateado” automáticamente tendría todos los fondos que pudiera necesitar. Y posiblemente nadie se molestaría en verificar si realmente existe o no una morsa de lomo plateado .

Siguiendo ese planteamiento creo que no está de mas “vender” la relación del LHC con el cambio climático. A lo mejor así los fanáticos del alarmismo climático se ponen a favor. En particular no es mala idea cuando esta relación resulta que existe realmente .

Antes de entrar en detalles voy a comentar algo sobre un factor que yo creo que influyó bastante históricamente sobre la aceptación del cambio climático como una posibilidad verosímil. Me estoy refiriendo a Venus.

Inicialmente se creía que Venus , dada su distancia al sol y su tamaño, tendría similares condiciones a la tierra. Cuando llegaron las primeras sondas y se vio lo que había la primera explicación que surgió fue la del efecto invernadero. Y como quiera que en la tierra había gases de efecto invernadero y se tenía el ejemplo de lo que le había pasado a Venus se “ataron cabos” y se pensó que la tierra estaba abocada a terminar así por culpa de la “malvada tecnología”.

Sin el ejemplo de Venus muy posiblemente se hubiera tomado mucho menos en serio el efecto invernadero y, si acaso, se habría discutido de manera mas racional.

Ahora bien, venus esta ahí para mostrar el peligro del efecto invernadero ¿o no?. Pues no, para nada. La causa de las extremas temperaturas de Venus no tienen nada que ver con el efecto invernadero. Las investigaciones mas recientes, que han podido analizar propiamente lo que pasa debajo de la capa de nubes, nos muestran la realidad. Venus ha sido víctima del efecto marea. Este efecto consiste en que las fuerzas de marea de un cuerpo central muy masivo, en este caso el sol, actúan sobre otro que rota en torno suyo extrayendo energía de la rotación. La consecuencia es un igualamiento de los periodos de orbitación y de rotación. Efectivamente, el dí y el año venusiano tienen la misma duración (lo mismo pasa con la tierra y la luna, o con otras lunas de otros planetas del sistema solar). Esto hace que venus presente siempre la misma cara al sol. Aparte debilita hasta casi 0 su campo magnético. Esto permitió que el viento solar eliminara buena parte del agua de la superficie de venus y formara las condiciones que derivaron en un efecto invernadero. La clave es que le efecto invernadero es una consecuencia de una circunstancia astronómica, las fuerzas de marea, y no una causa.

El caso de Venus sería un ejemplo, posiblemente extremo, de lo que esta viniendo a denominarse como “cosmolimatologia”. Siempre se ha sospechado que factores ajenos a la tierra, posiblemente el sol y su luminosidad podrían estar relacionados con los cambios climáticos. Cada vez hay mas evidencias de que esto es así, pero con matices bastante sorprendentes.

Antes de entrar en cosmoclimatología mencionaré su pariente mas sencilla, la cosmometeorologia (realmente es posible que me hay inventado el nombre, pero sería adecuado en cualquier caso). Posiblemente mucha gente haya oído que los rayos de las tormentas se forman cuando hay una diferencia potencial entre las nubes y el suelo (o entre dos nubes distintas) lo bastante alta para que salte una chispa que equilibre ese potencial. La idea es buena, pero falsa. Realmente las mediciones demostraron que la chispa-el rayo-salta para diferencias de potencial mucho menores a las necesarias para romper el aislamiento dieléctrico de la atmósfera. Una hipótesis, hasta dónde sé aún no del todo comprobada, pero con muy buena aceptación, es que la causa de los rayos eléctricos son los rayos cósmicos. Estos abren brechas en la atmósfera que son aprovechadas por los rayos eléctricos para saltar y equilibrar las diferencias de potencial.

El caso es que los rayos aparte de en meteorología juegan, a la larga, un papel relevante en el clima. así pues ya tenemos una primera relación entre cosmología y cambio climático. Pero no es la única ni mucho menos. Un artículo, recién aprobado para su publicación en revistas peer to peer discute el papel de los rayos cósmicos en la formación de nubes. Dado que las nubes juegan un papel clave en el enfriamiento o calentamiento global (mucho mayor que le de los gases de efecto invernadero) que ese efecto haya sido, como se asegura en el artículo, fehacientemente verificado deja muy en entredicho (si no lo estaba ya) el consenso sobre el C02 y el calentamiento global. El artículo, escrito por Henrik Svensmark, Torsten Bondo, and Jacob Svensmark es este: Cosmic ray decreases affect atmospheric aerosols and clouds.

Tal vez alguien se pregunte que tiene esto que ver con el LHC. Bien, de momento dejar claro que los rayos cósmicos son partículas de alta energía. Su estudio se inició en buena parte para ayudar a entender la física de partículas. Hay rayos cósmicos de muy altas energías, mayores que las que puede producir el LHC. Posiblemente cualquier cosa que pueda producir el LHC se puede crear en colisiones de los rayos cósmicos con las partículas de la atmósfera. Por desgracia es inviable estudiar sistemáticamente esas colisiones y ello hace que sea necesario construir aceleradores. Lo que observemos en los aceleradores, a su vez, nos permite entender mejor los rayos cósmicos y que tipo de cosas puede haber en el universo.

En particular la física que veamos en el LHC nos permitirá entender mejor la cosmología. Visto el papel que aspectos cosmológicos pueden llegar a tener sobre el clima resulta que indirectamente al estudiar la física de partículas podemos llegar a entender mejor, y por tanto predecir mejor, el clima y que cosas lo modifican. Por ejemplo, la cantidad de rayos cósmicos que nos llegan esta parcialmente modulada por la actividad solar, en particular el viento solar A mas actividad solar menos rayos cósmicos, y por tanto menos nubes. Es más, hay otros estudios que apuntan a que el viento solar calienta, al comprimirla, la parte mas exterior de la atmósfera. Los efectos de ese calentamiento, con un retraso de unos cuantos años, es transmitido a las capas inferiores. Lo curioso es que el viento solar aumenta cuando hay muchas manchas solares y por tanto menos emisión lumínica. Realmente las cosas no son tan sencillas como pudiera esperarse.

En cualquier caso esta claro que interesa saber que podría afectar al sol. Aquí voy a hacer unas consideraciones de cosecha propia, muy preliminares, y que tampoco tengo un terrible interés en desarrollar, al menos a priori ya que no son este el tipo de cuestiones que mas me interesan. Con todo creo que pueden ser ilustrativas de lo que podría ser relevante. Or observaciones astrofísicas y cosmológicas tenemos indicios bastnate claros de que la mayor parte de la masa del universo esta en forma de materia no visible, materia oscura. Hay muchos, muchos, candidatos para la misma. Y hay varias opciones sobre su posible distribución, tanto en la galaxia, como a nivel local en el sistema solar y en la tierra. Algunos candidatos a materia oscura , por ejemplo la materia oscura tipo WIMP (weakly interacting massive particles) pueden llegar a colisionar entre si dando como resultado su aniquilación en fotones muy energéticos. Si en algún momento el sol llegara a pasar por zonas muy densas en materia osucra de ese tipo, y esta pudiera quedar atrapada de manera preferente en su centro, tal vez esas aniquilaciones modificaran de manera minimamente significativa las relacione constitutivas de presión vs atracción gravitatoria y alteraran ligeramente el funcionamiento del sol lo cuál repercutiría en cambios climáticos. Si esto fuera así el conocer detalles sobre la constitución de la materia oscura, que es algo que podría desvelar el LHC, permitiría hacernos una mejor idea de su distribución (y ver como lo satélites podrían establecerla. En ese caso como mas o menos sabemos la trayectoria del sol en la galaxia nos podríamos hacer una idea de que clima esperar (y además, podríamos cotejar eso con el registro histórico almacenado en el hielo).

Hay mas formas en que la física de partículas podría estar relacionada con el clima. Una posibilidad podrían ser los monopolos magnéticos. Estos están predichos por las teorías de campos de gran unificación -GUT’s- tipo SU(5). Estos monopolos no se han observado y esa no observación, dado que se espera que las GUT sean ciertas requiere explicación. Una posible explicación la dan los modelos cosmológicos de inflacción. El caso es que recientemente leí que de existir los monopolos su interacción con las estrellas, y planetas, podría ser desastrosa pues podrían provocar que se destruyeran los campos magnéticos que los rodean (la existencia de monopolos implicaría que las lineas magnéticas no necesitasen ser cerradas). Unos pocos monopolos bastarían para destruir el campo magnético del sol, o de la tierra, y eso sería un problema gravísimo. Lo curioso es que sabemos que no se han observado monopolos, y tenemos un modelo cosmológico que explica su ausencia. Es poco probable, pero tal vez pudiera ser el caso que los monopolos realmente existieran, con una densidad superior a uno por horizonte cosmológico (que es lo que predice la inflacción). Podría ser que en realidad hubiera algún mecanismo astrofísico, por ahora desconocido, que impidiera su presencia en las zonas interiores de el sistema solar. Si el LHC, de manera mas bien sorprendente, llegara a crear algún monopolo entonces tendríamos que revisar ese tipo de posibilidades.

Para cerrar esta parte de cosmoclimatologia voy a referirme a una teoria reciente sobre algo muy remoto. Me refiero a la extinción cámbrica. Esta fué la mayor extinción de seres vivos de la que se tiene noticia. Su porcentaje de extincion de especies vivas fué bastante superior a la mas famosa de finales del cretácico que llevo a la desaparición de los dinosaurios. La hipótesis mas reciente es que dicha extinción pudo deberse a un GRB (gamma ray burst-estallido de rayos gamma-) relativamente proximo. El “relativamente” depende de la naturaleza exacta del GRB en cuestión. Un GRB muy potente, relacionado con los centros de las galaxias activas podría afectar a la tierra incluso desde la distancia que nos separa de esas galaxias. Otros GRB menos potentes podrían afectarnos desde fuentes dentro de la propia galaxia. Como no se conocen todos los detalles sobre la naturaleza de esos GRB’s mas pequeños sería interesante averiguarlo. Y tal vez el LHC pueda decir algo al respecto. Ciertamente las probabilidades de que un GRB vuelva a afectar a la tierra son escasas. Y es muy difícil proveerles en cualquier caso. Eso sí, hay indicios de que otros fenómenos astrofisicos (asteroides, metoeritos, supernovas) puedan haber jugado un papel en otras extinciones mayores y menores. LA investigación en astrofísica puede ayudar a predecir mejor si hay épocas en que dichos acontecimientos son mas probables.

Para cerrar este post voy a dejar el clima y voy a mencionar una aplicación muy reciente de la física e partículas a la tecnología. Podéis leer sobre ello aquí. El asunto es la comunicación con submarinos sumergidos a gran profundiadad. Dada la atenuación de las ondas electromagnéticas en el agua es un asunto muy complicado. Los neutrinos, al no interactuar mas que mediante fuerza nuclear débil-que es de muy corto alcance-pueden atravesar la materia, y por supuesto el agua, sin problema. Pero pueden llegar a construirse no obstante detectores lo bastante eficaces como para ser capaces de transmitir información a un submarino mayor ritmo de lo que permite la radiación electromagnética. Y a cualquier profundidad. Y, por supuesto, emisores de neutrinos que codifiquen información. Eso sí, los emisores serían aceleradores de medio tamaño y no podrían ir en el submarino, con lo cual la comunicación seria unidireccional. Puede parecer un asunto interesante, pero no de una trascendencia fundamental. Dio la casualidad de que esta semana, tras haber leído la noticia, ví que daban en una TV la película “la caza del octubre rojo”. No la seguí entera, pero mas o menos la línea argumental es que el submarino tenia orden de lanzar un ataque nuclear contra Rusia. Para ello se sumergió y quedó incomunicado. Uno de los jefes del submarino que´ria ascender para obtener una confirmación. El otro estaba en contra. De haber tenido un sistema de comunicación basado en neutrinos hubieran podido obtener la ratificación (en ese caso derogación) y ya no hubiera habido peligro de que se lanzara un ataque nuclear por equivocación. Visto eso mejor que se desarrolle esa tecnologia de comunicación por neutrinos. Y además, sería muy útil para la investigación fundamental.

La idea general de este post es dar ejemplos muy recientes, y muy concretos, de las relaciones, muchas veces inesperadas, entre la investigación fundamental y las aplicaciones prácticas. Si sólo se financiara lo que parece práctico a corto o medio plazo se perderían muchos descubrimientos. Posiblemente los mas importantes. Y por supuesto a largo plazo sólo con investigación “práctica” se acabaría el progreso. Dados los recientes recortes de la administración española a la investigación, y el desconocimiento general sobre la relevacnia de la ciencia mas abstracta en las cosas “prácticas del día a dia” creo que este post puede resultar interesante.

Documanía

Parece que hay quejas de que los blogs, en particular los blogs de ciencia, han disminuido su ritmo de publicación. Uno de los blogs amigos de este, el del trasgú probabilista, sugería que la culpa se debía las redes sociales tipo facebook. No sé el caso general, pero desde luego no es el mío. Cierto es que he creado la consabida cuenta de facebook, y también una de myspace. Pero más que nada por invitaciones de amistades a crear dichas cuentas. Por supuesto el crear la cuenta no implica que se deba usar, al menos no en modo escritura .

En mi caso particular un factor (no el único) que posiblemente haya reducido el ritmo de publicación ha sido el descubrimiento de la web Documanía TV. El nombre es muy indicativo del contenido. Ahí están disponibles en formato flash, para ver on-line, la mayoría de documentales emitidos en Español. Están agrupados en temas, ciencia y tecnología, naturaleza, historia, etc. Y se actualiza a diario con nuevos documentales (en contrapartida también hay algunos que son borrados). La calidad es desigual, como podría esperarse, pero con todo hay una gran cantidad de muy buenos documentales. Por supuesto el formato de documental presenta limitaciones y no puede presentar a fondo una serie de temas y no se puede depender de los documentales como fuente única de cultura (en particular de cultura científica). Pero tampoco se deben menospreciar ni mucho menos. Como poco sirve para que se sepa que hay mundo mas allá de los documentales de animales de la ” (contra los cuales no tengo nada en contra por otro lado).

En cualquier caso confío en retomar en breve un ritmo de publicación mas alto, que tengo bastantes temas de los que ocuparme que creo qu pueden ser interesantes. Y por supuesto escribir las partes restantes de otros temas ya empezados.

50 cosas que hay que saber sobre las matemáticas

Hoy me encontré en una libreria de proposito general un librito con ese provocativo título.

Le ojeé rapidamente y vi que trataba bastantes temas de matem´tica moderna. Estos incluían, entre otros muchos, topologia, matemática discreta, programación lineal, geometrías no euclideas, probabilidad, teoria de juegos, etc.

Se nota que es un libro de divulgación, pero aún asi venían algunas fórmulas y daba la impresión de que se exponia de manera razonablemente rigurosa (sin perder la intención divulgativa) el temario propuesto.

Siempre me ha parecido que un error de la divulgación científca es su tendencia a presentar las cosas sin matemáticas. Al hacer eso se consigue que el riesgo de que el lector entienda cualquier cosa remotamente elacionada con la ciencia que se pretende divulgar es muy alta. En mi opinión es mucho mas interesante divulgar la matemática. No es necesario que el lector adquiera capacidad para usar con detalle la matemática que aprende sino que aprenda correctamente los conceptos y que se haga una idea de cuál es el uso posible de esa matemática.

Un tipo de lector ideal para ese libro podria ser el qu siguiera la serie de television producida por los hermanos Scott “numbers”. Muchos de los ocnceptos matemáticos nombrados en esa serie son introducidos en ese libro.

Debo aclarar que no he leido el libro (ya conozco esa matemática-al menos la mayoria de ella- por haberla estudiado formalmente) y que sólo me guio por una impresión. Pero vamos, que o muy mal lo ha hecho el autor, y lo poco que leí con detalle me hace a pensar que, por el contrario, ha heco una buena labor, o el libro es totalmente recomendable para cualquiera con un interés por las matemáticas.

Por cierto, otro público al que podria interesar ese libro es a los licenciados en física e ingeniería, para que vean que hay matemáticas mas allá del álgebra lineal, el cálculo en varias variables, las ecuaciones diferenciales y el análisis de fourier .

Autores hard actuales: Stephen Baxter y Alastair Reynolds

Ya mencioné que la CF hard no parecía pasar por una buena época, especialmente en lo que a las publicaciones en español se refiere. Algo hay no obstante y voy a comentar sobre un par de autores publicados -no en exclusiva- por “la factoría de las ideas”.

El primero del que hablaré es Stephen Baxter. Cumple los requisitos adecuados para escribir hard, osea, que tiene una sólida base científica. En concreto es licenciado en matemáticas (desconozco la especialidad) e ingeniero (o sé en que). He leído un sólo libro suyo “evolución”, que enseguida comentaré. Otras publicaciones suyas disponibles en español son “antihielo”, homenaje a Julio Verne, y “las naves del tiempo”, continuación mas o menos oficial de la máquina del tiempo de H.G. Wells. La wikipedia las cataloga de Steampunk, supongo que por aquello de estar relacionadas con autores del siglo XIX, inglés uno de ellos. No habiéndolas leído no puedo opinar, pero a juzgar por lo que dicen, falsamente, de Reynolds, soy algo escéptico al respecto. De lo no publicado en español me interesaría mucho la saga Xeelee (ciertamente mas que lo ya publicado, excepción hecha de “evolución”).

Voy con el libro citado, evolución. Aviso, sin desvelar detalles concretos doy posiblemente mas información de la que alguno pudiera desear. Las indicaciones de la contraportada son totalmente equívoca. Cierto, hay unos personajes, biólogos evolutivos, antropólogos y afines, que acuden a una conferencia en una región cercana a un supervolcán que ha empezado a entrar en actividad. Es un futuro cercano y la humanidad esta amenazada por l superpoblacion y los problemas ecológicos. Y sí, hay un pequeño porcentaje del libro centrado en esa trama. Sin embargo la mayor parte del libro se dedica a trazar un panorama de los homínidos, sus antecesores, empezando en el cretácico y sus sucesores.

El primer personaje que nos encontramos es purga, un purgatorius -pequeño mamífero del cretácico-. Purga vive justo en la época del impacto del meteorito que acabó con los dinos. Leemos sus hazañas y heroismos en el mundo de los dinosaurios. Se nos cuentan aspectos de diversos dinosarurios, algunos reales, de existencia constatada en el registro fósil, y otros hipotéticos. Incluso hay hipótesis mas o menos plausibles sobre características de algunas especies de dinosaurios, una de las cuales es conjeturada como cuasiinteligente. Pero estando todo muy bien detallado, explicado y argumentado, lo mas logrado es el tratamiento de purga. De ser un personaje humanos estaríamos ante una historia épica digna de los grandes héroes grecorromanos. Sinceramente, después de leer la historia de purga uno mira de otro modo en los documentales de animales las partes dedicadas a los diversos roedores. También esta logradísima ladescripción del impacto del meteorito y sus consecuencias. Digamos que solo por ese capítulo ya se ha justificado el precio del libro. Funcionaría perfectamente como un relato corto independiente y en ese caso yo me podría plantear seriamente que es el mejor que he leído nunca.

Luego sigue en la misma tónica, con otros animales de otras épocas, todos ellos significativos cambios en la evolución que daría lugar a los humanos. Algunos relatos están mejor que otros pero ninguno es tan bueno como el episodio de purga. Luego se llega a los homínidos y a los propios humanos. Ahí hay algunos relatos bastante buenos, con reflexiones muy interesantes y muy bien documentado. El último de esos capítulos ya esta centrado en una época histórica, la caída del imperio romano, y se plantea una idea muy sugestiva. Se nos presenta a un senador romano que se dedicaba a coleccionar huesos y que fue capaz de conjeturar que había predecesores de los humanos. Algo así como un Charles Darwin Romano. Evidentemente el relato se encarga de dejarlo fuera de la historia documentada. Pero me queda la duda de si hay indicios de que algo así podría haber pasado realmente. En todo caso aprovecho para recordar que el primer emperador romano convertido al catolicismo destruyó la mayor parte de los escritos de Grecia y Roma y que lo que sabemos hoy día sobre sus logros intelectuales proviene de copias de una muy pequeña parte de los mismos conservada en la parte oriental del imperio. Además esa pequeña parte sólo cubría las épocas primeras. Dado que Atenas durante el imperio Romano fué la cuna intelectual de occidente (si bien no el centro de poder político), y que se sabe que tras Aristóteles era muy previsible que pudieran haber adoptado algo parecido al método científico puede conjeturarse que tal vez llegaron mucho mas lejos de lo que ha trascendido. En fin, hipótesis, Como la del libro sobre un senador antropólogo.

Tras la parte de ancestros de los humanos, y de un breve interludio en el futuro inmediato, nos plantea una extinción humana y se pone a conjeturar sobre los posibles descendientes. Las conjeturas son razonables, esta bien escrito y tal. Pero la verdad, yo esa parte la he lo he leído con una cierta indignación -algo que tal vez pretendiera el autor, o tal vez no, quien sabe-. Resulta que se nos plantea que la inteligencia es abandonada y que se opta por otras estrategias evolutivas. Sinceramente, la primera parte, la de ancestros, tenia una cierta cohesión en la épica para alcanzar la inteligencia. Esa segunda parte es todo lo contrario, da la impresión de que nos están hablando de unos perdedores. Ciertamente es un punto de vista discutible el mio, pero es lo que hay.

Paso ahora a hablar de Alastair Reynolds. El autor es licenciado en físicas y trabaja en la ESA (european spatial agency). Por algún motivo extraño he visto que mucha gente considera que hace space ópera, o si acaso space ópera con toques hard. Disiento del todo. Hace hard con historias ambientadas en el espacio. Vale que pueda usar algunos “lugares comunes” de otros géneros, como el cyberpunk, la space ópera o el steampunk según dicen. Pero eso son detalles anecdóticos, estilistica literaria. El hilo motor de sus libros (he leido dos, espacio revelación y el arcada de la redención) esta centrada en hipótesis sobre la posible historia de la vida en la galaxia fundamentadas en especulaciones científicas. Aparte cuida todos los aspectos científicos. Como no hay gravedad artificial usa la inercia. El sonido no se transmite en el vacio, etc. Vamos, que no es “la guerra de las galaxias”. Hay especulaciones científicas descritas con bastante detalles, sobre posibles nuevas tecnologías de muy diverso tipo. Por ejemplo en “el arca de la redención”, especula sobre un sistema para anular la inercia de la materia. No entra mucho en detalles de como hacerlo, se limita a mencionar un “manipulamos el vacío cuántico”, pero por lo demás es muy cuidadoso en analizar las consecuencias de esa parte que deja sin especificar. Por ejemplo los efectos biológicos de suprimir la inercia. También es muy interesante la especulación sobre como se puede destruir un sol a partir de la ciencia conocida (o variantes mínimas de la misma) asumiendo que no hay demasiadas limitaciones de tipo ingenieril. Sinceramente, esas especulaciones no sé si son del propio autor o las ha tomado de algún artículo. Yo apuesto por lo primero. En todo caso es el tipo de especulación científica, basada en ciencia respetable, que no tiene especial cabida en textos científicos y que sólo cobra pleno sentido en una novela de ciencia ficción. Digamos que no es mera divulgación científica ni tampoco inventarse cosas arbitrarias. Es ciencia practicamente pura creada ex-profeso para una novela. Que esa es precisamente la caractrísitica mas definitoria del buen hard.

Aparte de ciencia en sus novelas hay personajes mas o menos interesantes con unas problemáticas mas o menos pertinentes. Pero cumplen un papel, mostrarnos retazos relevante de un universo diferente y atractivo en la que la especulación sobre aspectos científicos y sus consecuencias en la sociedad conforman la parte importante. Vamos, que es ciencia ficción hard.

Estas dos novelas están centradas en una trama global, y hay otras dos, “ciudad abismo” y “el desfiladero de la absolución” (traducción muy solmene, aunque no sé yo si muy acertada de “absolution gap”). La idea central a todas estas novelas es explicarnos porque la vida inteligente es tan escasa en la galaxia. Resulta que hay unos agentes responsables de esa escasez y los humanos deben lidiar con ellos. Como nota final decir que en “absoluton gap” me han informado de que hay especulaciones basadas en la teoría de cuerdas (en especial en los “brane universes”). Aún no he leído ese libro, y tengo mucho que hacer en estas fechas (entre otras cosas consolidar al máximo mi conocimiento de la teoría de cuerdas), así que no estoy seguro de si sacaré tiempo de modo inmediato para leer ese libro. Pero lo leeré en cuanto se presente la ocasión propicia, fijo.

La conjetura de Poincaré: I

Posiblemente alguna gente recordará que en el 2003 hubo bastante revuelo en el mundo de las matemáticas. La causa era que por fin parecía haberse demostrado uno de los “problemas del milenio” del instituto Claymath, la conjetura de Poincare que enuncia que cualquier variedad compacta simplemente conexa es equivalente a la 3-esfera (a lo largo del post iré explicando que significan estos términos). El autor de la demostración era un peculiar matemático ruso, Grigory Perelman, basándose en los trabajos de Richard Hamilton (no confundir con Willian Rowan Hamilton, el de la mecánica hamiltoniana) sobre lo que se conoce como flujo de Ricci. en 2006 se le concederia, durante el transcurso del congreso internacional de matemáticas, celebrado en Madrid, la medalla fields de matemáticas. Eso sí, la rechazaría, pero eso es otro asunto.

En el 2007 Donal O’Shea publicó un libro dedicado a esta conjetura y su historia. La traducción al español es del 2008 y en este post comentaré el libro, y la conjetura en si misma.

El libro esta dirigido, aparentemente, a un publico genérico al que no se le presupone especiales conocimientos en física y matemáticas. Ciertamente hay mucho en ese libro que cualquiera puede aprovechar. No obstante algunos aspectos no tengo claro hasta que punto se pueden apreciar realmente bien si no se tiene una buena base en matemáticas, especialmente en topologia y en geometría de variedades. Aparte de los aspectos técnicos el libro es muy detallado en ls aspectos históricos y sociológicos. Yo he leído varios libros de historia de las matemáticas (y biografías de físicos y de matemáticos) y aún así he aprendido detalles muy interesantes en este aspecto en este libro.

El libro empieza contándonos la presentación de Perlman de sus resultados en una reunión de matemáticos a la que ha asistido el autor. Sirve para crear una atmósfera de expectación que justifica la existencia del libro

En los siguientes capítulos, dedicados ala antigüedad principalmente, empieza preguntándose por la forma del mundo. Esto le sirve al autor para presentar varios temas. Por un lado nos va a presentar la idea de como representar la superficie de la tierra en mapas y la idea de un atlas (conjunto de mapas que representan el total de la superficie terrestre). Esto es en el fondo la idea que esta detrás del concepto de variedad bidimensional. Cualquier entorno local de la misma puede ponerse en una correspondencia 1-1 con un trozo de . Dependiendo de si esa correspondencia es continua, diferenciable o lineal a trozos así es la variedad (esta es una observación mía que no esta presente en el libro). También aprovecha para repasar la falsa idea de que en la edad media se creía que la tierra era plana. En realidad la gente culta sabía que la tierra no era plana desde al menos la época de la Grecia clásica. Si uno lo piensa es fácil convencerse de que debía ser así. De un lado tenemos la observación de que lo último que desaparece de la vista cuando un barco se aleja en el horizonte es el mástil, lo cual encaja con que la superficie de la esfera sea curva. Por otro lado tenemos que la sombra de la tierra en la luna durante un eclipse es un círculo. Yo añadiría que el hecho de que la luna se vea como un círculo desde diversos puntos de la tierra sólo es compatible con que la luna sea una esfera. y si la luna es una esfera uno puede imaginar que la tierra también lo és.

En cualquier caso hay documentos históricos que avalan estos hechos. En particular en la época de Colón estaba claro que la tierra era una esfera. Incluso se tenía una medida muy acertada de su radio. Precisamente por eso los portugueses rechazaron la propuesta de Colón ya que el trayecto que el proponía era demasiado largo. De hecho este dato fue bien conocido por los historiadores de siglos posteriores. La percepción del público general de hoy día de que en esa época se creía mayoritariamente en una tierra plana es algo reciente. Se debe a unos versos de Wasington Irving (el autor de “cuentos de la alhambra” entre otors libros) presentados en un acto conmemorativo que daban a entender lo contrario. La gente se quedó con esa cantinela y se ignoró la bien documentada verdad. Ciertamente extenderme tanto en eta anécdota dada la cantidad de cosas que debo presentar en este post parece excesivo. Pero no deja de ser inquietante plantearse cómo la percpecion general del público de hecos historicos trascendentales puede depender de aparentes nimiedades cómo las de un verso afortunado (o desfortunado).

En esos primeros capítulos presenta otros aspectos muy relevantes a lo largo del resto del libro. Por ejemplo, en el cuarto, los postulados de Euclides. Es bien conocido (por los aficionados a la divulgación al menos) que el quinto postulado abriría la puerta a las geometrías no euclideas.

En el tercer capítulo cuestiones sobre como a partir de datos locales, mapas detallados, podemos inferir aspectos globales sobre el mundo. Un atlas suficientemente detallado podria distinguir un mundo esférico de uno de forma toroidal incluso si no tuvieramos medos de ver el planeta desde fuera.

El siguiente capítulo, el cuarto, se pregunta sobre la forma del universo. Ahí presenta descripciones muy detalladas sobre aspectos de la 3-esfera muy curiosos. Muy agradable de leer ese capítulo. Además no olvidemos que la 3-esfera es una pieza clave en la conjetura de Poincaré. Y, por supuesto, generaliza el concepto de superficie al de variedad n-dimensional.

El quinto y sexto capítulo ya se sitúan en tiempos mas recientes. Nos habla sobre como se forjan las geometrías no euclideas en los trabajos de Gauss, Lobachevsky y Bolyai. También nos cuenta muchos detalles de la vida personal y profesional de estos matemáticos y de cómo era la sociedad de esos tiempos en Europa. Cubre aspectos generales de la sociedad y, sobre todo, de las características de las universidades de la época, y de la investigación matemática en general.

El trabajo de Gauss se centra en la geometría diferencial de las superficies bidimensionales. Ya Euler había trabajado en ese tema. La novedad del enfoque de Gauss es que hace hincapié en definir los objetos matemáticos (curvaturas principalmente) en términos de cantidades locales, independientes de como la superficie este embebida en . La relación de esto con el 5º postulado esta relacionado con el hecho de que en una superficie curva las geodésicas (curvas de longitud mínima), que juegan el papel de las rectas en esa superficie no cumplen en general dicho postulado. Por ejemplo en la esfera por un punto exterior a una recta (círculo máximo) pasa un número infinito de rectas.

Los capítulos 7 y 8 están dedicados a Riemann. En el aspecto sociológico es muy interesante leer como Alemania no había sido gran cosa en matemáticas hasta el siglo XIX y cómo la inversión económica cambió eso para sorpresa del resto de países. Hoy día se asocia a Alemania con la matemática y la física y se piensa que siempre han sido buenos en esos asuntos. Pero según cuentan en el libro eso surgió a raíz de disputas territoriales entre las incipientes universidades de la época, en particular Gotinga (famosa mas tarde, en el siglo XX, cómo cuna de muchos de los padres de la mecánica cuántica) y Berlín.

Riemman generalizó los resultados de Gauss para dimensiones superiores. Cuando la variedad tiene mas de dos dimensiones se puede considerar las curvaturas de los diversos planos bidimensionales en esa superficie. Eso da lugar a un tensor, el tensor de Riemann.

El porque en este libro se tratan tanto asuntos geométricos, cuando la conjetura de Poincaré es un tema de características topológicas, es que la prueba de esa conjetura usa el tensor de Ricci, que es una contracción del tensor de Riemann Estos temas suelen ser bien conocidos por los físicos, al menos los teóricos, debido a la conexión entre estas geometrías y la relatividad general. Son también temas que han sido tratados extensamente en diversos libros de divulgación. Es por eso que no me he extendido demasiado en las explicaciones técnicas. A partir de aquí, que es dónde empieza la parte esencial, seré mas detallado.

Los capítulos 9 y 10 están dedicados a Poincaré, y en parte a Kleín. Como siempre la parte histórico/social es excelente. En la parte matemática nos cuenta, entre otras cosas, cómo Poincaré sentó las bases de la topología, creando además algunas herramientas fundamentales para el estudio de esas propiedades. Una vez conocidas esas bases se explica en que consiste la conjetura. Siendo esta la parte fundamental del tema entraré aquí a dar esas nociones matemáticas en una forma técnica. Realmente el libro se queda a un nivel divulgativo. No sé realmente cuanto podrá apreciar un lector sin cualificación matemática a partir de esa exposición. Dado que soy estudiante de matemáticas y que además me dedico a la teoría de cuerdas mis conocimientos en geometría diferencial y en topologia son relativamente buenos y sé lo que esta intentando en estos capítulos. Realmente la parte que para mi resulta novedosa es la que viene en los capítulos siguientes. No obstante no todos los físicos están familiarizados con la topología así que confío en que les puede resultar útil la introducción somera que haré sobre esta disciplina a partir de ahora.

Primero empezaré explicando que entiende un matemático por una topología.

Las nociones de continuidad en cálculo se suelen dar en términos de epsilones y deltas, pero eso en esencia es hablar de entornos abiertos de la recta real, y el caso es que si uno lo analiza uno usa sólo 3 propiedades básicas de los abiertos.

Una topología es recoger esas tres propiedades y convertirlas en axiomas.

Sea X un conjunto y sea Y={Xn} una colección finita o infinita de subconjuntos de X, X e Y forman un espacio topológico si
i. el conjunto vacío e Y pertenecen a Y
ii. Cualquier subcolección finita o infinita {Zn} de Xn tiene la propiedad de que la unión de todos los Zn pertenece a Y
iii. Cualquier subcolección finita {Zm} de los Xn tiene la propiedad de que su intersección pertenece a Y.

Los Xn son los abiertos de esa topología. Conviene hacer una pequeña distinción, que no siempre se explica en los libros de topologia/geometría para físicos. Los intervalos epsilón y deltas del cálculo de una varible, y sus generalizaciones elmentales, los discos abiertos de radio epsilon/delta en el plano, las bolas abiertas en tres dimensiones, etc, son un tipo especial de abiertos, pero, ciertamente, hay conjuntos que son abiertos y no son de esa forma. Esos subconjuntos especiales de la topología forman una base de la misma.

Bien, una vez que tenemos definidos los abiertos cualquier definición que hagamos en términos de esos conjuntos va a ser una definición topológica. Por ejemplo se dice que un conjunto es cerrado cuando su complementario es abierto. Otra noción topologica de interés (en particular necesaria para formular la conjetura) es la de compacidad. Intuitivamente en un compacto va a ser un conjunto cerrado y acotado (la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos es finita). Pero esa no es realmente la definición de compacidad. Se puede usar esa definición (de hecho en algunos sitios se hace así) pues el teorema de Heine-Borel nos dice que todo conjunto cerrado y acotado en es compacto. Pero como dije una noción topológica debe darse en términos de los abiertos. Vamos a ello.

Primero debo explicar la idea de recubrimiento. Dado un subconjunto, S, de un espacio topológico, X un recubrimiento de S es una colección de conjuntos abiertos Rn tal que S esta incluido en la unión de todos los Rn. Se dirá que un conjunto es compacto cuando todo recubrimiento del mismo admite un subrecubrimiento (un cubrimiento con un un subconjunto de la colección recubridora)finito. La noción de compacidad es útil por muy diversos motivos. Una es que, por el teorema de Heine-Borel, podemos caracterizar los cerrados y acotados, un tipo de conjuntos interesante, mediante esta propiedad.Oto aspecto útil es que si queremos demostrar algo sobre un compacto nos basta demostrarlo sobre cualquier elemento del conjunto recubridor y asegurarnos de que la propiedad demostrada no se pierde cuando tenemos una unión finita de esos elementos. Es importante hacer notar que como en un compacto todos los recubrimientos admiten subrecubrimiento finito podemos elegir los Rn de la forma que mas nos convenga.

Tan importante es la noción de compacidad que la mayoria de resultados toopológicos van a estar referidos a espacios compactos. Los no compactos son mucho mas difíciles de estudiar.

Antes de seguir con tecnicismo haré una aclaración importante. Quienes hayan leído en algún libro de divulgación sobre topología lo mas probable es que se la hayan definido algo así como “geometría de las superficies de goma”, o el estudio de las propiedades que se mantienen bajo operaciones de estirar/contraer y de identificar. Eso se parece muy poco a lo que he explicado hasta ahora. El caso es que conviene distinguir dos aspectos de la topologia, Por un lado esta la topologia de conjuntos. Al generalizar las propiedades de los abiertos usados en las definiciones de cálculo nos permite formalizar el mismo y extenderlo a espacios abstractos. Esto es útil para dar un marco común a todas las ramas de las matemáticas. Estas nociones de topologia de conjuntos son fundamentales en las definiciones que se hacen en conceptos relacionados con teoría de la medida, análisis funcional, etc. Y por supuesto también son esenciales en definiciones de geometría (tanto diferencial cómo algebraica). Por otro lado tenemos otro aspecto, que enlaza con la definición dada en los textos divulgativos. Nos va a interesar poder conocer cuando dos espacios son indistinguibles entre si a partir exclusivamente de sus propiedades topológicas.Pues bien, esos espacios equivalentes topologicamente se corresponden a la noción intuitiva de estirar/contraer e identificar. Enseguida veremos la definición técnica de estos conceptos.

Había dicho que la introducción de una topología permitía definir el concepto de función continua de forma abstracta. Vamos con esa definición. Una función f:M->N entre dos espacios topológicos se dice continua si la imagen inversa de un abierto de N es un abierto de M. Sóo con esto se puede dar una definición rigurosa de la idea de que dos espacios son deformables el uno en el otro, es decir topológicamente equivalentes. Dos espacios son topologicamente equivalentes, homeomorfos, cuando existe entre ellos una aplicación continua y con inversa continua, tal aplicación se dice que es un homeomorfismo.(Normalmente se añade la condición de que esa aplicación sea biyectiva). Lo interesante de esto es que si dos espacios son homeomorfos van a tener las mismas propiedades topológicas.

Y tenemos casi todos los conceptos involucrados en el enunciado de la conjetura. Vamos a por los que nos faltan.

Una noción topológica es la de espacio conexo, intuitivamente un espacio es conexo cuando no esta hecho de varias partes separadas.Por ejemplo R 2 sería conexo, un círculo en el plano sería conexo. Sin embargo dos círculos sin puntos en común, por ejemplo círculos de radio uno con centro en (-5.0) y (0,5) no lo serían.

La definición rigurosa de este concepto es:

Un espacio topológico X es conexo si no puede ser escrito cómo X = X1 U X2 dónde X1,X2 son ambos abiertos y X1 Int X2 = Conjunto vacío.

Es fácil probar, no lo haré, que esta definición es “topológica”, es decir que dos espacios, uno conexo y otro no, no pueden ser homeomorfos.Hay más definiciones referentes a la conectividad, conexo por arcos, etc. Pero con esta nos vale.

Nos falta ir un pequeño paso más allá de la mera noción de conexo para poder enunciar la conjetura de Poincaré. Necesitamos explicar que es un conjunto simplemente conexo. Eso requiere entrar en el tema de la homotopía. Para exponer esto voy a seguir el esquema de la wiki, más que nada para aprovechar algunas fotos.

Dos aplicaciones continuas (entre dos espacios topológicos X, e Y) f,g:X ->Y se dicen homotópicas si existe otra aplicación (continua también) H: X x [0,1] -> Y (la x hace referencia al producto cartesiano, [0,1] es el intervalo unidad cerrado) tal que:

H(x,0)=f(x)
H(x,1)=g(x)

Un ejemplo importante es considerar las diferentes clases (homotópicas) de mapas del círculo, , a un espacio X:

la estructura resultante es el importantísimo grupo fundamental. Es este grupo el que nos permitirá definir lo que es un espacio simplemente conexo.

Mas formalmente el mapa de un círculo en un espacio topológico la podemos dar mediante la idea de lazo.

Sea X un espacio topológico, y p un punto fijo de X. Un lazo con base en p es una aplicación continua que verifica γ(0) = γ(1) = p.

El producto α * β de dos lazos α y β se define como . Esto es, el lazo α * β primero recorre el camino de α, pero a “doble velocidad” y después el de β, también a doble velocidad.

Esto nos lleva al concepto de clases de homotopía de lazos, y de ahí al grupo fundamental.

as clases de homotopía son las clases de equivalencia debidas a la relación de ser homotópico. Dos lazos con base en un punto común p son homotópicos si existe una aplicación continua H:[01]x[0,1] ->X tal que

El producto de dos clases de homotopía de lazos [f] y [g] se define como [f ∗ g]. Puede demostrarse que este producto está bien definido al ser independiente de la elección de representantes. Este producto nos permite obtener una estructura de grupo (véase la entrada anterior del blog para una introducción a la teoría de grupos): el elemento neutro será la clase [γ] del lazo trivial definido como γ(t) = p para todo t; el inverso de la clase de un lazo [f] será la clase del mismo lazo recorrido en sentido contrario (es decir, f − 1(t) = f(1 − t))

El grupo fundamental de un espacio topológico X basado en un punto , notado como , es el conjunto de clases de homotopía de curvas cerradas con la operación yuxtaponer clases. El subíndice 1 en el pi hace referencia a que existen otros grupos de homotopía. La definición del grupo n-ésimo de homotopia sigue la misma pauta, sustituyendo el círculo por la n-esfera. Siendo útiles hay que decir que el grupo mas importante es, con diferencia, el primero, de ahí lo de fundamental. Aquí he definido este grupo. En los cursos introductorios de topologia se suelen dar algunas técnicas elementales para el cálculo del mismo. También en esos cursos se suele mencionar un aspecto importante de este grupo. Dos espacios que tienen el mismo grupo de homotopía se dice que son homotopicamente equivalentes. Se cumple, además, que si dos espacios son homeomorfos son homotópicos, pero no a la inversa. Justo esa falla de que dos espacios homotopicos no sean necesariamente homeomorfos es la que esta detrás de que la conjetura de Poincaré no sea una trivialidad.

Este grupo de homotopía nos va a permitir definir la noción de conexidad simple que aparece en el enunciado de la conjetura. Un espacio se dice simplemente conexo si su grupo fundamental es trivial. Intuitivamente esto significa que cualquier curva cerrada en el espacio es homotópica (contractible) a un punto.

Bien, con esto ya he explicado todas las nociones implicadas en la conjetura que dí al inicio del post. En otra entrada explicaré cómo se demostró la misma, dando definiciones técnicas de algunos de los conceptos que en el libro vienen explicados de manera intuitiva. Mi intención era haber explicado todo de una sola vez, pero para ello tendría que renunciar a unos mínimos de rigor explicativo o hacer un post excesivamente largo, opciones ambas que no me parecen oportunas.

Aunque volveré sobre el libro en la siguiente entrada dedicada al tema no concluiré esta sin aclarar que en los capítulos subsiguientes el autor hace un buen trabajo exponiendo las ideas que llevaron a la demostración. También da apuntes sociológicos (de algunos de los cuales el autor fue testigo de primera mano) relacionados con el desarrollo de la topología en el siglo XX. Con todo ello estamos ante un libro excelente en el terreno matemático y mas excelente aún en el terreno de sociología e historia de la matemática. Eso sí, en este blog comenté, en el post, “El reto de Fermat”, otro libro-titulado igual que el post- dedicado a otro gran problema matemático recientemente, la conjetura de Fermat. Ese libro, también excelente, entraba en bastantes mas tecnicismos que este. Tal vez algunos lectores con una buena formación matemática, pero que no saben nada sobre la conjetura, y que puede que no sean expertos en topologia, echen de menos un libro de esas características. Pero eso no le quita un ápice de mérito al libro de O’Shea. Simplemente deja abierto el camino a que otro autor haga otro tipo de libro sobre la conjetura.

Por cierto, llevo ya varios post con primeras partes sobre temas diversos. Intentaré ir poniendo las correspondientes continuaciones.

Teoría de grupos y física I: conceptos básicos

Una de las ramas de la matemática cuyo uso en física es fundamental es la teoría de grupos, en particular la teoría de grupos de Lie. Reflejo de esa importancia es que el modelo standard de partículas, la teoría sobre la naturaleza mas sofisticada y fundamental sobre la naturaleza que esta verificada experimentalmente se conoce, incluso en los libros de divulgación cómo SU(3)xSU(2)xU(1). Y en esos mismos libros de divulgación posiblemente se habrá podido leer de modelos de gran unificación tipo SU(5) ó SO(10). Aparte esta el hecho de que formalmente todas las partículas del modelo standard pertenecen a representaciones del grupo de Lorentz. En este post (y los que le siguen) intentaré explicar que significan, y que utilidad tienen, esos símbolos.

Antes de eso, no obstante, señalar que pese a su importancia la teoría de grupos no siempre se enseña en una licenciatura de físicas, incluso en al especialidad de teórica. Por ejemplo, ahora mismo, en el plan actual de la UAM esta ausente. Ciertamente casi cualquier estudiante de físicas sabrá, una vez cumplimentado en primer curso el correspondiente curso de álgebra lineal, que SU(2) es el grupo de matrices unitarias especiales de dimensión 2, pero, ciertamente de saber eso a entender su uso en teoría cuántica de campos media un pequeño abismo.

Eso sí, a lo largo de los estudios la gente habrá oído comentar varias veces que tal o cuál cosa de mecánica cuántica (no relativista) se puede explicar de una manera mas elegante mediante grupos. Eso incluye cosas cómo el momento angular, los coeficientes de Clebs-Gordon y alguna cosa más. Posiblemente alguno se ha quedado con ganas de ver algo sobre el tema. Intentaré ver algo al respecto, pero me centraré mas en los usos de la teoría en física de partículas.

Una última puntualización antes de entrar en materia. La forma de ver exponer la teoría de grupos varia mucho de los textos escritos para físicos a los textos escritos para matemáticos. En este post expondré los resultados en el estilo de los físicos de modo que pueda leerlo el mayor número posible de gente. Pero, aparte, comentaré la forma en que se ven esos conceptos en la literatura matemática para que cualquier con un bagaje en matemática moderna pueda ver la forma “verdadera” de dichos conceptos. Eso sí, asumiré que ese lector matemático ya conoce topologia, geometría diferencial en variedades y cosas así.

Empecemos ya con la materia. Un grupo (G, .) es un conjunto de elementos en los que se introduce una operación interna, que denotaré por un punto “.” (ocasionalmente usaré el signo + para esa operación en los lugares dónde su uso sea mas natural), que cumple las siguientes propiedades:

i) Asociativa: a.(b.c)=(a.b).c
ii) Elemento identidad:
iii) Elemento inverso:

Si además la operación “.” cumple la propiedad conmutativa se dirá que el grupo es Abeliano.

Vamos a ver algunos ejemplos:

, el conjunto de números enteros con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.
Grupo cíclico de orden n. Es el grupo generado por un único elemento a y sus potencias hasta orden n. Esta última es la identidad, esto es . No entraré en muchos detalles sobre este grupo. En el caso mas sencillo dónde los elementos del conjunto son números enteros los generadores del grupo son los enteros que son primos relativos con n. De hecho puede demostrarse que todos los otros casos son equivalentes (isomorfos) a este. Sin embargo este tipo de grupos aparecen de manera abstracta en, por ejemplo construcciones topológicas como la homotopia o la homologia.

Estos dos ejemplos anteriores son grupos discretos, es decir, el conjunto G tiene un número finito de elementos. Aunque son interesantes en si mismos y útiles en varias ramas de la matemática y la física nos va a interesar mas el caso de los grupos continuos, es decir, aquellos en los que el conjunto G tiene un número infinito (no numerable) de elementos. Ejemplos de estos grupos van a ser los que aparecían al principio, los U(n), SU(n), SO(n), etc .

Grupo unitario U(n): Conjunto de las matrices unitarias nxn, con la operación “.” el producto de matrices. Es decir, las matrices que cumplen . Para n>1es no abeliano. Sin embargo U(1) es abeliano. Se corresponde a las transformaciones de fase .

Grupo especial unitario SU(n): Grupo de las matrices unitarias con determinante unidad.

Grupo ortogonal SO(n): grupo de la matrices ortogonales, es decir, que cumplen .

Voy a detenerme un poco en este último grupo porque nos va a permitir ver el motivo por el cuál los grupos son importantes en física. En los cursos de álgebra lineal elemental se muestra cómo las operaciones geométricas de girar un vector por un ángulo se corresponde con una matriz ortogonal de dimensión 2:

Pues bien, esta matriz se puede ver que es, para cualquier valor de un elemento de SO(2). Igualmente las matrices de SO(3) se corresponden a la operación geométrica de giros (Si quisiéramos incluir reflexiones tendríamos que permitir matrices con determinante -1 y tendríamos el grupo O(n)). En física hay muchos problemas que tiene simetría rotacional, es decir, que el problema no cambia si el conjunto de todas las partículas y/o campos involucradas en el problema son sometidos a una rotación. Esto nos da ya una idea de la íntima relación que va a haber entre grupos continuos y física.

Un poco mas formalmente puede decirse que los grupos de rotaciones son los grupos que dejan invariante el producto escalar de dos vectores. Este producto viene definido por una métrica. Los grupos SO(n) se corresponden a la métrica usual en . Antes hablé del grupo de Lorentz. Este es el análogo al grupo SO(n) cuando en se tiene, en vez de la métrica euclidea usual, la métrica de Lorentz, i.e. la métrica diag (-1,1,1,1). Se suele denotar el grupo de Lorentz mediante la notación SO(3,1). Si además de rotaciones permitimos traslaciones hablamos del grupo euclideo para el caso de la métrica usual y del grupo de Poincaré para la métrica de Lorentz.

Voy a hacer un pequeño inciso destinado a los matemáticos. En física la mayoría de grupos continuos van a ser grupos matriciales y por “continuo” puede entenderse, hablando vagamente, que los elementos de cada matriz posible van a estar determinados por unos ciertos parámetros. Es decir, que los elementos de la matriz van a ser funciones de un cierto número de variables y la continuidad del grupo viene a decir que esas funciones son funciones continuas (entendidas como funciones de variable real).

En matemáticas se quiere tener una definición general mas abstracta. Para ello se introduce el concepto de grupo topológico. Un grupo topológico es un grupo en el que el conjunto G es un espacio topológico. Se exige, además, que las operaciones de grupo sean compatibles con la topología, es decir que la multiplicación del grupo G × G -> G y la operación de inversión G -> G sean aplicaciones continuas. Aquí, G × G es visto como un espacio topológico con la topología producto.

De hecho se suele ir un paso más allá. En física interesan los grupos de Lie. Estos aparte de continuos deben ser diferenciables. Esto nos lleva, en terminología moderna, a decir que un grupo de Lie es una variedad diferencial en las que operaciones de grupo son funciones . Mas adelante introduciré la noción de álgebra de Lie en términos matriciales. Anticipar que en términos matemáticos el álgebra de Lie se corresponderá con el conjunto de los vectores invariantes por la izquierda bajo la acción del grupo, que, en última instancia puede verse que se corresponde con el espacio tangente en la identidad.

Sigamos, tras ese paréntesis para matemáticos, con algunas nociones más.

Dados dos grupos G=(g1,g2,…} y H={h1,h2,….} se define su producto directo con la ley de multiplicación

Esto ya nos permite entender la notación usada al principio cuando decíamos que el modelo standard es SU(3)xSU(2)xU(1). Ciertamente entender plenamente el significado de esa notación es mucho mas complicado que todo lo visto hasta ahora, pero, en esencia, es lo que he puesto antes, el producto directo de esos grupos.

Saber si un grupo dado puede o no escribirse como producto de otros grupos es algo importante. Para poder estudiar eso vamos a introducir otro concepto, el subgrupo invariante.

Un subconjunto N de un grupo G es un subgrupo invariante de G si . Es decir, que la operación de multiplicar un elemento de N por cualquier elemento de G no nos saca de N. Se ve trivialmente que cualquier componente en un producto directo de grupos es un subgrupo invariante del grupo producto. Se dice que un grupo que no contiene ningún subgrupo invariante es un grupo simple. SU(n) es un grupo simple. U(n), por el contrario, no lo es. Puede verse que U(n) se puede descomponer en el producto SU(n) xU(1). Dada la relevancia de U(1) se introduce un concepto mas. Se dice que un subgrupo es semisimple cuando puede escribirse como producto de otros grupos mas sencillos ningunos de los cuales es U(1). Según esto U(n) no sería un grupo semisimple.

Para concluir este post voy a introducir brevemente un concepto más, de capital importancia, la representación de un grupo. Una representación es la realización de los elementos del grupo como matrices.

En el caso de los grupos que en su definición ya interviene el concepto de matriz (SU(n), O(n), U(n), etc) sto no parece aportar nada especial. En el caso de otros grupos, como el caso de los grupos finitos, esto si tiene su utilidad. No obstante es muy importante dejar claro que incluso en los grupos cuya definición se hace en términos de matrices tiene sentido hablar de representaciones. Veamos porque.

Pensemos en SO(3) . En su definición viene dado por matrices 3×3 que actúan sobre vectores de dimensión 3. En mecánica clásica tenemos una magnitud física, el momento angular, que esta definida para sistemas que tiene invarianza bajo rotaciones. La expresión convencional para el momento angular es . En cuántica el radio r y el momento lineal p se sustituyen por los correspondientes operador posición y operador momento. Análogamente se introduce el operador momento angular .

Clasicamente el momento angular puede tomar cualquier valor. Sin embargo cuánticamente el operador momento angular (al menos para ciertos sistemas, como los estados ligados del átomo de hidrógeno) puede verse que va a tomar una serie discreta de valores. Más aún, clasicamente pueden medirse simultáneamente el valor del momento angular total L (o su cuadrado) y todos las componentes, (Lx, Ly, Lz), del momento angular. Cuanticamente sin embargo los operadores Li aunque conmutan con el operador L ^2 no conmutan entre sí y por tanto no pueden medirse simultáneamente sus valores (normalmente, por convenio se opta por medir Lz). Esto nos lleva a que tendremos que caracterizar los estados en términos de (L^2 ,Lz) . Esto nos lleva a que tendremos los autoestados caracterizados por valores (l, m) dónde l es el autovalor respecto a L^2 y m el autovalor respecto a Lz. Se puede demostrar, además, que si los valores posibles de m para un l dado son m={l, l-1, l-2,….,0, -(l-1), -(l-2), …,- l}.

Tal vez el lector se haya despistado un poco con la física de los párrafos precedentes y se pregunte su relación con as representaciones. Pasemos a aclararlo. Actuando sobre funciones arbitrarias el operador L esta definido en términos de los operadores r y p, según dijimos antes. Sin embargo si nos restringimos a autofunciones con momento angular y tercera componente angular bien definidos podremos representar L^2 y los Li mediante matrices nxn. Aquí la dimensión n estará relacionada con el autovalor l. En concreto será el número de valores posibles de m para un l dado. Así, para l=0 tenemos un sólo valor posible. Para l=1 tenemos 3, para l=2 tenemos 5 y, en general n= 2l + 1. Según esto para estados de momento l=1 el grupos SO(3) vendría representado por matrices 3×3, para l=2 por matrices 5×5, etc. En realidad en cuántica en vez de SO(3) se va a tomar su grupo recubridor, que es SU(2) y las cosas son ligeramente diferentes. Más aun, estrictamente el momento angular esta asociado a los generadores infinitesimales del grupo de Lie (su álgebra de Lie). De hecho lo que en última instancia se estudia son las representaciones de ese álgebra, que generan las representaciones del grupo. No obstante se suele referir a la representación del álgebra como la representación del grupo sin hacer mayor distinción. No ahondare en estos conceptos ahora, lo pospondré para posts venideros.

En física de partículas las cosas van a ser ligeramente diferentes. Los grupos SU(n) se van a corresponder no a simetrías externas globales sino a simetrías internas locales. Asociados a esos grupos van a estar los bosones vectoriales. En el caso U(1), correspondiente al electromagnetismo, ese bosón vectorial es el fotón, mediador de la interacción electromagnética. En el caso de SU(3) esos bosones serán los gluones, mediadores de la interacción nuclear fuerte.

Veremos que los bosones vectoriales estarán asociados a una representación específica de esos grupos, la representación que los define (conocida como representación adjunta). Físicamente los bosones interactuan con fermiones cargados bajo ese grupo de simetría. Así los fotones interactuan con electrones con carga eléctrica y los gluones sobre quarks que (aparte de carga eléctrica, irrelevante para lo que aquí quiero mostrar) tienen carga bajo SU(2), conocida como carga de color.

En términos matemáticos tenemos que los fermiones van a ser algo así como los vectores sobre los que actúan las matrices. Para aquellos con un cierto nivel en matemáticas decir que las teorías gauge se corresponden a conexiones en fibrados principales y que los fermiones se corresponden a fibrados vectoriales asociados.

En pos ulteriores iré aclarando más que significan todas estas cosas. Introduciré el concepto de suma directa de representaciones y así podré explicar el significado de expresiones del tipo:

(2×2)x2=(3+1)x2=(3×2)+(1×2)=4+2+2

Pero eso será en otro post. El tema de la teoría de grupos es extenso y difícilmente pueden condensarse en una única entrada todos sus aspectos relevantes.

Terminator, the real thing

Dentro de nada estrenan en España “Terminator :salvation” (en USA ya esta estrenada).

¿Cuan realista es?. Bien, los expertos en inteligencia artificial dicen que los progresos en esa disciplina son lentos y falta mucho para tener listo algo pasablemente inteligente. Entonces estamos a salvo ¿no?

Pues yo diría que en absoluto. Mirese por ejemplo este vídeo.

Ahora imaginaros el bicho ese armado con ametralladores, laseres de ultima generación (tecnologia muy del gusto de los militares que tienen invertido un dineral en eso), y cosillas asi.

Versiones mucho mas pequeñas, capaces de manerjar un rifle y con un sistema de reconocimiento de imagen que le permite reconocer y disparar a una silueta humana ya funcionan. De hecho en duelos entre ese tipo de robots y otros dirigidos por humanos ganaron los primeros (debido al retraso que requiere el envio de información entre el operador y el robot).

Existen robots capace3s de operar en diversos entornos, todos ellos susceptiles de utiizar algun tipo de arma:

Por cierto, recordar que recientemente un avión no tripulado, y no manejado remotamente, asesinó a unos terrorisas de alcaeda (o tal vez talibanes, quien sae)cuya posición aproximada habia sido previamente establecida.

Bueno, vale, son peligrosos, el ejercito los esta usando ya. Pero eso, estan bbajo supervision humana. Vale que si por cualquier cosa un gobierno extranjero decide atacar tu pais los que te pueden asesinar son robots, perohey, mandados por humanos.

El caso es que hay más. Inteligencia artificial parece que no pero conciencia artificial es otra cosa. Pongo a continuacion una entrevista con Gerald Edelman, un preio nobel (no se bien de que exactamente) trabajando en temas de esos:

Eugene Izhikevitch [a mathematician at the Neurosciences Institute] and I have made a model with a million simulated neurons and almost half a billion synapses, all connected through neuronal anatomy equivalent to that of a cat brain. What we find, to our delight, is that it has intrinsic activity. Up until now our BBDs had activity only when they confronted the world, when they saw input signals. In between signals, they went dark. But this damn thing now fires on its own continually. The second thing is, it has beta waves and gamma waves just like the regular cortex—what you would see if you did an electroencephalogram. Third of all, it has a rest state. That is, when you don’t stimulate it, the whole population of neurons stray back and forth, as has been described by scientists in human beings who aren’t thinking of anything.

In other words, our device has some lovely properties that are necessary to the idea of a conscious artifact. It has that property of indwelling activity. So the brain is already speaking to itself. That’s a very important concept for consciousness.

Vaya, pues que bien, puede que no sean muy listos en un futuro proximo, pero si son autoconscientes. Osea, que podemos tener un robot autoconsciente, con una movilidad excelente, capaz de llevar armas y de reconocer siluetas humanas a las que atcar.Y, siendo autoconsciente, es de considerar la posibilidad de que siga sus propios designios.

¿Cuan peligroso es un bicho asi?. No haré estimaciones, alla cada cual y su imaginacion.

En fi, que entre robots Asimovianos inteligentes y pacifistas con las leyes de la robotica tatuadas y roots terminators inteligentes parece ue vamos hacia robots diseñados confines militares y sin inteligencia.

Minicurso de Relatividad General

Este es un minicurso de relatividad general para gente con una buena base en física general. No se asume que sepa previamente geometría diferencial, pero se asume que sí sabe que es una matriz, la notación de subíndices, ecuaciones diferenciales y cosas así.

Antes de ir con la RG una breve introducción a un aspecto de la relatividad especial:

Se pueden obtener las transformaciones de Lorentz en RE sin usar métricas, Einstein lo hizo así. Sin embargo usando métricas la cosa queda más elegante y susceptible de generalizar.

Primero aclarar que los físicos teóricos tendemos a trabajar en unidades naturales en que (cuando no en unidades “sobrenaturales” en que todo lo que molesta es mientras no sea imprescindible mostrarlo explícitamente).

Recordemos primero el concepto de métrica (por si no se tienen claros los conceptos de álgebra de primero).

La distancia usual entre dos puntos es:

Podemos pensar que esa distancia la caracterizamos por el módulo del vector .

Así que tenemos que el módulo del vector se puede caracterizar por una matriz g que cumpla que aquí g sería una matriz que en su diagonal tendría todos los elementos igual a 1 y el resto 0. ( denota el vector transpuesto).

Esta matriz caracteriza totalmente como medir distancias entre puntos. Si tomamos otras matrices tendremos otras métricas.

El espacio de Minkowski, el de la relatividad especial, consta de las 3 coordenadas habituales, x,y,z, y una extra, el tiempo, pero para tener las magnitudes correctas en vez de t se coge ct.

La esencia de la RE es que la máxima velocidad posible es c, equivalentemente a que c es constante para todos los observadores inerciales.

Considera dos puntos a=(x_a,y_a,z_a), b=(x_b,y_b,z_b) y que se emite un rayo de luz en t_a que llega a b en t_b.

Ese rayo cumple:

(la distancia que recorre la luz es ct, si ha llegado a b en habrá recorrido la distancia que separa esos puntos, elevando esa identidad al cuadrado obtienes la fórmula anterior)

Esa fórmula se puede poner:

( , etc).

Y eso ya tiene la forma del elemento métrico, decir que la luz se mueve a v=c en todos los sistemas inerciales equivale a decir que el elemento métrico es nulo para las trayectorias de los rayos de luz en cualquier sistema. Ahí se ve muy claro de dónde surge el signo negativo para la coordenada temporal.

Las leyes de Newton, en especial F=ma tienen la misma forma en distintos sistemas de referencia que se relacionen por las transformaciones de Galileo (si sólo consideramos desplazamientos en x :

Estas transformaciones son incompatibles con el principio de RE, ya que tenemos un métrica nos gustaría perseguir la analogía geométrica, las transformaciones en que dejan invariante la longitud de los vectores son los giros, las inversiones y las traslaciones. Un giro es de la forma:

Se puede ver que si se define esta trasformación da , en el caso Lorentziano se puede mantener la misma interpretación pero cambiando las funciones trigonométricas por las hiperbólicas.

Recordemos que las funciones trigonométricas cumplen, en virtud a la fórmula de Euler, la siguiente relación:

Por analogía se definen las funciones hiperbólicas:

Se puede ver entonces que las funciones hiperbólicas corresponden a las funciones trignométricas haciendo la sustitución x->ix. Por tanto se puede ver que un giro de ángulo α respecto al plano x, c.t tendrá la fórmula:

(Aquí es real y por eso aparecen funciones hiperbólicas, pero si pusiéramos las ecuaciones del giro convencionales, con funciones trigonométricas, tendríamos que poner un ángulo imaginario)

Es fácil ver, sustituyendo, que con esa elección se tienes:

(Aquí ).

Es decir lo que pedíamos, que el elemento de longitud sea invariante invarianza de c. Desarrollando esto implica:

lo que sustituyendo da las ecs. de transformación de Lorentz. Eso es lo bueno del formalismo con métricas, la similitud de tratamiento con la geometría euclidea

Pasamos ahora a la relatividad general. Es decir, la teoría einsteniana de la gravitación:

Recordemos que la esencia de la teoría de Einstein, que la masa curva el espacio, queda muy bien reflejada en su ecuación:

No he incluido el término opcional para la constante cosmológica. Ya iremos viendo que significa cada término en detalle. Anticipar que la parte de la izquierda indica la curvatura del espacio-tiempo mediante el tensor de Ricci y el escalar de Ricci R. Esta curvatura es debida a la materia, que esta representada por la parte derecha de la ecuación mediante el tensor de energía momento .

Aquí g es la métrica, básicamente una matriz cuadrada 4×4 (asumimos que estamos en 3 + 1 dimensiones) en dónde cada una las posiciones depende de la posición y el tiempo.

Recordemos. Si estamos en un espacio plano y euclídeo de tres dimensiones g sería diag(1,1,1), diag quiere decir matriz diagonal, si estamos en un espacio plano minkowskiano, el de la relatividad espacial sería diag( -1, 1, 1 ,1), el signo (-) corresponde a la coordenada temporal, con esto la métrica no seria definida positiva y aparte de vectores de longitud positiva habría vectores con longitud negativa y con longitud 0 (distintos del (0,0,0), en general este tipo de métricas se llaman Lorentzianas.

Esto para las coordenadas cartesianas usuales, si por ejemplo usamos coordenadas esféricas el espacio euclideo 3d tendría métrica

Este cálculo de la métrica en esféricas se obtiene mediante la matriz jacobiana del cambio a coordenadas esféricas J. En concreto ( denota la inversa), Si tenéis ganas podéis hacerlo, o más fácil para ver que g en polares es .

Recordemos. Esta métrica sirve para medir la longitud de vectores, mediante las fórmulas comunes de multiplicación de matrices por vectores. Si usamos notación de índices esto se escribiría (se asume que se suman los índices repetidos, esto se conoce como convenio de Einstein)

Esta noción de longitud de vectores sirve para medir longitudes en una superficie curva, veamos cómo.

Empezamos por una curva, o sea una región de que se puede escribir de la forma X(a)=f(a)(t), dónde f(a) son funciones que para cada valor de t dan el valor de la coordenada ) de la curva(podría pensarse que es la trayectoria de una partícula que va variando con el tiempo, la velocidad de esta curva será el vector tangente a esa curva en cada punto, la noción intuitiva de longitud de una curva sería dónde denota la longitud de un vector osea , pero aquí el vector sería una función de t (y para espacios curvos, o espacios planos en coordenadas no cartesianas, también g sería función de las coordenadas que a su vez serían función de t).

El hecho de usar la derivada proviene de que estamos midiendo la distancia entre dos puntos consecutivos de la curva cómo si fueran rectos, lo que en el límite, cómo siempre, lleva a la derivada. La dirección tangente es la de la recta que más se parece a la curva en ese punto y la longitud de esos vectores tangentes nos dan así la longitud de la curva

Una superficie 2d es hablando vagamente, una subzona del espacio 3d que se puede parametrizar por dos variables, por ejemplo la esfera unidad, conjunto de puntos de que cumplen podría parametrizarse mediante coordenadas esféricas y sería:

Bien, ya sabemos medir longitudes en curvas, ahora pasamos a superficies.

Intuitivamente tenemos la idea de lo que es el plano tangente a una superficie, podemos formalizarlo de varias formas, una de ellas es considerar curvas inscritas en esas superficies, el plano tangente a la superficie estaría generado por los vectores tangentes a todas las curvas que pasan por ese punto. (una curva sería un subconjunto unidimensional de la esfera que se parametrizaría haciendo que y fueran funciones de t, i.e. . Fijarse que el plano tangente es bidimensional, y generalizando si tratáramos de hiperusperfices de dimensión n (que podríamos pensar cómo subconjuntos de , aunque eso tiene sutilezas) su plano tangente tendría dimensión n.

Entonces tenemos en cada punto de una superficie vectores que expanden un plano tangente, especificar una forma de medir la longitud de esos vectores es dar una métrica a la superficie, en este caso de 2d la métrica sería una matriz 2×2 (pués los vectores son de dos componentes) dónde los valores de g serían función del punto p de la superficie en que nos hallamos. Hay varias formas de calcular esa métrica, introducimos una notación para ver cómo se calcula por ejemplo la métrica de una esfera.

Podemos pensar que tenemos vectores “infinitesimales” dx, dy, dz, que indican desplazamientos “infinitesimales” en esas direcciones, (en concreto dx quiere decir (dx, 0,0), osea un vector de longitud infinitesimal en la dirección x y 0 en las otras ), estos vectores serían una base del espacio vectorial .

Un vector infinitesimal genérico será de la forma (dx , dy , dz), y su longitud al cuadrado sería . (porque la métrica es diag(1,1,1)), en esféricas, usando la misma notación .

Esas notaciones son equivalentes, es decir podemos expresar g_{ab} cómo una matriz o mediante “la longitud de un vector infinitesimal genérico”, en RG se suele usar esta segunda notación.

Bueno, vamos a por la métrica de la esfera de radio R, una esfera indica puntos con R constante, es decir que no consideramos variaciones en r, es decir dr=0, por tanto .

Aquí estamos suponiendo que la esfera pertenece a y que estamos midiendo sus vectores tangentes con la métrica usual de lo cuál parece muy lógico. Pero en realidad esto no es obligatorio.

Podríamos elegir cualquier matriz 2×2 simétrica y nos daría una métrica para los vectores de la esfera, que claro, no sería equivalente en general a la heredada de . Podríamos considerar, p.ej, que estuviéramos en el espacio de Minkowski en 3d, es decir con métrica diag (-1,1,1).

Con esta notación es muy fácil entender cómo se calculan métricas, consideramos y un cambio de coordenadas , entonces sustituyendo .

Bien, hemos visto cómo medir longitudes de los vectores tangentes, nos falta ver cómo medir la longitud entre dos puntos p, q de una superficie, la manera es considerar las curvas que perteneciendo a la superficie unen esos puntos, decimos que la longitud entre p,q=min(longitud de curvas que unen p y q), el problema con esta definición es que el cálculo explicito no parece sencillo. Ahí intervendrán las geodésicas

Ya tenemos la métrica, ahora necesitamos pensar en cuando un espacio esta curvado, la idea es considera un vector y transportarlo paralelamente a lo largo de una línea cerrada. Si consideramos el círculo unidad en y cogemos un vector cualquiera en un punto, por ejemplo el vector que “empieza” en (-1,0) y acaba en (0,0) tenemos claro que si lo trasportamos por el círculo unidad “paralelamente” 45º en dirección contraria a las agujas del reloj tendremos el vector que “empieza” en (1,0) y “acaba” en (1,1), si giramos una vuelta completa obtendremos el vector original, es decir transportando un vector paralelamente alrededor de un círculo obtenemos el mismo vector, esto es así porque es plano.

En realidad he hecho trampa, he hablado de vectores que empiezan en un sitio, hacer esto supone que estamos hablando de espacios afines, me explico, es un espacio vectorial, el de los vectores que empiezan en el origen, luego tenemos un sistema de coordenadas cartesianas, que dan la noción intuitiva de un espacio geométrico euclideo, llamémoslo , y podemos asociar a cada vector de un vector en un punto p cualquiera de que es el vector paralelo al inicial y que comienza en p, este espacio euclideo con una copia de en cada uno de sus puntos se conoce cómo espacio afín y se denota .

Ahora consideremos que dibujamos un círculo en la 2-esfera, y tratamos de girar un vector paralelamente por ese círculo, el vector resultante no coincidirá con el vector original y eso nos indicará que la esfera es una superficie curvada.

El problema es que en una superficie curva no tenemos cómo en
una noción natural de decidir cómo hacer transporte paralelo, la idea es que el vector a transportar formará un ángulo, el que sea, con el vector tangente a esa curva la idea es que queremos que el vector transportado paralelamente forme el mismo ángulo con el vector tangente a esa curva en cualquier punto de la curva. En superficies 2-d hay un sólo vector que cumpla esto.

Consideremos el caso más sencillo de la curvatura de una curva, aquí hay una definición muy fácil, la curvatura de una curva indica cómo varia su vector velocidad, este es su vector aceleración, la variación de la velocidad será en dirección perpendicular a su vector tangente. No entraré en detalles pero esto permite definir cuál de todos los vectores tangentes es que cumplen la condición correcta del ángulo es el bueno.

En realidad esto se ha sistematizado y se usa un punto de ataque complementario, en general la derivada de una función en una curva es un vector, es decir cuando se cambian las coordenadas con que se describe la superficie se trasforma de acorde al jacobiano, sin embargo su derivada en general no se transforma cómo la métrica (se dice que no es un tensor), buscamos una generalización de la derivada que aplicada a un vector de un tensor.

Se puede ver, y ya no entro en detalles, que la condición de transporte paralelo es equivalente a decir que la derivada covariante del vector a lo largo de la curva se anule.

Esta derivada covariante de un vector A se puede indicar con Nabla, el signo del laplaciano o con una d mayúscula.

Es

es el símbolo de Cristoffel de segunda especie. Es una cantidad muy importante..

Existen los símbolos de Cristoffel de 1ª especie , que tiene una expresión natural en función de la métrica:

Y aunque el significado intuitivo de la curvatura es el que he dicho en realidad lo que suele hacerse es introducir el tensor de curvatura de Riemman que viene a informar de la falta de conmutatividad de la derivada covariante y que puede escribirse por tanto en función de los símbolos de Cristoffel y sus derivadas.

He hablado de tensores y no he dicho que son. Intentaré remediarlo. La idea es expresar las leyes de la físca de tal modo que sean independientes del sistema de coordenadas. Sin embargo sabemos que las magnitudes físicas dependen de las coordenadas. Por ejemplo un vector en un sistema de coordenadas tiene unas componentes. Ese mismo vector respectro de otro sistema de coordenadas tiene
otras componentes. Sin embargo hay una relación entre las componente en los dos sistemas de coordenadas. Tenemos que:

v’=B.v

donde B es la matriz de cambio de base que nos pasa de unas coordenadas a otras.

Esto es válido para los vectores. Sin embargo la propia base del nuevo sistema coordenado cambia con la inversa de la matriz B, denotada B-1, es decir, tenemos:

Aquí e es cualquiera de los vectores base. Por ejemplo en tendríamos que la base canónica tiene (En esta notación la e no tienen nada que ver con el número e=2.16 )

Un vector arbitrario v tendrá en esa base unas coordenadas (a,b,c), es decir .

Si denoto la coordenada i del vector v por vi tendré que v1=a, etc.

Igualmente para la base canonica denotaría que el vector base e1 tiene coordenadas e11=1.

Fijaros bien que para indicar las coordenadas de los vectores v he usado superíndices mientras que para los del vector he usado subíndices.

Esto deviene en una convención. Se dice que los vectores que se tranforman cómo los vectores base son vecotres covariantes, y sus componentes se denotan con subíndices. Sin embargo los vectores “no base” se dice que son contravariantes y sus coordenadas se denotan con superíndices.

Bien,en física existen cantidades que respecto a unos índices son covariantes y respecto a otras son covariantes. Estas magnitudes se llaman tensores. Lógicamente sus componentes contravariantes se denotan con superíndices y sus componentes covariantes respectoa índices. Las ecuaciones físicas siempre vamos a querer expresarlas mediante magnitudes tensoriales para que tengan un significado que sea independiente de la base elegida.

He intentado exponer los tensores de la manera más sencilla posible, espero que se entienda lo suficiente. Una vez hecha esta pausa continuo con la geometría. recordemos que nos habíamos quedado con el tensor de Riemman. A partir de él vamos a definir el tensor de Ricci.

El tensor de Riemman (una vez contravariante, tres veces covariante) permite definir el tensor de Ricci , es decir se obtiene contrayendo (sumando) el tensor de Riemman entre su índice contravariante y su tercer índice covariante. Es este tensor el que aparecía en la ec. de Einstein, (R se define con estos pasos , es decir, cómo siempre, se usa , la inversa de para subir los índices, y para bajarlos, entonces .

Tras toda esta matemática que le será difícil de asimilar a quien no este habituado a la notación tensorial de índices, algo de física al fin.

En RG todas las entidades matemáticas que hemos ido introduciendo tienen un significado físico a parte del matemático.

Por ejemplo tendríamos ( indica aproximadamente) osea 1 /2 Φ, dónde Φ es el potencial newtoniano para una partícula puntual.

Cómo por la ecuación de Poisson Δ Φ =4.. π G. ρ (ρ densidad de masa) podemos hacer una correspondencia Δ (=laplaciano) y en general podemos pensar que los símbolos de Cristoffel están asociados a los potenciales gravitatorios, ya que su derivada, el tensor de Ricci esta asociado a la derivada del potencial gravitatorio.

Estas aproximaciones que dan significado físico a estas cantidades geométricas son lo que se llama el límite newtoniano de las ecs de Einstein linealizadas

Se obtiene considerando que dónde η es la métrica de Minkowski y estamos interesados en variaciones respecto a esa métrica, denotadas por h. Si se hace esta substitución en las ecs. de Einstein y nos quedaos sólo con términos lineales en h tenemos una expresión sencilla, que si hacemos el cambio dónde .

(Nota, esta forma tan sencilla de las ecuaciones sólo se da en cierto tipo de sistemas de coordenadas, estos sistemas de coordenadas cumplen una condición, que no indicaré aquí, y cuando trabajamos en estos sistemas coordenados exclusivamente decimos que estamos en el gauge de Lorentz).

Ya hemos visto que el esta relacionado con , pero poco más hemos dicho de el, en general Tab representa a la materia/energía), por tanto en el vacio sería 0, dependiendo de lo que queramos describir representará materia “clásica” o materia “cuántica”, para la primera se suelen usar modelos hidrodinámicos de la materia, el caso más sencillo, llamada aproximación newtoniana es

Aquí es el vector de desplazamiento en la dirección temporal (la del signo (-) en la métrica)
Bueno, ya sabemos las ecs, reflexionemos sobre ellas, son no lineales y para saber la curvatura necesitamos saber la métrica y para saber la métrica necesitamos saber la distribución de la materia, pero claro, al evolucionar la distribución de la materia cambia y necesitamos recalcular g y R, así que es un poco lioso.

Por eso se trabaja con situaciones simplificadas, por ejemplo la solución de Schwarschild se obtiene por consideraciones de simetría. Esta solución describe un campo con simetría esférica, que estaría producido, lógicamente, por una carga puntual en el origen. Formalmente sin embargo no necesitaremos en esta situación el tensor , tensor energía momento (tensor e-m de aquí en adelante), así que resolveremos las ecs. de Einstein para el vacío, considerando que las soluciones deben tener simetría esférica.

Las consideraciones de simetía reducen los 10 componentes de la métrica (una matriz tiene 16 componentes, pero si ha de ser simétrica, cómo es el caso para cualquier matriz métrica, lorentziana o riemaniana, sólo 10 son distintos) a 2 funciones independientes f(r) y h(r):

(fijarse que el última término es la métrica de la 2-esfera).

Ahora que tenemos una “plantilla” para la forma de la métrica podemos tomar las derivadas que indica el tensor de Ricci y obtenemos unas ecs diferenciales para f(r) y h(r), su solución es la métrica de Schwarschild.

(parte esférica)

Importante notar que esta métrica toma valores infinitos para r=0 y para (la c aparecería en la métrica si no usáramos unidades naturales dónde c=1) .

Esta solución sólo vale fuera de la materia que produce la masa M, dentro habría que hacer una suposición sobre la forma de .

He mencionado brevemente las geodésicas, es hora de hacer más hincapié sobre ellas, hasta ahora hemos visto cómo calcular la métrica, pero no sabemos cómo calcular cómo se mueve la materia en esa métrica, todo el que ha leído divulgación sabe que la materia se mueve en geodésicas del espacio tiempo.

Sin embargo las ecs. de Einstein no tienen ninguna geodésica,¿que falla?, bien, en realidad cómo ya he dicho una vez dada la métrica en un instante hará evolucionar la materia según las ecs de Einstein y así tendremos que recalcular la métrica otra vez, afortunadamente en caso de interés se pueden hacer simplificaciones y considerar que hay una materia inamovible, p.ej. el sol que produce la métrica y una materia móvil que no interviene en la configuración de la métrica, los planetas, se puede probar que la ec de Einstein implica que estas partículas “test” se mueven en geodésicas, esta demostración no la dió Einstein, es bastante posterior, así que Einstein se vio forzado a postular ese movimiento geodésico, aunque tenía la intuición de que estaba implícito en su ecuación, cómo de hecho acabo de decir que llegó a demostrarse, este postulado no era “antinatural” pues en relatividad especial se puede ve que la partículas se mueven en líneas que minimizan la longitud.

Esto es para partículas con masa, para partículas sin masa se usa una generalización del principio de la aproximación de “rayos” de la óptica geométrica, en realidad, para luz clásica, habría que considerar el tensor energía-momento del campo electromagnético..

Dejo para terminar la ec. de una geodésica tipo espacio es :

Fijarse que m, la masa, no parece en la ec de las geodésicas, eso significa que todas la partículas “test” siguen la misma trayectoria independientemente de su masa. El tema de los rayos de luz, y las trayectorias que siguen, es ligeramente distinto. El tratamiento usual es usar la ecuación eikonal. En cualquier caso no lo trataré aquí.

ste post queda pues como una referencia que usaré cuando tenga que explicar a la gente a que me estoy refiriendo cuando hablo de diversos aspectos de la RG.

He usado una aproximación a la matemática implicada a mitad de camino entre la geometçia diferencial clásica, tal cómo se expone en p.ej los libros de Manfredo do Carmo o de D.J.Struick y el calculo tensorial de Levi-Civitta, tal cómo se expone en el Lichnerovic o en el Sokolnikov (esta última es la que usó el mismo Einstein).

Hay formas más rigurosas, e incluso claras pese a ese rigor, de exponer esta geometría, quizás la mas adecuada sea la que aparece en “tensor anaysis on manififolds” de Richard L. Bishop y Samuel I.Goldberg de la editrial dover (muy barato). Introduce todos los conceptos de topología necesarios asíq eu cualquier físco puede entenderlo.

El mejor, con diferencia, libro de geometría en variedades, que es lo que trata el Bishop-Goldberg es el Bpotby “Riemannian Geometry on diferenciable manifolds” de academic press, no es sin embargo autocontenido, es un libro escrito para matemáticos con base previa en topología y geometría diferencial clásica, y además, al menos en la 1ª edición no trata tópicos cómo vectores de Killing y el caso Lorentziano para la métrica, pero a cambio te da una gran seguridad con los temas tratados.

Hay incluso más maneras, una introduce las tétradas (o vielvein) que son imprescindibles para incorporar fermiones en RG, y otras usan la teoría de fibrados principales, pero para entender los principios básicos en mi opinión no son las más adecuadas.